Батыгин&co

а) С • grad(A • В) = А • (С • V)B + В • (С • V)А; б) (С • V)(A х В) = А х (С • V)B - В х (С • V)A; в) (V • А)В = (А • V)B + В div A;

г) (А х В) • rot С = В • (А • V)C - А • (В • V)C; д) (А х V) х В = (А • V)B + А х rotB - AdivB;

е) (V х А) х В = AdivB - (А • V)B - A x rotB - В х rot А.

41.Вычислить gradyj(r); d\vip(r)r; rotip(r)r; (1

42.Найти функцию <р(г), удовлетворяющую условию div у(г)г = 0.

43.Найти дивергенции и вихри следующих векторов: (а • г)Ь, (а • г)г, (а х г), <p(r)(aх г), г х (а х г), где а и b —постоянные векторы.

44. Вычислить gradA(r)-r, gradA(r) • В(г), div <p(r)A(r),

Tot<p(r)A(r), (1 V ( ) A ( )

45.Вычислить grad ^—^ и rotP 3 Г (р — постоянный вектор),воспользовавшись выражениями градиента и вихря в сферических координатах. Найти векторные линии для этих векторов (дать рисунок).

46.Доказать, что

(А • V)A = —А х rotА при А2 = const.

47. Записать проекции вектора ДА на оси сферической системы координат.

УКАЗАНИЕ. Воспользоваться тождеством ДА = — rotrotA + grad div A.

48.Записать проекции вектора ДА на оси цилиндрической системы координат.

49.Интеграл пообъему /(grad ip• rot A) dV преобразовать в интеграл по поверхности.

50. Вычислить интегралы ^ г(а • n) dS, f(a • г)пdS, где а — постоянный вектор, п —орт нормали к поверхности.

51. Интегралы по замкнутой поверхности fnipdS, $(n x a)dS, ^(п • b)adS (b — постоянный вектор, п — орт нормали) преобразовать в интегралы по объему, заключенному внутри поверхности.

УКАЗАНИЕ. Решение выполнить пообразцу предыдущей задачи.

52. Воспользовавшись одним из тождеств, доказанных в предыдущей задаче, вывести закон Архимеда путем суммирования сил давления, приложенных к элементам поверхности погруженного в жидкость тела.

53*. Пусть /(а, г) удовлетворяет условию

+ c 2 a 2 , r ) = c i / ( a b r ) +с2 /(а2,г),

где с\ и С2 — произвольные постоянные, и является дифференцируемой функцией г. Доказать, что если V — произвольный объем, S — ограничивающая его поверхность и п — орт внешней нормали к этой поверхности, то имеет место обобщенная теорема Остроградского-Гаусса:

Оператор V в подынтегральной функции /(V, г) действует на г и стоит левее всех переменных.

УКАЗАНИЕ. Разложить п по ортам декартовой системы координат и воспользоваться теоремой Остроградского-Гаусса:

54.Решить задачи 50 и 51 с помощью обобщенной теоремы Остро- градского-Гаусса, доказанной в предыдущей задаче.

55.Интеграл по замкнутому контуру § ipd\ преобразовать в интеграл по поверхности, опирающейся на этот контур.

56.Интеграл § и df, взятый по некоторому замкнутому контуру, преобразовать в интеграл по поверхности, опирающейся на этот контур (и, f — скалярные функции координат).

57.Доказать тождество:

/ (А • rot rot В - В • rot rot A) dA = <j> [(В х rot A) - (А х rot В)] • dS.

60. Для трехмерного тензора II ранга доказать теорему Остроградско- го-Гаусса:

УКАЗАНИЕ. ИСХОДИТЬ ИЗ теоремы Остроградского-Гаусса для вектора Ai =

,где а — произвольный постоянный вектор.

61.Найти общий вид решения уравнения Лапласа для скалярной функции, зависящей только: а) от г; б) от •&; в) от а (сферические координаты).

