Батыгин&co
.pdf30 |
ГлаваII |
области 1 и 2, ц>\ = ц>2 (рис. 6).Нормальные производные ц> терпят разрыв на заряженной поверхности:
ИЛИ ^ - ^ = 4 Т Г < Т . |
(П.5) |
Нормаль п направлена изобласти 1 в область 2.
На поверхности двойного электрического слоя с мощностью г (см., например, [101])
(U.6,
(нормаль п имеет направление от отрицательной стороны слоя к положительной).
Если распределениям зарядов р\ и рч соответствуют потенциалы <р\
и tf2, то потенциалом распределения р = pi + р2 является ц>=ц>\ + ц>2 (принцип суперпозиции). То же справедливо для электрического поля Б. В частности, принцип суперпозиции позволяет из потенциалов
элементарных зарядов q/r получать путем суммиро-
(2)вания потенциалы сложных систем зарядов:
В случае поверхностного или линейного распределения зарядов объемный интеграл в (П.7) заменяет- р и с 6 ся соответствующим поверхностным или линейным интегралом, а в случае системы точечных зарядов —
суммой по зарядам. Этозамечание относится также ковсем нижеследующим формулам, в которых содержатся объемные интегралы по распределению зарядов.
В большинстве случаев прямое вычисление интеграла (П.7) затруднительно. В связи с этим часто применяется представление потенциала в виде ряда, который получается в результате разложения подынтегрального выражения по степеням х/r или х'/r и почленного интегрирования. Такое разложение можно получить какв декартовых, так и в сферических координатах.
Декартовы координаты (рис. 7).При г > а (а —наибольшее расстояние зарядов системы от полюса О):
<p(xyz) = г P дха г+ 2! дхадх/з г |
|
|
|
|
Qgfr |
д3 |
1 |
(П.8) |
|
3! |
дхпдхядхч |
г |
||
|
Постоянное электрическое поле в вакууме |
31 |
Мультипольные моменты q, pa, Qa/3 • • • выражаются объемными интегралами:
q = |
I р{т) dV' |
—полный заряд системы, |
|
Ра = |
I p(r')x'a dV' |
—компоненты дипольного момента, |
(II.8') |
Qap = |
I р{г)хах'р dV' |
—компоненты квадрупольного момента. |
|
Величины q, pa, Qap • • • при повороте системы координат преобразуются соответственно как скаляр, вектор, тензор II ранга и т.д. Второй
и третий члены потенциала (П.8) могут быть записаны в форме
г3 |
(П.9) |
R = r-r' |
' |
r{r,d,a |
|
|
|
где р = (px,Py,Pz) — вектор дипольного момента системы;
(Зу2 - r2)Qyy + (3z2 - r2)Qzz+
6xyQxy + 6xzQxz + 6yzQyz].
хо
Рис.7
Сферические координаты. Используем разложение |г—r'|- 1 , приведен-
ное в приложении 2 (П2.15). Подставляя это разложение в (П.7), получим
при г > г':
оо I |
, |
|
|
|
f\ > 2-~i 2-~i у |
21 +1 |
(г > г'), |
(11.10) |
|
|
|
|||
/=0 m=-l |
' |
|
|
|
где Qim — мультипольный момент порядка I, т; |
|
|
||
|
|
|
|
(11.11) |
Если г' > г, то в (Ш1,15) г |
и г' меняются местами и |
|
||
= Е Е |
|
|
|
(11.12) |
|
|
|
|
|
/=0 m=-/
32 |
Глава II |
где |
|
Если точка наблюдения г находится внутри распределения зарядов (см. рис. 7), то нужно разбить область интегрирования в (П.7) на две части сферой радиуса г с центром в полюсе О. При интегрировании по области внутри сферы нужно пользоваться разложением (П2.15), при интегрировании по внешней области — формулой (П2.15) с заменой г <^ г'.
