Батыгин&co
.pdf280 |
Глава III |
Величина U' отличается от истинной энергии взаимодействия области неоднородности с внешним полем U, определяемой работой, которую надо совершить, чтобы при наличии неоднородности создать поле ц> (ср. с (III. 16)). При нахождении такой энергии нужно учитывать, что моменты Qim зависят от внешнего поля. В частности, если область неоднородности представляет собой незаряженный проводник или диэлектрик, то истинная энергия взаимодействия неоднородности с внешним полем определяется формулой
| m Q ? m - |
(2) |
Коэффициент ^ можно получить так же, как это сделано в решении задачи 161, учитывая, что в этом случае Qim пропорциональны а/т . При нахождении обобщенных сил с помощью выражения (2) путем дифферен-
цирования по обобщенным координатам как Q/m, так и а/т |
следует считать |
|
переменными величинами. |
|
|
167. С/о = q<p0 - рЕ 0 , |
|
|
при этом |
|
|
Щ =<А)-г-Ео, <р2 = JL + Е_£ F = qEo + (р• V)E |
0 , N = р х Е о |
|
ег |
егЛ |
|
(вращательный момент вычисляется относительно начала координат).
169. Тело стремится занять такое положение, при котором его потенциальная энергия U = — ^р • Е — минимальна. Удобно направить коор-
динатные оси вдоль главных осей тензора /%&, тогда U = —^(0
+ 0№Щ + Piz)E2z). Отсюда видно, что если /?<х) > /?<»> > /?W > 0, то
минимум U имеет место, когда Е || х; если же /?(х) ^ /?М ^ /?(*) < 0, то минимум получается при Е || z.
170. Ось стержня и плоскость диска стремятся установиться при £i > £2 параллельно направлению поля, а при е\ < £г — перпендикулярно.
ходит притяжение, при £2 > £i — отталкивание. В случае проводящего шара £i —* оо. Суммируя геометрическую прогрессию, найдем энергию
§ 1. Основные понятия и методы электростатики |
281 |
||
взаимодействия и = |
^ |
^-> откуда |
|
2е2(Я2 - о2)
2е2 (а2 - R2)2
(ср. с задачей 161).
Сделаем некоторые замечания к вычислению силы с помощью формулы (III.16). Рассмотрим величину U' = ^- / (е2 - £i)E • Ei dV. Объем V
ограничен сферой 5, бесконечно близкой к поверхности диэлектрического шара и находящейся целиком внутри него. Интеграл, входящий в выражение U', лишь на бесконечно малую величину отличается от потенциальной энергии U взаимодействия точечного заряда с шаром. Введем вместо напряженностей суммарного поля Е и поля точечного заряда Ei в однородном диэлектрике е2 соответствующие потенциалы и вынесем постоянную величину (е2 — £i) за знак интеграла. Тогда U' = в2 ~ £ l / Vy • Vyi dV.
Применив формулу Грина / Vy • Vyi dV = § -^- dS + J (fA(fi dV, и вос-
s c'n
пользовавшись тем, что внутри шара Д<^1 = 0, найдем для U следующее выражение:
П = £ 2 - £ i |
2 v ^ |
I |
R2l+1 |
£2 |
ff0 |
lei+ (1+1)е2 ' |
а21+3' |
Оно совпадает с выражением, получающимся из формулы (2) задачи 166. Отсюда для F получим приведенное выше значение.
172 |
Г |
- * |
- |
|
1 7 2 ' |
Сю |
~ W=W |
~ 2 Г |
2R,R2 \ |
173. |
а = ±-г- = ±-г—= |
5 — , м . . , , , , где 6 = |
||
Начало координат находится в центре отрезка, соединяющего оси цилиндров и выбранного за ось х.
- 1
282 |
ГлаваIII |
175. Если оси х, у, z параллельны главным осям тензора е^, то
При произвольной ориентации координатной системы формула (1) запишется в виде
где \еце\ — определитель тензора £**.
п.
177. C =
где z — координата, нормальная к пластинам конденсатора. 178. Если выбрать оси х, z в плоскости Бо, n, z \\ п, то
где tg??o = тг^- При этом силовая линия в диэлектрике остается в плоскоста Ео, п.