62.Найти общий вид решения уравнения Лапласа для скалярной функции, зависящей только: а) от г; б) от а; в) от z (цилиндрические координаты).

63.Показать, что если скалярная функция ф является решением уравнения Aip + k2ip = 0 и а — некоторый постоянный вектор, то векторные функции L = grad^>, М = rot(a^), N = rotM удовлетворяют уравне-

нию ДА + fc2 A = 0.

с полуосями а, 6, с. Уравнения

изображают соответственно эллипсоид, однополостной и двухполостной гиперболоиды, софокусные с первым эллипсоидом. Через каждую точку пространства проходит по одной поверхности, характеризуемой значениями £, т],С- Числа £, т],С называются эллипсоидальными координатами точки х, у, z. Найти формулы преобразования от £, т), Ск х, у, z. Убедиться в ортогональности эллипсоидальной системы координат. Найти коэффициенты Ламэ и оператор Лапласа в эллипсоидальных координатах.

65*. При а = b > с эллипсоидальная система координат (см. предыдущую задачу) вырождается в так называемую сплюснутую сфероидальную систему координат. Координата С при этом переходит в постоянную, равную —а2, и должна быть заменена другой координатой. В качестве последней выбирают азимутальный угол а в плоскости ху.

Координаты £, г] определяются из уравнений

= const

Найти выражения г, z в сплюснутых сфероидальных координатах, коэффициенты Ламэ и оператор Лапласа в этих координатах.

66*. Вытянутая сфероидальная система координат получается из эллипсоидальной (см. задачу 64*) при а > b = с. Координата 77 при этом вырождается в постоянную и должна быть заменена азимутальным углом а, отсчитываемым в плоскости yz от оси у.

Поверхности постоянных ^ и £ представляют собой вытянутые эллипсоиды и двухполостные гиперболоиды вращения (рис. 3). Выразить величины х, г через £, С; найти коэффициенты Ламэ и оператор Лапласа в переменных £, С, а.

»/= const

= const

Рис.4

67. Бисферические координаты £, т/, а а связаны с декартовыми соотношениями:

а; = a sinTfcosa ch£ — COST;'

У= a sinr/sin а ch£ — COST;'

ash£

z = c h £ — COST;'

где a —постоянный параметр, — o o < £ < o o , 0 < 77 < тг,0 < a < 2тг.

бой сферы х2 + у2 + (z — acth£)2 = ( - г т ) , поверхности г] = const — веретенообразные поверхности вращения вокруг оси z, уравнение которых

поверхности a = const — полуплоскости, расходящиеся от оси z (рис. 4). Убедиться в том, что эти координатные поверхности ортогональны между собой. Найти коэффициенты Ламэ и оператор Лапласа.

М

Рис.5

68. Тороидальные координаты р, £, а образуют ортогональную систему и связаны с декартовыми координатами соотношениями

ashp cos a

X = ch p — cos £'

ashp sin a У = dip — cos£'

asin£

Z = ch p — cos £'

где а — постоянный параметр, —оо < р < оо, —7г < £ ^ 7г, а — азимутальный угол, изменяющийся в пределах от 0 до тт.

Показать, что р = In £ | (см. рис. 5, на котором изображены плоскости а = const, а + тг = const), a величины £ представляют собой угол между г\ и Г2 (£ > 0 при г > 0 и £ < 0 при z < 0). Какой вид имеют координатные поверхности р и £? Найти коэффициентыЛамэ.

ЛИТЕРАТУРА

Смирнов В. И. [94, 95], Кочин Н. Е. [62], Тамм И. Е. [101], Стрэттон Дж. А. [100], Гельфаид И. М. [30], Гельфанд И. М, Минлос. Р. А., Шапиро 3. Я. [31], Морс Ф. М, Фешбах Г. [81], Лебедев В. П., Скальская И. П., Уфлянд Я. С. [69].