Реальные системы зарядов всегда ограничены, и их потенциал убывает на больших расстояниях не медленнее, чем 1/г. Но при рассмотрении поля вблизи средней части длинного цилиндра или ограниченного плоского тела целесообразно идеализировать задачу, считая тело бесконечным. При этом потенциал не убывает на бесконечности, но он правильно описывает поле на расстояниях, малых по сравнению с размером тела.
Наглядное представление о структуре поля дают силовые линии и эквипотенциальные поверхности. Силовые линии определяются из системы дифференциальных уравнений, которая в произвольных ортогональных координатах Ц\,Ц2, <?з имеет вид
i?! |
£2 |
£3 |
где /ij — коэффициенты Ламэ; эквипотенциальные поверхности описываются уравнением ip(r) = const.
Точками равновесия поля называются такие точки, находящиеся на конечном расстоянии от системы зарядов, в которых Е = 0.
Энергия электростатического поля может быть вычислена по одной из
формул: |
|
W = -±- / E*dV, W = ± / ptpdV |
(11.15) |
(эти формулы эквивалентны, если заряды сосредоточены в конечной области пространства, а интегрирование распространяется на все пространство).
Энергия взаимодействия двух систем зарядов 1 и 2 определяется выражениями:
J |
J |
| 1 2 | |
Обобщенные пондеромоторные силы могут быть получены дифференцированием U или W по соответствующим обобщенным координатам а,:
ffi.
Постоянное электрическое полев вакууме |
33 |
Обобщенная сила положительна, если она стремится увеличить соответствующую координату.
69.Бесконечная плоская плита толщиной а равномерно заряжена по объему с плотностью р. Найти потенциал tp и напряженность Е электрического поля.
70.Заряд распределен в пространстве по периодическому закону р =
=ро cos ах cos /Зу cos jz, образуя бесконечную пространственную периодическую решетку. Найти потенциал tp электрического поля.
71.Плоскость z = 0 заряжена с плотностью, меняющейся по периодическому закону ст = сто sin ax sin (Зу, где сто, а, (3 — постоянные. Найти потенциал tp этой системы зарядов.
72.Бесконечно длинный круговой цилиндр радиуса R равномерно заряжен по объему или по поверхности так, что на единицу его длины приходится заряд н. Найти потенциал tp и напряженность электрического поля Е.
73.Найти потенциал tp и напряженность Е электрического поля равномерно заряженной прямолинейной бесконечной нити.
74.Найти потенциал tp и напряженность Е электрического поля равномерно заряженного прямолинейного отрезка длиной 2а, занимающего часть оси z от —а до +а; заряд отрезка q.
75.Найти форму эквипотенциальных поверхностей равномерно заряженного отрезка, рассмотренного в предыдущей задаче.
76.Найти потенциал tp и напряженность Б электрического поля шара, равномерно заряженного по объему. Радиус шара R, заряд q.
77.Найти потенциал tp и напряженность Е электрического поля сферы радиуса R, равномерно заряженной по поверхности. Заряд сферы q.
78. Внутри шара радиуса R, равномерно заряженного по объему с плотностью р, имеется незаряженная шарообразная полость, радиус ко-
торой R\, а центр отстоит от центра шара на расстоянии а (а + R\ |
< |
R). |
Найти электрическое поле Е в полости. |
|
|
79. Пространство между двумя концентрическими сферами, радиусы |
||
которых R\ и Лг (#i < R2), заряжено с объемной плотностью р |
= |
^. |
Найти полный заряд q, потенциал tp и напряженность Е электрического поля. Рассмотреть предельный случай Лг —>Ri, считая при этом q = const.
34 |
Глава II |
80.Найти энергию электростатического поля W для распределений заряда, указанных в задачах 76, 77, 79. Провести вычисления двумя способами (см. (11.15)).
81.Заряд распределен сферически симметричным образом: р = р(г). Разбив распределение заряда на сферические слои, выразить через р(г) потенциал <р и напряженность Б поля (записать <р и Е в виде однократного интеграла по г).
82.Используя результаты задачи 81, решить задачи 76 и 79.
