Батыгин&co
.pdf120 |
Глава VIII |
430. |
Найти фазовую v<p и групповую vg скорости распространения |
в среде, диэлектрическая проницаемость которой (ср. (VI. 12))
Ограничиться рассмотрением только случаев больших и малых (посравнению с и>о) частот и> (ц = 1).
431. Определить скорость переноса энергии одномерным волновым пакетом, движущимся в диспергирующей среде. Показать, что эта скорость совпадает с групповой скоростью vg.
УКАЗАНИЕ. Скорость переноса энергии v определяется соотношением у = vW,
где
— усредненная плотность энергии в диспергирующей среде (см. [66]), 7 —средняя плотность потока энергии.
§ 2. Плоские волны в анизотропных и гиротропных средах
Оптически анизотропными называются такие среды, у которых электрическая и магнитная проницаемости являются тензорами. Оптическая анизотропия может быть следствием кристаллической структуры тела, а также вызываться внешним электрическим полем (см.задачи 313*, 314) или внешними механическими воздействиями. При отсутствии внешнего магнитного поля тензоры Sik{u>) и /Xifc(w)1 симметричны:
Sik = Ski, »гк = Vki- |
(VIII.22) |
Ванизотропной среде в данном направлении могут распространяться
сразными фазовыми скоростями две плоские монохроматические волны одной частоты, поляризованные линейно в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Направления, вдоль которых обеволны имеют одинаковые скорости распространения, называются оптическими осями. Направление распространения волны, которое определяется нормалью к волновой поверхности, в общем случае не совпадает с направлением луча (т.е. с направлением вектора Пойнтинга).
'Мы не рассматриваем эффектов, связанных с пространственной неоднородностью поля, которые приводят кзависимости е^ иц^ отволнового вектора к (см. [66], атакже задачу 446).
§ 2. Плоские волны в анизотропных и гиротропных средах |
121 |
Кристаллы, у которых два главных значения тензора диэлектрической проницаемости совпадают (е^ = е^ = е±, е^ = £ц), являются одноосными. Их оптическая ось совпадает с осью хз = z. Волновые векторы двух волн, распространяющихся под углом в к оптической оси, имеют в этом случае величины:
e± sin2 |
в + е\\ cos2 |
в |
(vin.23) |
|
Первая из этих волн называется обыкновенной, в ней векторы индукции D и напряженности электрического поля Б направлены одинаково и оба перпендикулярны волновому вектору ki и плоскости, проходящей через волновой вектор и оптическую ось (плоскость главного сечения). Вторая волна называется необыкновенной. Вектор D этой волны лежит в плоскости главного сечения и перпендикулярен ее волновому вектору кг. Вектор Е также лежит в плоскости главного сечения и не совпадает по направлению с D.
При наличии внешнего постоянного магнитного поля тензоры еце и fak перестают быть симметричными; но в непоглощающих средах, которые только и будут рассматриваться в этом параграфе, они являются эрмитовыми:
В этом случае связь между напряженностями полей и индукциями можно записать в виде (ср. с задачей 316)
где ge и g m — векторы гирации (электрический и магнитный), е~'Е — вектор с компонентами в'гкЕ^. Среды, в которых векторы поля связаны уравнениями (VIII.25), называются гиротропными.
В гиротропной среде в заданном направлении могут распространяться с разными фазовыми скоростями две плоские волны одной частоты. Эти волны поляризованы эллиптически с противоположными направлениями вращения, эллипсы поляризации имеют одинаковое отношение осей и повернуты друг относительно друга на 7г/2.
Граничные условия на поверхности анизотропного или гиротропного тела имеют такой же вид, как и на границе раздела изотропных сред (см. (Ш.9) и (V.6)).
432. Необыкновенная волна распространяется в одноосном кристалле под углом в к оптической оси. Определить угол а между волновым вектором к и вектором Е, а также угол $ между направлением луча (вектором Пойнтинга) и оптической осью кристалла.
122 |
Глава VIII |
433.Плоская волна падает из вакуума на плоскую поверхность одноосного кристалла. Оптическая ось кристалла нормальна к его поверхности. Найти направления обыкновенного и необыкновенного лучей в кристалле, если угол паденияво-
434.Решить предыдущую задачу для случая, когда оптическая ось кристалла параллельна его поверхности и составляет угол а с плоскостью падения.
