Батыгин&co

зоне Бриллюэна находится TVi x Л^ x Щ разрешенных значений волнового вектора к. Итак, зона Бриллюэна содержит столько допустимых значений вектора к, сколько элементарных ячеек содержит макрокристалл. Увеличение размеров макрокристалла просто увеличивает плотность состояний в fc-пространстве.

Пусть объем макрокристалла, содержащего N3 = Ni • N2 • N3 ячеек, равен v, тогда на одну ячейку приходится объем vn = (v/N3) прямого пространства. Этот объем связан с объемом ячейки обратного пространства соотношением (5.28):

Отсюда можно легко найти объем обратного пространства, непосредственно связанный с данным волновым вектором к

Обратная этому значению величина очевидно представляет число разрешенных значений вектора к в единице объема fc-пространства:

и служит весовым множителем при переходе от суммирования к интегрированию в обратном пространстве (3.10).

Лекция 6

6.1.Энергетический спектр электрона в полес периодическим потенциалом

Как и раньше, нас будет интересовать врассматриваемой модели, главным образом, основная характеристика электронного газа — закон дисперсии, т. е.связь энергии сквазиимпульсом. Сейчас у нас имеются все необходимые сведения, позволяющие найти явный вид этого закона. До сих пор нам приходилось иметь дело с квадратичным по квазиимпульсу дисперсионным соотношением, вытекающем из приближения свободных электронов. Оно утверждало, что энергия является непрерывной функцией волнового вектора при всех его значениях.

Итак, рассмотрим энергетический спектр электронного газа, слабо возмущенного периодическим полем решетки. Такое приближение для одноэлектронной модели известно как приближение почти свободных электронов. Обратимся непосредственно кодномерной модели и разберем математическую сторону вопроса, азатем остановимся на физических предпосылках приближения.

Прежде всего используем свойство периодичности потенциала решетки U (г) иразложим его в ряд Фурье по векторам обратной решетки, так же, как мы ранее разлагали вряд функцию Uk(r):

nexp{iGn-r), (6.1)

здесь Un — Фурье-образ потенциала U(r). Выражение (6.1) показывает, что потенциал U(r) представляет собой функцию, определенную на дискретном пространстве узлов решетки. Предположим, что U(r) есть слабое возмущение и воспользуемся обычной теорией возмущений, беря за основное состояние свободный электронный газ, т. е.плоские волны иэнергию

2 . Для энергии возмущенного состояния получаем:

(6.2)

здесь E^ = ^-^ энергия невозмущенногсмущенного состояния. Рассмотрим матричный элемент

Мкк> = I e~lk 'rU(r)elk'r d3r = / > Unel{k~k +G">'r d3r,

здесь использовано соотношение (6.1). Согласно правилу отбора Мкк' =

= Y, Un, если к - к' + Gn = 0, и Мкк> = 0, если к - к' + Gn ф 0. Следо-

п

вательно, периодичность потенциала U{r) накладывает на матричные элементы перехода жесткое требование, являющееся центральным моментом приближения:

Таким образом, можно переписать разложение (6.2) с учетом периодичности потенциала U(r):

Очевидно, чтобы разложение (6.4) имело смысл, необходимо потребовать, чтобы основное состояние было невырожденным, т. е. Е^ ф Е^,с , иначе Ек -^> оо. Это значит, что объем обратного пространства, занятый невозбужденными состояниями, не должен достигать зоны Бриллюэна. Однако, это не так. Поэтому, вероятно, нужно попробовать определить энергию возмущенного состояния из уравнения Шредингера, используя функцию Блоха в форме (5.27), когда периодическая часть функции разложена в ряд Фурье по векторам Gn:

Запишем уравнение Шредингера (5.5), подставляя выражение функции (5.27):

Для полного решения задачи необходимо определить значение коэффициентов скп. Для этого выберем из разложения (5.27) функцию

соответствующую определенному значению вектора обратной решетки и умножим ее на уравнение (6.6), интегрируя по всему объему кристалла:

3 , r-\-

Поскольку функции Блоха образуют ортонормированную систему, то можно предыдущее выражение переписать так:

Ckn'Ckn'Ek+Gn, - Скп'Скп'Ек + Скп' 2_^CknUn'-n = 0.