83.Заряд электрона распределен в атоме водорода, находящемся внор-
_2г
мальном состоянии, с плотностью р(г) = |
^ е а ,а = 0,529 • 10~8 см — |
•ка
боровский радиус атома, ео = 4,80 • 10~10 CGSE — элементарный заряд. Найти потенциал ipe и напряженность Еег электрического поля электронного заряда, а также полные потенциал <р и напряженность поля Б в атоме, считая, что протонный заряд сосредоточен в начале координат. Построить приблизительный ход величин <р и Е.
УКАЗАНИЕ. Полезно воспользоваться методом решения задачи 81.
84. Рассматривая атомное ядро как равномерно заряженный шар, найти максимальное значение напряженности его электрического поля i?max-
1
Радиус ядра R = 1,5 • 10~1 3 А3 см, заряд Zeo (А — атомный вес, Z — порядковый номер, ео — элементарный заряд).
85.Используя результат задачи 81, решить задачу 77.
86.Плоскости двух тонких коаксиальных равномерно заряженных колец одинакового радиуса R находятся на расстоянии а друг от друга. Работа, которую надо совершить, чтобы перенести точечный заряд q из бесконечности в центр каждого из колец, равна соответственно А\ и Аг. Найти заряды на кольцах q\ и 92-
87.Найти потенциал f и напряженность Б электрического поля на оси равномерно заряженного круглого тонкого диска радиуса R; заряд диска q. Убедиться в том, что на поверхности диска нормальная составляющая Б испытывает скачок 4псг. Рассмотреть поле на больших расстояниях от диска.
88. Тонкое круглое кольцо радиуса R состоит из двух равномерно и противоположно заряженных полуколец с зарядами q и —q. Найти потенциал <р и напряженность Б электрического поля на оси кольца и вблизи нее. Каков характер поля на больших расстояниях от кольца?
Постоянное электрическое полев вакууме |
35 |
89. Выразить потенциал tp равномерно заряженного круглого тонкого кольца с зарядом q и радиусом R через полный эллиптический интеграл первого рода
тг/2
к(к)= [
а 2 ^
УКАЗАНИЕ. При выполнении интегрирования по азимуту сделать замену а' =
90. Получить из общей формулы, описывающей потенциал тонкого круглого кольца (см. задачу 89), потенциал tp электрического поля: а) на оси кольца; б) на больших расстояниях от кольца; в) вблизи нити кольца.
УКАЗАНИЕ. ДЛЯслучая в) воспользоваться формулами 8.113 в справочнике [90].
91.Сфера радиуса R заряжена по поверхности по закону <т =стоcos •&. Найти потенциал tp электрического поля, используя разложение по мультиполям в сферических координатах.
92.Источники электрического поля расположены аксиально симметричным образом. Вблизи оси симметрии системы источники поля отсутствуют. Выразить потенциал tp и напряженность Е электрического поля вблизи оси симметрии через значения потенциала tp и его производных на этой оси.
93.Найти потенциал tp электрического поля равномерно заряженного круглого тонкого кольца, используя разложение по мультиполям в сферических координатах. Заряд кольца q, радиуса R.
94.Найти потенциал tp электрического поля на больших расстояниях от следующих систем зарядов: а) заряды q, —2q, q расположены по оси z на расстоянии а друг от друга (линейный квадруполь); б) заряды ±q располо-
жены в вершинах квадрата со стороной а так, что соседние заряды имеют разные знаки, причем в начале координат находится заряд +q, а стороны квадрата параллельны осям хну (плоский квадруполь).
95.Найти потенциал tp электрического поля на больших расстояниях от следующих систем зарядов: а) линейный октуполь (рис. 8а), б) пространственный октуполь (рис. 86).
96.Точечный заряд q находится в точке со сферическими координатами (го, i?oi ао). Разложить по мультимополям потенциал tp этого заряда.