435.Плоская монохроматическая волна распространяется в безграничной ферритовой намагниченной до насыщения среде под углом в к постоянному магнитному полю. Магнитная проницаемость феррита —тен- зор1:
-ща 0 \
М± О
о щ)
(см. задачу 331;ось z направлена вдоль постоянного магнитного поля). Диэлектрическую проницаемость феррита е можно считать скаляром2. Найти фазовые скорости распространения v\,2-
436. Плоская монохроматическая волна распространяется в диэлектрике с \i = 1, находящемся в постоянном и однородном магнитном поле. Тензор диэлектрической проницаемости (см.задачу 318) имеет вид
V0
Найти фазовые скорости распространения.
437.Исследовать поляризации волн, которые могут распространяться
вбезграничной ферритовой намагниченной до насыщения среде. Рассмотреть два частных случая распространения:
а) вдоль постоянного магнитного поля; б) перпендикулярно постоянному магнитному полю.
438.Диэлектрик находится во внешнем магнитном поле. Плоскаямонохроматическая волна распространяется в направлении магнитного поля (ось z) и имеет в точке z = 0 линейную поляризацию. Определить поляризацию волны в точке z фО.
'Такой же вид имеет тензор диэлектрической проницаемости газообразного диэлектрика, находящегося во внешнем однородном магнитном поле (см. задачу (318).
2Это объясняется тем, что влияние постоянного магнитного поля на магнитные свойства феррита значительно сильнее, чем на электрические.
§ 2. Плоские волны в анизотропных и гиротропных средах |
123 |
УКАЗАНИЕ. Использовать тензор диэлектрической проницаемости, полученный в задаче 318.
439. Плоская поляризованная по кругу волна падает из вакуума нормально на плоскую границу феррита. Феррит намагничен в направлении падения волны. Определить характер поляризации и амплитуды отраженной и прошедшей волн.
УКАЗАНИЕ. Использовать граничные условия для векторов Е и Н.
440. Решить предыдущую задачу для случая, когда падающая волна поляризована линейно.
441*. Искусственный диэлектрик состоит из тонких идеально проводящих круглых дисков, ориентированных одинаковым образом и находящихся в вакууме. Перпендикулярно плоскостям дисков приложено постоянное магнитное поле Но и в том же направлении распространяется плоская электромагнитная волна. Определить фазовые скорости распространения, рассматривая диэлектрик как сплошную среду.
УКАЗАНИЕ. Учесть эффект Холла, который возникнет из-за наличия внешнего магнитного поля.
442.Плоская волна падает нормально на плоскую решетку, образованную тонкими параллельными бесконечно длинными проводниками. Расстояния между проводниками и их толщина много меньше длины волны. Какое влияние окажет решетка на распространение волн с различными поляризациями?
443.Рассмотреть возможность распространения продольных колебаний в среде с диэлектрической проницаемостью е(и>). При таких колебаниях вектор электрического поля Е параллелен волновому вектору. Указать условия, при которых затухание этих колебаний является малым. На какой частоте возможны продольные колебания в плазме (ее диэлектрическая проницаемость вычислена в задаче 312*)?
444.Область х < 0 занята плазмой с диэлектрической проницаемостью e(ui) = 1 — u>p/ui2 (см. задачу 312*), при х > 0 — вакуум. Показать, что вдоль границы плазма-вакуум может распространяться поверхностная волна, напряженности поля в которой затухают экспоненциально при удалении от границы. Найти частоту, при которой возможна такая волна, и ее поляризацию. Ограничиться рассмотрением медленной волны (и^, = ui/k <Cс).
445.Ионизованный газ находится в постоянном магнитном поле. Вдоль направления поля распространяется поперечная плоская волна. Найти фазовые скорости распространения. Рассмотреть, в частности, случай
124 |
Глава VIII |
малых частот (ш —у0) и исследовать характер электромагнитных волн с учетом движения положительных ионов.
