Батыгин&co
.pdf200 |
ГлаваXII |
ввести одну векторную функцию Z(r, t) (вектор Герца, иполяризационный потенциал), через которую А и ip выражаются формулами:
А = с ' W |
( X I L 7 ) |
Распределение зарядов и токов при этом целесообразно описывать с помощью одной векторной функции Р(г', t), связанной с р иj соотношениями:
/9=-divP, |
(XII.8) |
j = 0Г |
( X I L 9 ) |
Такое определение величины Р обеспечивает выполнение уравнения непрерывности div j + -£ = 0. Величина Р называется поляризацией (не следует смешивать эту величину с поляризацией диэлектрика).
Вектор Герца Z удовлетворяет уравнению Даламбера: |
|
|
AZ - -\ |
• ^-f = -4тгР. |
(XII.10) |
с |
dt |
|
Векторы Е и Н выражаются через Z формулами:
(XII. 11)
Чтобы найти электромагнитное поле по заданным р и j , используя вектор Герца, нужно сначала определить с помощью формул (XII.8) и (XII.9) вектор поляризации Р. Вследствие аналогии между уравнениями (ХП.З)-(Х11.4) и (XII.10) вектор Герца выражается затем через Р так же, как запаздывающие потенциалы ip и А через р иj :
Z(r, t)= I ^ — ^ |
'- dV. |
(XII.12) |
Если система зарядов и токов заключена в ограниченной области, размеры которой имеют порядок а, а порядок величины длин волн, существенных в спектральных разложениях потенциалов, составляет Л, то при
^ < 1 и £ < 1 |
(XII.13) |
§ 1. Вектор Герца и разложение по мультиполям |
201 |
можно произвести разложение подынтегральных функций постепеням у
и- .
г
Если ограничиться первым членом такого разложения,то
Z(r,f) = ^ r A |
(XII. 14) |
где t' = t — £ —ретардированное время центра системы. Величина
представляет собой электрический дипольный момент распределения зарядов (ср. сзадачами 741,742). Соответствующие выражения для А иу? будут тогда следовать из (XII.6) и (XII.7).
Особый интерес представляет рассмотрение поля на таких больших расстояниях г отсистемы зарядов, что наряду с (XII.13) выполняется нера-
венство |
|
г'<А<г |
(XII. 16) |
(волновая зона). Вэтом случае для нахождения поля можно воспользоваться
А
ложе разложением векторного потенциала по степеням ^>которое с точностью
А
до ( Y ) имеет вид:
Здесь п = £ —орт в направлении распространения электромагнитных волн,
tn= ^ fr'xj(r',t')dV |
(XII.18) |
—магнитный дипольный момент,
—составляющие квадрупольного момента, точкой обозначается дифференцирование по t'.
202 |
Глава XII |
Характерна зависимость векторного потенциала в волновой зоне от расстояния г до системы. Она обеспечивает (см. ниже) существование неисчезающего на бесконечности потока энергии в направлении от системы. Это значит, что таким векторным потенциалом описывается излучение электромагнитной энергии.
Второй (электрический квадрупольный) и третий (магнитный дипольный) члены в этом выражении меньше в j раз1 первого (электрического
дипольного) по порядку величины и могут быть отброшены, если только нет каких-либо особых причин, сильно уменьшающих первый член.
В волновой зоне поле в достаточно малых областях пространства имеет характер бегущей от источника плоской волны. Напряженности этого поля могут быть вычислены по формулам:
Н = Цхп, Е = Н х п. (XII.20)
Угловое распределение излучения характеризуется количеством энергии, протекающей в единицу времени через единицу телесного угла:
|
du |
47Г |
|
|
Полная интенсивность |
/ |
излучения |
получается интегрировани- |
|
ем (XII.21) по всем направлениям. |
|
|
||
При использовании разложения (XII.17), получаем |
|
|||
1 =з?№) + во? |
5 |
£ |
з ? ( л ) 2 ' |
(XIL22) |
В случае периодического движения зарядов обычно представляют |
||||
основной интерес средние по времени за период величины I и |
4к- |
|||
|
|
|
|
ail |
726.Непосредственной подстановкой убедиться в том, что запаздывающие потенциалы удовлетворяют уравнению Даламбера и условию Лоренца.
727.Используя результаты задачи 32*, получить формулу (XII.22).
728.Записать уравнения, которым удовлетворяют электромагнитные потенциалы ip и А, если вместо условия Лоренца (XII.S) наложить на них условие div A = 0 (так называемая кулонова калибровка).
'Если излучающей системой является частица, движущаяся в ограниченной области со
скоростью v, то — « —. А с
§ 1. Вектор Герца и разложение по мультиполям |
203 |
729. Показать, что в волновой зоне при выполнении условия Лоренца скалярный потенциал ограниченной излучающей системы может быть выражен через векторный потенциал формулой <р= п • А.