§ 2. Потенциальные и емкостные коэффициенты
180. Обозначим через q\ заряд первого проводника и через q' заряд на внешней поверхности второго проводника (заряд на внутренней поверхности второго проводника равен —qi, как это следует из электростатической теоремы Гаусса). Система (III.28) принимает вид:
, "1
= C12V1 + C22V2. J
Сложив эта уравнения, получим
q' = (си + cia)Vi + (с12 + c22)V2. |
(2) |
§ 2. Потенциальные и емкостные коэффициенты |
283 |
Заданием q' определяется поле во всем внешнем пространстве, в частности, потенциал V2 второго проводника. Равенство (2) должно, таким образом, иметь место при любых значениях V\ и фиксированных q1, V2, что может быть, только если
|
|
|
СП + С12 = 0. |
|
|
(3) |
|||
При этом первое изуравнений (1)принимает вид: |
|
|
|
||||||
|
|
|
qi=cn(Vi-V2). |
|
|
|
(4) |
||
Из (2), (3) и (4) следует, что |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
С = СЦ = —С12 = —С21, |
|
|
|
|||
|
|
|
С" = С12 + С22. |
|
|
|
|
||
181. в 1 1 = |
322--55--, s22 = |
2li2li——33--,,«i«i2 =2 =s21s21== ^ |
^l^^-г . |
||||||
|
|
- |
C12 |
СП С22 - |
C12 |
|
СП С2 2 - C1 2 |
||
182. |
5 ц = ^-,1S22 = -Q-, S12 = 521 = -gf- |
|
|
|
|||||
183. |
c= СП +С22 +2C12 |
|
|
|
|
|
|
||
t S i |
„ S n 2 s i 2 |
+ si3 Я |
9 2 |
Я |
ЯЯ |
9 4 |
s\\ - 813 Я |
||
Ш ' q i = |
au-an |
|
= |
9 з = |
= |
- |
|||
' 8 ' 9 2 = |
2 ' |
9 з = |
4 ' |
||||||
185. |
<Zi = - f < 7 , |
92= - § 9 , |
93= ^ 9 - |
|
|
|
|||
189. Собственная емкость объединенного проводника:
COO = СЦ + С22 +
Взаимная емкость объединенного проводника и г-гопроводника системы:
Coi = Cij + C2i.
190. Энергия уменьшается на величину
284 |
ГлаваIII |
191. С точностью до 1/г,
bC2q2
F= —г3[С + а6(6-а)--11] ] 2 '
192.Шарик и проводник приобретают при соприкосновении один
итот же потенциал
Vi = qsn +(Q- |
q)su = qs\2 |
+ (Q - q)s22 = |
V2, |
|
откуда |
|
|
|
|
an |
- aia |
Q |
l |
( l ) |
S22 - s 1 2 ~ |
q |
X ' |
^ i ; |
|
где Sik — потенциальные коэффициенты (индексы 1 и 2 относятся соответственно к шарику и к проводнику).
Обозначим через од заряд проводника после fc-ro подсоединения. Из равенства потенциалов проводника и шарика при соприкосновении следует:
(Q + 9fc-i - 9fc)si2 = <?fcSi2 + (Q-q + qk-i)s22.
Отсюда, используя (1), получим рекуррентное соотношение, связывающее qk-i и qk:
qk=q + ^qk-i- |
(2) |
Последовательное применение формулы (2) с переходом в дальнейшем к пределу к —у оо дает окончательно:
§3. Специальные методы электростатики
193.Уравнение Лапласа принимает вид:
Это уравнение должно быть проинтегрировано с граничными условиями tp = const при £ = 0 (на поверхности эллипсоида), tp —> 0 при £ —• оо.
§ 3. Специальные методы электростатики |
285 |
Выполняя интегрирование и воспользовавшись для определения постоянной интегрирования тем, что при г = \Jx2 +у2 + z2 —> оо, £ —> г2 , получим:
1 de
Отсюда
а = — 4тг9п |
47Г |
47гаЬс\а4 Ь4 с4 |
Плотности зарядов на концах полуосей прямо пропорциональны длинам полуосей: cra:CTJ,:<тс = а : Ь : с.