УКАЗАНИЕ. Использовать выражение для тензора диэлектрической проницаемости ионизованного газа в постоянном магнитном поле, полученное в задаче 321*.
446. Определить тензор магнитной проницаемости цгк (ш, к) ферродиэлектрика, не пренебрегая членом gV2 M в выражении (VI. 16) эффективного магнитного поля. Для этого рассмотреть движение вектора намагниченности под действием плоской монохроматической волны. Ферродиэлектрик намагничен до насыщения постоянным магнитным полем Но.
УКАЗАНИЕ. Ограничиться случаем малых амплитуд, линеаризовать уравнение движения вектора намагниченности.
447. Найти с учетом члена gV2 M в выражении (VI. 16) для Нэфф дисперсионное уравнение электромагнитных волн, распространяющихся в изотропной, намагниченной до насыщения ферродиэлектрической среде. Показать, что в такой среде могут распространяться три типа волн с разными законами дисперсии о;(к). Определить явный вид зависимости о;(к) для
того типа волн, у которого может выполняться условие w g_ -С 1. Оце-
(ск)2
нить относительную величину электрического и магнитного полей для этой ветви колебаний.
448. Определить поверхностный импеданс £ ферромагнитного проводника, находящегося в постоянном магнитном поле, параллельном его поверхности. Тензор магнитной проницаемости приведен в условии задачи 435, а компоненты тензора электропроводности равны ац = G^I = &i,
<?33 = <?3> <712 = — <?21 = —i<?2> <7l3 = <?31 = <?23 = <?32 = 0 .
УКАЗАНИЕ. Поверхностный импеданс вданном случае —тензор 11ранга и должен быть определен из условия (ср.(VIII. 10))
Eri = C«fc(HT x n)f c ,
где i, к = 1, 2, Е т и Н т — касательные составляющие векторов поля вблизи поверхности проводника, п —орт нормали к поверхности.
449. Решить предыдущую задачу для случая, когда постоянное магнитное поле нормально к поверхности ферромагнитного проводника.
§3. Рассеяние электромагнитных волн на макроскопических телах. Дифракция
Точное решение задачи о дифракции электромагнитной волны на проводящем или диэлектрическом теле сводится к интегрированию уравне-
§ 3. Дифракция |
125 |
ний Максвелла при соответствующих граничных условиях. Оно возможно в немногих случаях (см., например, задачи 450*, 457*). В ряде случаев может быть найдено приближенное решение.
Если линейные размеры тела малы по сравнению с длиной волны, то электромагнитное поле вблизи тела можно считать однородным. Тело, находящееся в однородном периодическом поле, приобретет электрический и магнитный моменты, которые будут зависеть от времени по тому же закону, что и внешнее поле.
Рассеянная волна возникает в результате излучения этими переменными моментами. Задача о рассеянии электромагнитных волн на теле малых размеров сводится к определению дипольных моментов, которые приобретает тело. Поля излучения выражаются через дипольные моменты по формулам (XII.17) и (XII.20).
Эффективным дифференциальным сечением рассеяния в телесный угол dil называется отношение
<ШЛ (VIH.26)
7о
Здесь dl = 7 dS = 7Г2 dQ — средняя (по времени) интенсивность излучения в телесный угол dil; 7 и 70 - средние плотности потока энергии в рассеянной и падающей волнах. Плотность потока энергии описывается вектором Пойнтинга
7=^(ЕхН). (VIII.27)
Эффективным сечением поглощения называется отношение средней энергии, поглощаемой телом в единицу времени, к средней плотности потока энергии в падающей волне:
оа = £ . |
(VIII.28) |
7о |
|
В противоположном предельном случае, когда длина волны много меньше размеров тела, применимы методы геометрической оптики. При дифракции электромагнитной волны на отверстии в бесконечном непрозрачном экране амплитуда дифрагированного поля в приближении геометрической оптики описывается формулой
которая может быть выведена на основе принципа Гюйгенса. Здесь up — поле в точке Р за экраном (рис. 25), и — поле на участке dS поверхности
126 |
Глава VIII |
отверстия (это поле предполагается таким же, как при отсутствии экрана, т. е. неискаженным), dSn — проекция элемента dS поверхности отверстия на направление луча, пришедшего из источника света О в dS, R — расстояние от dS до точки Р,к — абсолютная величина
волнового вектора световой волны. Источник света О и точка наблюде-
ния Р могут находиться как на конечных, так и на бесконечно больших расстояниях от экрана. Случай, когда точки О и Р, или хотя бы одна из них, находятся на конечном расстоянии от экрана, носит название дифракции Френеля.