730. Используя результаты задачи 620* (формулы (2) и (3)), найти вы-
!dK
ражение для потери момента импульса в единицу времени —=^- системой, излучающей как электрический диполь.
731. Найти уравнения силовых линий электрического и магнитного полей точечного электрического дипольного осциллятора с моментом р = = ро cos tot. Проследить за качественным изменением картины поля в зоне, прилегающей к осциллятору, и в волновой зоне.
УКАЗАНИЕ. ЕСЛИ полярная ось направленавдольро, то электромагнитное поле осциллятора имеет вид:
|
2pocostf rcos(kr-ui) |
|
. |
л |
|
|||
Ег |
= ——^ |
L |
- |
r |
+ ksmikr |
— ut)\, |
|
|
|
r2 |
|
|
|
J |
|
||
EQ = |
( — —k2 ) cos(fcr —ut) -\— sin(fcr — < |
|||||||
Ea |
^ Hr ^ |
Нф ^ |
0; |
|
|
|
|
|
„ |
Pok2 . |
Г ,, |
. |
рок . |
. |
.л |
||
Ha |
= |
Sill COS(fcr — Cjt) H |
— Sin(fcr — Cjt) . |
|||||
|
r |
I |
|
|
|
r |
|
i |
732. Найти электромагнитное поле Н, Б заряда е, движущегося равномерно по окружности радиуса а. Движение нерелятивистское, угловая скорость и). Расстояние до точки наблюдения г > о. Найти средние по
времени угловое распределение 4к и полную интенсивность / излучения,
as 2
а также исследовать его поляризацию.
733. Исследовать влияние интерференции на излучение электромагнитных волн системой зарядов в следующем примере: два одинаковых электрических заряда е движутся равномерно с нерелятивистской скоростью и с частотой и) по круговой орбите радиуса а, оставаясь при этом на противоположных концах диаметра. Найти поляризацию, угловое распределение ^jr и интенсивность / излучения. Как изменится интенсивность излучения, если убрать один из зарядов (ср. с результатом задачи 732).
204 |
Глава XII |
734.Насколько расположение зарядов в предыдущей задаче должно отличаться от диаметрального, чтобы интенсивности электрического дипольного и квадрупольного излучений были равны?
735.Колебания двух электрических дипольных осцилляторов имеют одинаковую частоту и>, но сдвинуты по фазе на ^ . Амплитуды дипольных
моментов равны по величине ро и направлены под углом /р друг к другу. Расстояние между осцилляторами мало по сравнению с длиной волны.
Найти поле Н в волновой зоне, угловое распределение Щг и полную ин-
тенсивность / излучения.
736. Исследовать состояние поляризации поля излучения системы осцилляторов, рассмотренных в предыдущей задаче, используя методику, изложенную в решении задачи 399.
737*. Найти среднюю по времени плотность 7 потока энергии на больших расстояниях от заряда, рассмотренного в задаче 732, учитывая
члены порядка -=^. Найти вращательный момент N, приложенный к полностью поглощающему сферическому экрану большого радиуса, около центра которого движется этот заряд.
738. Равномерно намагниченный шар радиуса а с намагниченностью М вращается с постоянной частотой и> вокруг оси, проходящей через центр шара и составляющей угол tp с направлением М. Найти электромагнитное поле Е, Н и исследовать характер поляризации. Определить угловое
распределение ^ и полную интенсивность / излучения.
739. Равномерно заряженная по объему капля пульсирует с неизменной плотностью. Поверхность капли при этом описывается уравнением
= До[1 + аР2 (cos tf) cosujt],
где о < 1. Заряд капли q. Найти угловое распределение ^ и полную
интенсивность / излучения.
740. Электрический заряд q распределен сферически симметричным образом в ограниченной области и совершает радиальные пульсации. Найти электромагнитное поле Б, Н вне распределения зарядов.
§ 1. Вектор Герца и разложение по мультиполям |
205 |
741.Найти выражения электрических дипольного Z p и квадрупольного Z Q ,а также магнитного дипольного Z m членов разложения вектора Герца, справедливые при произвольной зависимости токов и зарядов от времени, на расстояниях г > а, А > а (выполнение условия г > А не обязательно).
742.Найти в векторной форме выражения для напряженностей электромагнитных полей электрического р и магнитного m дипольных осцилляторов на расстояниях от них, больших по сравнению с их размерами.
УКАЗАНИЕ. При дифференцировании по г учитывать, что моменты р и m должны быть взяты в ретардированный момент t' = t — £ и, следовательно, зависят от г.