п

Знак суммы в первых двух членах этого выражения пропадает. Un — фурьеобраз потенциала U(r).

Итак, имеем:

Придавая векторам Gn и Gni конкретные значения, получаем систему уравнений относительно коэффициентов скп разложения функции Блоха. Когда коэффициенты найдены, то все электронные состояния определены. Нас будут интересовать только те значения вектора обратной решетки, которые лежат в первой зоне Бриллюэна, т. е. всего два значения для случая одномерной решетки:

Это соответствует центру и границе зоны Бриллюэна. Итак, подставляя (6.8) в систему уравнений (6.7), находим

(6.9)

-g = 0.

Эта запись означает, что среди совокупности коэффициентов Ск,п м ы выделили только два коэффициента, соответствующие волновым функциям, описывающим электронные состояния вблизи центра зоны Бриллюэна и ее границы. Смесь этих волновых функций и будет соответствовать состояниям электрона в периодическом поле. Рассмотрим явно систему (6.9). Условием разрешимости ее является равенство нулю детерминанта

или

E°kE°k_g-UgU_g=0.

Таким образом, для энергии возмущенного периодическим полем электронного состояния имеем:

к-д)

преобразуем это выражение:

Здесь очень хорошо видно, что в результате возмущения, обусловленного периодическим потенциалом, исчезают, как самостоятельные, электронные состояния с энергией Е%, Е^

а вместо них возникает смешанное состояние с энергией Е^ (6.10), которому соответствуют смешанные волновые функции. Еще раз подчеркнем, что возникшее состояние с энергией Ек явилось результатом смешивания из-за возмущения двух ранее вырожденных по энергии невозмущенных состояний. Рассмотрим подробнее выражение для энергетического спектра (6.10) электрона. Определим обратную решетку для одномерной ионной цепочки и зависимость энергии от волнового вектора невозмущенного состояния Е% (6.11) в схеме приведенных зон (рис. 2). Далее, рассмотрим два случая: Пусть волновой вектор к принимает значения близкие к центру зоны Бриллюэна к и 0, тогда оказывается, что разность невозмущенных энергий Е% — Е%_д велика в сравнении с возмущающим потенциа-

лом Ug (по условию задачи он мал) и, согласно выражению (6.10), имеем:

Здесь необходимо выбрать знак (+), иначе мы не будем в центре зоны Бриллюэна:

(6.12)

Это значит, что в центре зоны Бриллюэна электроны в периодическом поле тождественны свободным электронам и им отвечает квадратичное дисперсионное соотношение. Далее, рассмотрим состояние с волновым вектором к, лежащим на границе зоны Бриллюэна, т. е. к = д/2. Подставляем значение к в (6.10):

Итак, награнице зоны Бриллюэна энергия электрона в периодическом поле решетки имеет двазначения:

т.е. меньше и больше соответствующего значения энергии свободного элек-

трона Е°,2. Эти значения энергии разделены энергетической «щелью», шириной 2([/д[/_э)1/2. Можно сказать, что призначениях волнового вектора, близких к границе зоны Бриллюэна, происходит отклонение закона дисперсии от квадратичного, причем это происходит за счет смешивания электронных состояний, различающихся навектор обратной решетки. Это смешивание приводит к понижению энергии одного состояния и повышению энергии другого состояния и награнице зоны возникает разрыв энергетической кривой. Значения энергии, попадающие в этот разрыв, не могут быть собственными энергиями электронных состояний в кристалле и составляют запрещенную энергетическую зону. Это и есть основной результат, характерный для электронов в периодическом поле. Он утверждает, что в металле энергетический спектр (закон дисперсии) носит зонную структуру,

т.е. обратное пространство состоит из отдельных полос разрешенных и неразрешенных энергий, чередующихся между собой. Для всех значений волнового вектора к, лежащих внутри зоны Бриллюэна, энергия является непрерывной функцией вектора к. Эта непрерывная совокупность значений энергии и представляет энергетическую полосу. В схеме приведенных зон (рис. 2) энергия становится многозначной функцией волнового векто-