194. Приа = Ь> с (сплюснутый эллипсоид):
Ч> =
В частности, при с = 0 (диск) С = Щ-. При а > b = с (вытянутый эллипсоид):
Ч> = |
In v |
, С = |
а + \/а2 — Ь2 |
|
• a2 |
- у/а2 - b2 |
Вчастности, при 6 < а (стержень):
195.Будем сначала считать эллипсоид незаряженным: 9 = 0. Если внешнее однородное поле Бо параллельно оси Ох, то
<ро= -Еох = |
(Ь2 |
-а2 )(с2 |
-а2 ) |
|
\ |
||||
|
|
|
286 |
ГлаваIII |
Знак минус соответствует х |
> О, знак плюс х < 0. Как функция <ро, так |
и потенциал ц>' поля наведенных на эллипсоиде зарядов удовлетворяют уравнению Лапласа, Подставляя ip' = <foF(£) уравнение Лапласа, получим уравнение для определения неизвестной функции ()
Это уравнение легко интегрируется. Решение,удовлетворяющее граничным условиям, имеет вид
И0 |
=о = |
1 - |
оо |
|
|
|
|
Если эллипсоид имеет собственный заряд q, то решение, удовлетворя- |
|||
ющее условиям <р\£=0 |
= const и —§ -¥- dS = 4щ (S — замкнутая поверх- |
||
|
|
|
дп |
ность, содержащая внутри себя эллипсоид), можно получить по принципу суперпозиции (см. задачу 193):
196. Потенциал имеет тот же вид, что и в предыдущей задаче. Входящие в выражение потенциала интегралы могут быть выражены через элементарные функции —это имеет место во всех случаях, когда эллипсоид обладает симметрией вращения. В итоге получим:
=-Еох
1 - е
§ 3. Специальные методы электростатики |
287 |
где а — большая и 6 — малая полуось, е = Wl — ^ ~~ эксцентриситет
V а
эллипсоида, ось х направлена перпендикулярно плоскости,
X= -z\
(см. задачу 66). Напряженность поля достигает максимального значения в вершине эллипсоида:
Я™ |
1 д<р |
2е3(1-е*)-* |
1 |
Ео |
|
1-е - 2 е |
|
|
|
||
где п^ — коэффициенты деполяризации (см. задачу |
198). В случае сфе- |
||
ры е = 0 и - ^ |
= 3. В случае очень вытянутого стержня (громоотвод): |
||
•bo |
|
|
|
|
2а |
Л " 1 |
6, |
|
Ео |
а» |
|
|
|
|
|
поэтому искровой пробой воздуха значительно более вероятен у конца такого громоотвода, чем на других его участках.
197. Поле на произвольных расстояниях от эллипсоида получается как суперпозиция трех полей вида, установленного в задаче 195 (поле Ео разлагаем на составляющие, параллельные главным осям эллипсоида).
На больших расстояниях от эллипсоида:
Главные значения тензора поляризуемости эллипсоида:
a(z) _ abc
„(У) =„(«) =
где е = 4/1 — ^т— эксцентриситет эллипсоида. V о
§ 3. Специальные методы электростатики |
289 |
|
На больших расстояниях от эллипсоида: |
|
|
|
рг |
|
|
(р2 = -Ео • г + г3 ' |
|
где рх = /?<«>£„ /?<«> = |
а Ь с |
|
ИТ.Д.
201.Воспользовавшись формулой (III.16), получим:
6[е2 + £i + n(e2 - dU= a6c(£ 2 -£
6[e2 + £1 + n(£2 - £i)][£2 + (£1 -
где i9 — угол между осью симметрии и полем Ео, п — коэффициент деполяризации относительно оси симметрии эллипсоида (см., например, решение предыдущей задачи).
Из последней формулы видно, что внешнее поле стремится повернуть ось симметрии вытянутого (п < 1/3) и сплюснутого (п > 1/3) эллипсоида
вположение, параллельное и перпендикулярное полю соответственно.
Вслучае проводящего эллипсоида, е\ —> оо и
abc(3n-l)£gsin2i?
~ |
6п(1 - п) |
• |
202.Потенциальную энергию жидкой заряженной капли, имеющей
I ГГ~
форму эллипсоида вращения с эксцентриситетом е = «/1 — ^-= и объемом,
V в
равным объему сферы с радиусом R (заряд q), можно выразить формулой
(воспользоваться выражением для емкости С вытянутого эллипсоида вращения, приведенным в ответе к задаче (194).
Чтобы ответить на вопрос об устойчивости заряженной сферической капли, надо выяснить характер зависимости энергии (1) от е при малых е.