743. Найти угловое распределение ^j? и полную интенсивность / излучения от открытого резонатора, рассмотренного: а) в задаче 532; б) в задаче 533.
УКАЗАНИЕ. ЭТИ резонаторы можно рассматривать как совокупность электрического и магнитного диполей, колеблющихся с резонансной частотойи>о.
744. Моменты двух одинаковых электрических диполей направлены по одной прямой и осциллируют в противофазе с частотой и> (амплитуда ро). Расстояние между центрами а, А > а. Найти электромагнитное поле на
__ „ л7 расстояниях г > а. Найти угловое распределение излучения - ^ и его
аМ
полную интенсивность /.
745*. В линейной антенне длиной I возбуждена стоячая волна тока J с амплитудой Jo, частотой и> и узлами на концах антенны. Число полуволн тока, укладывающихся на длине антенны, равно т. Найти угловое
распределение излучения ^ - .
746. Найти полное излучение / и сопротивление излучения R = -==^
антенны, рассмотренной в предыдущей задаче.
УКАЗАНИЕ. Результат выражается через интегральный косинус
Ci(x) = C + lnx + Г c o s ^~1 dt, b
где С = 0,577 —постоянная Эйлера (см. справочник [90], 8.230).
206 |
Глава XII |
747. |
В линейной антенне длиной I распространяется бегущая волна1 |
тока J = Joet(-k^~utK где к = ^ , £ — координата точки на антенне. Найти угловое распределение - ^ и полную интенсивность / излучения.
748*. В круглой проволочной петле радиуса а возбуждена стоячая волна тока вида J = Jo sinna'e"*"*. Найти электромагнитное поле Н, Е в волновой зоне.
749*. Центры двух электрических дипольных осцилляторов с частотой UJи одинаковой амплитудой ро || х находятся на оси z, на равных
расстояниях от начала координат и на расстоянии а = j друг от друга.
Колебания в осцилляторах сдвинуты по фазе на ^ . Найти угловое распре-
деление излучения ^г.
750.Отражение системы В зарядов р(т,t) и токов j(r, t) в плос-
кости z = 0 состоит в том, что а) каждая точка г |
= (х, у, z) |
переходит |
|
в |
положениег' = (х, у, — z); б) плотность заряда |
меняет знак: р(г, t) = |
|
= |
—р'(г', t), где р' — плотность заряда в отраженной системе |
В'. Выяс- |
|
нить, как при отражении преобразуются плотность тока j (г, t), электрические р, Q и магнитный m моменты системы, а также электромагнитное поле Е, Н.
751. Доказать, что электромагнитное поле произвольной системы В зарядов вблизи идеально проводящей плоскости может быть получено как суперпозиция полей системы В и системы В', отраженной в этой плоскости (см. предыдущую задачу). Рассмотреть, в частности, излучение электрического дипольного осциллятора с моментом p(t) = pof{t) (|po| = 1, f{t) — произвольная функция), находящегося на расстоянии b <S А от такой плоскости и образующего с ней угол ipo = const (ограничиться электрическим дипольным приближением).
752.Электрический диполь с амплитудой момента ро и частотой и>
находится на расстоянии | от идеально проводящей плоскости (а <§С А, вектор ро параллелен плоскости). Найти электромагнитное поле Е, Н на расстояниях г > А и угловое распределение излучения ^-.
1 Нагрузки на концах антенны должны быть подобраны таким образом, чтобы отраженной волны не возникало.
§ 1. Электромагнитное поле движущегося точечногозаряда |
207 |
753. а) Показать, что если функция u(r, i?,а) удовлетворяет уравнению Гельмголыда Аи + к?и = 0, то потенциал Герца для монохроматического поля электрического типа (Нг = 0) с частотой и> = кс в свободном от источников поля пространстве может быть представлен в форме: Z = иг +
1 |
г) |
+ gradx. X = ~^7 |
(ги)'г б) найти выражения составляющих напряженно- |
к дг
ста электромагнитного поля Н, Б по осям сферической системы координат через u(r, i?,а) (функция и называется потенциалом Дебая).
УКАЗАНИЕ. Доказывая, что AZ + k2Z = 0, обратить внимание на то, что существует соотношение Дх + к2\ + 2и = 0.
754. Показать, что поле точечного электрического дипольного осциллятора с моментом рое~гы*, находящегося в точке го(го || ро),может быть
описано потенциалом Дебая (см. задачу 654) вида и = у- • ^~Б~, где R = |
|
у |
Б |
= г - г0.
УКАЗАНИЕ. Вектор Герца Z = ur + grad x, соответствующий потенциалу и, отличается отвыражения -^егкн (см.(XII.14)), ноприводит ктем же выражениям Б
Н
и Н .
