Батыгин&co
.pdf60 |
Глава III |
204. Найти распределение зарядов а на проводящей плоскости в предыдущей задаче.
205*. Внутри клиновидной области пространства, ограниченной двумя пересекающимися под углом /3 заземленными проводящими полуплоскостями О А и ОВ, в точке N(TQ) находится точечный заряд q (рис.11).
Рис. 11
Цилиндрические координаты заряда (го, 7i0); ось z направлена вдоль ребра клина, азимутальный угол а отсчитывается от грани О А. Доказать, что потенциал <p(r, a, z) может быть записан в виде
|
|
оо |
|
|
|
<p(r,a, z) = / <fk{r,a) |
coskzdk, |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
Кж (кго)1ш (кг) sin —± sin —— |
при г <г0, |
|
|
7 1 = 1 |
ев |
PP |
|
|
— |
|
|
|
|
^ |
7шг (fcro).ft'mr (fcr) sin - д - sin —g- |
при г > r0 , |
|
7птг и ^шг — цилиндрические функции. |
|
|
||
0 |
0 |
|
|
|
УКАЗАНИЕ. Воспользоваться формулой (П 1.11) и приложением 3.
§ 3. Специальные методы электростатики |
61 |
206. Доказать, что потенциал поля точечного заряда в клиновидной области, найденный в предыдущей задаче, можно представить в виде
оо
<p{r,a,z) =
/
\/ch £ — ch 77
где
chrj = |
-, 77 > 0 . |
|
2rr0 |
УКАЗАНИЕ. Воспользоваться формулами:
оо оо
/ Kv(kr)Iv(kr0) |
coskzdk= i |
/ |
-chr/ |
|
J |
2V2TTO J |
|||
|
||||
|
1 - P 2 |
|
|
|
|
— 2p cos x + p" -0- |
|||
207. Найти поле у заряда q, находящегося вблизи проводящей полуплоскости а = 0 в точке го с цилиндрическими координатами (ro,y, z =0).
УКАЗАНИЕ. Воспользоваться результатом задачи 206. Длявычисления интеграла сделать подстановку ch— = ch^ ch и, где0 < и < оо.
208. Найти распределение а поверхностного заряда вблизи ребра клина с двугранным углом /3(угол отсчитывается вне проводника). Клин находится в поле произвольным образом распределенного заряда.
УКАЗАНИЕ. Сначала рассмотреть, случай, когда вблизи клина находится один точечный заряд, воспользовавшись результатом задачи 205*, разложениями (П3.6) и формулой
Kv{kp)kvcaskzdk = 2v-1
62 |
Лекция 5 |
Решение Блоха (5.6) представляет собой произведение обычной плоской волны ехр(г& • г) на периодическую функцию Uk(r) с периодом решетки. Вцелом эту функцию можно считать модулирующим множителем плоской волны.