ра. Отметим ещераз, что разрывность энергетического спектра электрона в периодическом поле является фундаментальным свойством, обуславливающим многие свойства металлов. Наличие запрещенной энергетической зоны означает, что в кристалле не может возникнуть электронных волн с энергией, лежащей в этой зоне. Если пучек электронов с энергией, соответствующей запрещенному значению, падает накристалл, то онвесь должен быть отражен, поскольку электроны с такой энергией не могут двигаться в кристалле. Таким образом, любая попытка возбудить электронные волны

с энергией, лежащей внутри запрещенной зоны, не приводит к возникновению стационарного состояния, а введенное возмущение быстро затухает. Природа возникающей особенности в энергетическом спектре электронов заключается в осуществлении условия (6.3):

которое соответствует плоскости в обратном пространстве, где образуется энергетический разрыв. Это условие по-существу является одной из форм записи известного закона отражения Брегга-Вульфа

Следовательно, можно сказать, что зонная структура энергетического спектра является следствием брэгговского отражения электронов от решетки. В трехмерном случае качественная картина одномерной задачи сохраняется полностью, однако, ширина запрещенной зоны не всегда соответствует таковой в одномерной модели. В зависимости от характера периодического потенциала может возникать наложение соседних разрешенных зон. Рассмотрим для примера двумерную квадратную решетку в обратном пространстве (рис. 3). Пока волновой вектор к электрона близок к центру зоны Бриллюэна мы имеем концентрическую окружность для изоэнергетической линии; затем по мере увеличения энергии изолиния энергии коснется границы зоны Бриллюэна и потеряет окружную форму. Дальнейшее увеличение энергии соответствует появлению линий равной энергии в других зонах Бриллюэна, причем на границе зоны происходит разрыв непрерывности изолиний энергии, т. е. эти изолинии как бы отражаются от границы зоны.

но, для электронных состояний в металле характерна зонная энергетическая структура.

2.Внутри каждой энергетической зоны зависимость энергии от волнового вектора является непрерывной функцией, причем отклонение от квадратичного закона существенно только для состояний вблизи границы зоны Бриллюэна.

3.Ширина запрещенной энергетической зоны связана с Фурье-образом периодического потенциала и в одномерном случае равна 2([/g [/_g )1 /2 .

4.Природа возникающей особенности в энергетическом спектре заключается в осуществлении брэгговского отражения электронов от решетки.

5.Собственные волновые функции оператора Блоха представляют со-

бой смешение плоских волн, отличающихся на вектора обратной решетки

сразличным весовым множителем.

6.Качественные результаты одномерной модели справедливы и в многомерном случае.

6.1.1.Оператор Блоха в представлении операторов вторичного квантования

Представляет интерес некоторые предыдущие рассуждения о состояниях электрона в периодическом поле перевести на язык операторов вторичного квантования. Этот переход очень привлекателен в связи со своей компактностью записи.

Прежде всего получим многочастичный оператор Блоха, суммируя одноэлектронные операторы (5.4):

Каждому одноэлектронному оператору Блоха соответствует собственная волновая функция Блоха

но (3.27) и (3.28), можно записать в представлении чисел заполненияone-

ратор (6.18):

Н =J ф+(г) | ^ +U(r) I V(r)tfV=

fefe' CT

Здесь мы использовали то обстоятельство, что функции Блоха (6.19) образуют ортонормированную систему и каждая из них описывает состояние с энергией Ек.

Таким образом, многочастичный оператор Блоха в представлении операторов вторичного квантования по функциям Блоха имеет вид (6.21). Однако, иногда удобно представить оператор Блоха (6.18), используя формализм вторичного квантования по плоским волнам. Проделаем соответствующие выкладки без пояснений:

2 /•

/

Ф+(г)^-ф(г) d3r + / ф+(г)и(г)ф(г) d3r =

Итак, оператор Блоха (6.18) в представлении операторов вторичного кван-