755.Точечный электрический дипольный осциллятор с момен-
том рое~гш* находится на расстоянии 6 от центра идеально проводящего шара радиуса а. Момент направлен вдоль линии, соединяющей диполь с центром шара. Воспользовавшись потенциалом Дебая и (см.задачу 753), найти электромагнитное поле Е, Н. Найти угловое распределение излуче-
ш
§ 2. Электромагнитное поле точечного заряда, движущегося произвольным образом
Точечный заряд е, движущийся со скоростью \(t') инаходящийся в мо-
мент времени t' в точке го(£'), |
возбуждает электромагнитное поле, потен- |
|
циалы которого в точке г в момент времени t определяются |
формулами |
|
Лиенара - Вихерта: |
|
|
4>{r,t) = R - R • v/c |
ev |
(XII.23) |
c(R - R • v/c) |
||
где R = r - r0 .
208 |
Глава XII |
Ретардированное время f определяется уравнением
с(* —*') =|R.|. |
(XII.24) |
Из потенциалов Лиенара-Вихерта можно получить напряженности по-
ля:
(1 - /32)(n - v/c) |
en x [(n - v/c) x v] |
|
(1-п-у/с)3Д2 |
с2(1-п-у/с)3Д |
ОСП 2 |
H =n x E ||t ,,
где
П = Д ' / 3 = с -
Первый член Б исоответствующий ему член Н описывают поле, убы-
вающее с расстоянием по закону - ^ (квазистационарное поле), которое
R
движется вместе с зарядом, неотрываясь отнего. Второй член в Б и со-
ответствующий ему член в Нописывают поле, убывающее срасстоянием по закону -у;(поле излучения); поток энергии этого поля не зависит от Д.
н
Это означает, что поле излучения отрывается от породившего его заряда. На большом расстоянии отзаряда (в волновой зоне) квазистационарное поле пренебрежимо мало по сравнению сполем излучения. Как видно из (XII.25), условием возникновения поля излучения является наличие ускорения v ф0.
Интенсивность излучения в направлении п = Щ выражается через напряженность электрического поля Б вволновой зоне:
е2 |
Г2(П-У)(УУ) |
|
du 4к КЦП 4тгс3 |
U(l -п • |
|
|
У 2 |
(l-t;2/c2)(n-y)2l |
c(l-n.v/c)4 |
c(l-n.v/c)6 J' ( Ь) |
|
Если скорость v заряда мала по сравнению со скоростью света, то поле излучения может быть разложено помультиполям, идля его вычисления можно воспользоваться формулами (ХП.17)-(ХП.22).
В результате излучения ускоренно движущаяся частица теряет свою энергию § иимпульс р, передавая их электромагнитному полю. Потерю г-й
составляющей 4-вектора энергии-импульса частицы pj = (|г,р) вединицу
§ 2. Электромагнитное поледвижущегося точечного заряда |
209 |
собственного времени г можно выразить через 4-скорость щ и 4-ускоре- ние юi частицы:
Потеря энергии частицей в единицу времени в лабораторной системе отсчета —Щ^ (скорость потери энергии) отличается от четвертой составляю-
dt
щей (XII.27) множителем 7 = |
— , так как dt' = 'ydr. Интенсив- |
У/1 — v2/c2
ность излучения, определяемая с помощью (XII.26), не совпадает, в свою очередь, со скоростью потери энергии (см. задачи 762*-768).
Поле A(Ro,i) заряда, совершающего периодическое движение по замкнутой орбите г = To(t') с периодом ^L, может быть разложено в ряд
|
оо |
|
|
|
|
|
Фурье A(Ro, t) = |
Yl |
A/e~*"'0". Компонента Фурье А/, поля на больших |
||||
|
/=-оо |
|
|
|
|
|
расстояниях от орбиты выражается формулой: |
|
|||||
|
А , _ |
р б i k R o |
1 t |
i[lu>oti— k-ro(tt )]v(f'\fif' |
^YTT 7R\ |
|
|
|
CHQI |
J |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2тг |
i |
^ o |
|
Интеграл распространен по всей траектории заряда. |
|
|||||
Заряженные |
частицы при столкновении движутся |
с ускорением |
||||
и, вследствие этого, излучают электромагнитную энергию. Закон движения сталкивающихся частиц и, следовательно, излучаемая ими при столкновении энергия определяется видом взаимодействия и прицельным расстоянием s (если потенциальная энергия взаимодействия сталкивающихся частиц зависит только от расстояния между ними). Энергию, излучаемую во всех направлениях при рассеянии потока частиц, удобно характеризовать полным эффективным излучением
оо |
|
х = 2тг I AW(s)s ds, |
(XII.29) |
о |
|
где AW(s) — энергия, излучаемая при одиночном столкновении двух частиц, s — прицельное расстояние.