36 |
ГлаваII |
97. Эллипсоид с полуосями а, 6, с равномерно заряжен по объему; полный заряд эллипсоида q. Найти потенциал <рна больших расстояниях от эллипсоида с точностью до квадрупольного члена. Рассмотреть частные случаи эллипсоида вращения с полуосями1 а = 6 и с и шара (а = Ь = с).
УКАЗАНИЕ. При интегрировании пообъему эллипсоида воспользоваться обобщенными сферическими координатами х = ar sin fl cosа, у = brsintfsina, z = = cr cos д.
+9 |
b |
-q |
а/ |
|
|
-Q |
|
|
|
[-я. |
+q |
|
6) |
|
Рис.8
98. Два коаксиальных равномерно заряженных тонких круглых кольца с радиусами а и 6 (а > 6) и зарядами qn —q соответственно, расположены в одной плоскости. Найти потенциал <рна большом расстоянии от этой системы зарядов. Сравнить его с потенциалом линейного квадруполя (см. задачу 94).
99*. Показать, что распределение заряда р = — (р' • V)J(r) описывает элементарный диполь с моментом р', помещенный в начало координат. Пояснить результат, воспользовавшись наглядным представлением ^-функции (приложение 1).
УКАЗАНИЕ. ИСХОДИТЬ ИЗразложения по мультиполям в декартовых координа-
тах.
100. Доказать, что распределение зарядов
=qf[(ai-V)6(r)
*=1
'Атомные ядра, обладающие квадрупольным моментом, можно в некотором приближении рассматривать какэллипсоиды вращения
Постоянное электрическое поле в вакууме |
37 |
создает потенциал
101.Используя результаты задачи 94 и учитывая, что квадрупольный момент является тензором II ранга, найти поле tp на большом расстоянии от линейного квадруполя, направление оси которого определяется полярными углами 7, (3.Каким еще способом можно решить задачу?
102.Пространственный октуполь (рис. 86) повернут вокруг оси z на угол 0. Найти поле tp на больших от него расстояниях путем преобразования компонент октупольного момента. Сравнить с другими методами решения.
103.Найти потенциал tp элек-
трического поля на больших расстояниях от плоского квадруполя, расположенного в плоскости, проходящей через ось z (рис. 9). Компоненты квадрупольного момента получить непосредственно, а также путем поворота плоского квадруполя, рассмотренного в задаче 946).
104.Шар радиуса R равномерно поляризован, дипольный момент единицы объема Р. Найти электрическое поле tp.
105.Двумерное распределение заряда характеризуется плотностью р(г), не зависящей от координаты z. Если р(г) ф 0 в ограниченной области 5 плоскости ху, то можно разложить потенциал tp вне распределения зарядов по мультиполям (двумерные мультиполи). Найти это разложение.
УКАЗАНИЕ. Использовать результат задачи 73 и принцип суперпозиции, а также разложение 1п(1 + и2 — 2ucosy>) = —2 *-• cosfcy;IT uk, \u\ < 1 (см. [90], 1.514).
•=1 "*
106.Разложить по двумерным мультиполям потенциал tp электрического поля линейного заряда х. Заряженная линия параллельна оси z
ипроходит через точку (го, с*о) плоскости ху.
107.Найти потенциал tp электрического поля на большом расстоянии
от двух близких параллельных линейных зарядов к и — х, расположенных на расстоянии а друг от друга (двумерный диполь).
38 |
Глава II |
108.На диске радиуса R имеется двойной электрический слой мощностью г = const. Найти потенциал (р и напряженность Е электрического поля на оси симметрии, перпендикулярной плоскости диска.
109.Найти напряженность Е электрического поля двойного электри-
ческого слоя мощностью г = const, занимающего полуплоскость у = 0, х > 0. Сравнить смагнитным полем бесконечного прямолинейного тока, текущего вдоль оси z. Решить задачу двумя способами: а) прямым суммированием напряженностей, создаваемых малыми элементами двойного слоя; б) определив сначала электростатический потенциал у.
НО. Найти уравнения силовых линий системы двух точечных зарядов: заряда +q, находящегося вточке z = а, и заряда ±q, находящегося в точке z = —а; начертить силовые линии. Имеются ли в поле точки равновесия?