Если обе точки О и Р находятся на очень больших расстояниях от экрана, то лучи света, идущие от источника к отвер-
стию и от отверстия в точку наблюдения, можно считать параллельными. В этом случае, который носит название дифракции Фраунгофера, формула (VIII.29) может быть преобразована:
Здесь к и к' — волновые векторы падающего и дифрагированного света, До — расстояние от отверстия до точки наблюдения, ио — амплитуда поля на отверстии.
Интенсивность дифрагированного света пропорциональна квадрату модуля |ир|2 .
В случае дополнительных1 экранов имеет место принцип Бабине [55]: пусть Mi и щ — волновые поля в некоторой точке, соответствующие двум дополнительным экранам, и — неискаженное волновое поле в той же точке
при отсутствии экранов, тогда |
|
+U-2 = U. |
(VIII.31) |
Формулы (VIII.29) и (VIII.30) не учитывают поляризации электромагнитных волн (амплитуда и предполагается скалярной, а не векторной величиной). Дифракционная формула, учитывающая векторный характер электромагнитного поля, может быть записана в виде
'Дополнительным называется экран, имеющий отверстия там, где другой экран не прозрачен, и не прозрачный там, где другой экран имеет отверстия.
§ 3. Дифракция |
127 |
В этой формуле Е и Н — значения полей на поверхности отверстия, Ер — электрическое поле на большом расстоянии от экрана (в волновой зоне), п — единичный вектор в направлении распространения дифрагированной волны, по — орт нормали к поверхности отверстия, направленный в сторону точки наблюдения, г — расстояние от dS до точки наблюдения, R — расстояние от начала координат (выбранного на отверстии) до точки наблюдения.
Магнитное поле в волновой зоне выражается через электрическое по обычной формуле:
Н р = п х Ер.
450*. На бесконечный круговой идеально проводящий цилиндр радиуса а, находящийся в вакууме, падает плоская монохроматическая волна в направлении, перпендикулярном оси цилиндра. Вектор Е о падающей волны параллелен оси цилиндра. Определить результирующее поле, распределение тока по поверхности цилиндра и полный ток J, текущий вдоль цилиндра.
451. Найти дифференциальное сечение рассеяния dcrs электромагнитной волны (диаграмму направленности вторичных волн) цилиндром, рассмотренным в задаче 450*. Найти также полное сечение рассеяния <тв.
452*. Плоская монохроматическая волна падает на идеально проводящий круговой цилиндр так, что ее магнитный вектор Но = Жоег^-к'г~ш^ параллелен, а волновой вектор к перпендикулярен оси цилиндра. Цилиндр находится в вакууме. Найти результирующее электромагнитное поле. Рассмотреть, в частности, случай тонкого (ка ^ 1) цилиндра, определить дифференциальное das и полное as сечения рассеяния для этого случая.
453. Пусть dcr\\ и da± — дифференциальные сечения рассеяния на бесконечном цилиндре плоской волны с вектором Е, направленным соответственно параллельно и перпендикулярно оси цилиндра. Найти дифференциальное сечение do^ рассеяния волны, у которой вектор Е составляет с осью цилиндра угол ц>, а также дифференциальное сечение da" рассеяния неполяризованной волны.
УКАЗАНИЕ. Использовать принцип суперпозиции полей.
454. Неполяризованная плоская волна рассеивается на идеально проводящем тонком (ка <с 1) цилиндре. Определить степень деполяризации р рассеянных волн в зависимости от угла рассеяния.
455*. Решить задачу 452* о дифракции плоской волны на бесконечном цилиндре, не предполагая цилиндр идеально проводящим, но считая его поверхностный импеданс С малым. Воспользоваться приближенным граничным условием Леонтовича (VIII.10).