УКАЗАНИЕ. Вследствие симметрии силовые линии располагаются в плоскостях а = const, a Ez и Ег не зависят от а (цилиндрические координаты). Переменные в дифференциальном уравнении силовых линий (II.14) разделяются после замены:
z + a z— a
«=-г-, «=-г--
111.Используя результаты предыдущей задачи, найти уравнение силовых линий точечного диполя в начале координат.
112.Найти уравнение силовых линий линейного квадруполя (см. задачу 94а) и нарисовать примерную картину силовых линий.
113.Доказать, что поток напряженности электрического поля точеч-
ного заряда q через поверхность 5 равен qQ. Здесь Q — телесный угол, под которым виден контур поверхности 5 из точки, где находится заряд q (Q > 0, если из этой точки видна отрицательная сторона поверхности).
114. Заряд q\ находится на оси симметрии круглого диска радиуса а на расстоянии а от плоскости диска. Какой величины 92 заряд нужно поместить в симметричную относительно диска точку, чтобы поток электрического поля через диск в сторону заряда q\ был равен Ф?
115*. Найти уравнение силовых линий системы п коллинеарных зарядов 9i, 92! • • •!9п расположенных в точках z\, z-i,..., zn оси z, не интегрируя дифференциальных уравнений силовых линий. Применить теорему, доказанную взадаче 113 к силовой трубке, образованной вращением силовой линии вокруг оси симметрии.
116. Используя результат предыдущей задачи, найти уравнение силовых линий системы двух точечных зарядов (ср, с задачей 110) и линейного квадруполя (ср. с задачей 112).
Постоянное электрическое полев вакууме |
39 |
117.Равномерно заряженные нити, несущие заряды х\ и —хг на единицу длины, параллельны между собой и отстоят друг от друга на расстояние h. Найти, при каком соотношении между к\ и къ в числе поверхностей равного потенциала этой системы будут круговые цилиндры конечного радиуса. Определить радиусы и положение осей цилиндров.
118.Точечные заряды q\ и —qi находятся на расстоянии h друг от друга. Показать, что в числе поверхностей равного потенциала этой системы имеется сфера конечного радиуса. Определить координаты ее центра
ирадиус. Найти значение потенциала ц> на поверхности этой сферы, если у(оо) = 0.
119.Каким распределением зарядов создается потенциал, имеющий
в сферических координатах вид: <р{т) = qe~ar/г, где a, q — постоянные.
120. Каким должно быть распределение зарядов, чтобы созданный им
потенциал имел в сферических координатах вид ср(г) = ^е~ ( р + 1J, где ео, а — постоянные.
121.Найти энергию взаимодействия U электронного облака с ядром
ватоме водорода. Заряд электрона распределен в атоме с объемной плотно-
стью р(г) = — - ^ е ~ г , где ео — элементарный заряд (ср. с задачей 83), тга
а— постоянная (боровский радиус атома).
122.В некотором приближении можно считать, что электронные облака обоих электронов в атоме гелия имеют одинаковый вид и характери-
зуются объемной плотностью р = — ^ | е ~ г , где а — боровский радиус
тга
атома, ео — элементарный заряд. Найти энергию взаимодействия U электронов в атоме гелия в этом приближении (нулевое приближение теории возмущений).
123.Центры двух шаров с зарядами q\ и q? находятся на расстоянии а друг от друга (а > R\ + Дг, где Ri,R-2 — радиусы шаров). Заряды распределены сферически симметричным образом. Найти энергию взаимодействия U шаров и действующую между ними силу F.
124.Мыльный пузырь, висящий на открытой трубке, стягивается под действием поверхностного натяжения (коэффициент поверхностного натяжения а). Считая, что диэлектрическая прочность воздуха (напряженность поля, при которой происходит пробой) равна -Бо,выяснить, можно ли сильно заряжая пузырь предотвратить его сжатие. Каков минимальный равновесный радиус R пузыря?