128 |
Глава VIII |
456. |
Определить среднюю потерю энергии Q и сечение поглощения <та |
на единицу длины цилиндра, рассмотренного в предыдущей задаче. Исследовать, в частности, случай fca<l и объяснить получающийся результат.
457*. Рассмотреть дифракцию плоской монохроматической волны на диэлектрическом цилиндре. Цилиндр радиуса а с диэлектрической проницаемостью е и магнитной проницаемостью /4 находится в вакууме. Волна падает нормально к образующей цилиндра, вектор Б параллелен его оси. Определить результирующее поле.
458*. Линейно поляризованная плоская монохроматическая волна рассеивается на шаре, радиус которого а много меньше длины волны Л. Выразить составляющие электромагнитного поля рассеянного излучения в волновой зоне через электрическую и магнитную поляризуемости шара. Определить эффективное дифференциальное сечение рассеяния.
УКАЗАНИЕ. В силу условия а <С А считать внешнее поле вблизи шара однородным и рассмотреть излучение индуцированных электрического р и магнитного m дипольных моментов.
459.Вычислить дифференциальное das и полное <JS сечения рассеяния, а также степень деполяризации р вторичного излучения при рассеянии неполяризованной волны шаром, радиус которого а много меньше длины
волны А. Результат выразить через электрическую /?е, и магнитную /?т поляризуемости шара.
460.Используя результаты предыдущей задачи, определить диффе-
ренциальное das и полное <JS сечения рассеяния неполяризованного света малым диэлектрическим шаром с проницаемостью е (м = 1), а также степень деполяризации р рассеянного света. Построить графики зависимости этих величин от угла рассеяния в. Указать условие применимости полученных формул. Решить ту же задачу для идеально проводящего шара с ц = 1.
461.Плоская монохроматическая волна падает под углом | - а н а
идеально проводящий тонкий диск, радиус которого а много меньше длины волны А. Определить дифференциальное das и полное as сечения рассеяния при различных поляризациях падающей волны, а также сечение рассеяния неполяризованной волны.
462. В однородном диэлектрике с проницаемостью е (ц = 1) вырезана полость, имеющая форму тонкого диска радиуса а, толщиной 2ft. Нормально к плоскости полости падает неполяризованный свет с длиной волны А » а. Найти дифференциальное das и полное as сечения рассеяния.
§3. Дифракция |
129 |
463*. Найти дифференциальное и полное сечения рассеяния плоской волны длиной Л на идеально проводящем цилиндре высотой 2/i и радиуса а < , /i С А. Исследовать различные случаи поляризации падающей волны. Цилиндр аппроксимировать вытянутым эллипсоидом вращения с полуосями о и Л.
УКАЗАНИЕ. Использовать решения задач 197, 198, 390*.
464. Решить предыдущую задачу для диэлектрического цилиндра, высота которого 2/i много меньше длины волны Л внутри цилиндра,
465*. Плоская монохроматическая волна So exp[i(kr —u>t)\ рассеивается на диэлектрическом шаре радиуса о, поляризуемость которого (е —
—1)/4тг <£. 1 (ц = 1). Вследствие малой поляризуемости поляризация шара
впервом приближении пропорциональна полю падающей волны. Определить дифференциальное сечение рассеяния и степень деполяризации р рассеянного излучения. Какой характер приобретает рассеяние в случае очень большого шара (ка > 1)?
466.Определить полное сечение рассеяния ад диэлектрической сферой, рассмотренной в предыдущей задаче, в предельном случае ка > 1. Сравнить со случаем ка <£. 1.
467*. Плоская монохроматическая волна рассеивается некоторой системой зарядов (например, макроскопическим телом). Электрическое поле на больших расстояниях от рассеивателя имеет вид
где п = £, е = -=£, к = ^, Ео — амплитуда падающей волны, F(n) —
амплитуда рассеяния — функция, характеризующая свойства рассеивателя и зависящая от частоты. Доказать соотношение («оптическую теорему»):
Здесь crt = crs + cra — полное сечение взаимодействия волны с системой зарядов, равное сумме сечений рассеяния ад и поглощения аа, F(n0 ) — амплитуда рассеяния «вперед», т. е. в направлении распространения падающей волны.