Учитывая, что р —> —ih-^-, перепишем уравнение Шредингера (5.5) в or
виде
или
VV(r)+/(r)p*(r)=0. (5-7)
Таким образом, исходное уравнение Шредингера представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка с периодическим коэффициентом при искомой функции. Общее решение уравнения типа (5.7) было получено еще в 1883 г.математиком Флоке. Он получил решение в виде (5.6), т. е. вформе функций, которые сейчас называются одномерными функциями Блоха.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Рассмотрим доказательство теоремы в одномерном случае. Предположим, что имеется бесконечная кристаллическая цепочка, содержащая N ионов. Реально ее можно представить в виде кольца, причем первый ион и JV-й ион совпадают. Тогда должны выполняться циклические граничные условия:
. (5.8)
Пусть Тп — трансляционный оператор, действующий только на координату г. Определим его так:
Тп(г) = (г + па), |
(5.9) |
где п =0, ... , N.Тогда действие этого оператора на волновую функцию, являющуюся решением уравнения (5.5), можно записать в виде
Тпрк(г)=Ыг + па). |
(5.10) |
Будем искать только такие собственные значения оператора Тп, для которых справедливо равенство
Tnfk(r) =cn<pk(r) |
(5.11) |
5.1. Электронный газ в периодическом полеионов металла |
63 |
Сп — собственное значение оператора Тп. Запишем (5.11), полагая п = 1 и n = N:
|
+ a), |
(5.12) |
TN<pk{r) = (ci)N4>kir) = <Pk(r + No). |
(5.13) |
|
Используя циклические условия (5.8), находим из (5.13) |
|
|
(ci)N |
= 1, |
|
или |
|
|
Согласно определению (3.8) волнового числа к имеем |
|
|
2тг |
= к, |
(5.14) |
Na |
|
|
отсюда |
|
|
сг=егка. |
(5.15) |
|
Таким образом, для произвольной трансляции па, используя (5.10), (5.11) и (5.15), находим
срк{г + па)=егкпасрк(г). |
(5.16) |
Здесь ехр(г кпа) является собственным значением оператора Тп, a <^fc(r) — его собственная волновая функция. Условиям (5.16) удовлетворяет функция Блоха (5.6). Покажем это:
+ па) = eik(r+na^uk(r |
+ па) = |
= егкпаегкг
Так как согласно условиям теоремы функция Ufc(r) периодическая с периодом решетки, то
ик(г) =ик{г |
+ па). |
(5.17) |
Таким образом, имеем |
|
|
<рк(г+ па) = егкпаегкгик(г) |
= |
егкпа^к{г). |
Это и доказывает теорему Блоха. |
|
|
64 |
Лекция5 |
Отметим, что функция y>fc(r), описывающая электрон в состоянии к, является собственной функцией оператора Блоха Hs и оператора трансляций Т. Из теоремы Блоха следует ряд важных следствий. Так, каждая волновая функция электрона в периодическом потенциальном поле характеризуется волновым вектором к. Елоховская волновая функция
имеет сходство с волновой функцией свободного электрона, т. е. с плоской волной:
<pk(r) = Aeik'T.
Отличие, как хорошо видно, заключается только в модулирующем множителе. В связи с этим многие свойства электрона в периодическом поле аналогичны свойствам свободного электрона. Волновой вектор к вводится с точностью до вектора обратной решетки и потому состояния электрона с волновыми векторами к и к + G эквивалентны.
5.1.2.Точечная и трансляционная симметрия идеальной кристаллической структуры
Кристаллическая решетка представляет собой систему определенным образом расположенных в трехмерном пространстве точек, занимаемых ионами металла. Характерным элементом кристаллической решетки является элементарная ячейка, которая геометрически задается совокупностью трех некомпланарных векторов (в простейшем случае) щ (г = 1, 2, 3). Если выбрать точку отсчета, то из нееможно построить любой узел решетки, используя элементы трансляций:
I = lidi (г = 1,2, 3), li —целые числа.
Таким образом, весь кристалл строится путем бесконечного повторения элементарных ячеек. Элементы трансляционной симметрии будут в основе многих последующих рассуждений.
5.1.3.Элементарная ячейка кристаллической структуры. Ячейка Вигнера - Зейтца
Для каждой кристаллической структуры существует некоторый произвол в определении формы элементарной ячейки. В связи с этим очень удобно использовать центрированные элементарные ячейки — ячейки Вигнера-
5.1. Электронный газ в периодическом полеионов металла |
65 |
Зейтца, которые, как будет видно далее, играют важную роль в электронной теории металлов. Такую ячейку можно построить согласно следующему правилу: из выбранного центрального узла проводим векторы к ближайшим узлам решетки и строим плоскости через середины этих векторов и перпендикулярно к ним. Возникающая область с центральным узлом есть элементарная ячейка Вигнера-Зейтца. Если элементарная ячейка содержит один атом, то структуру называют решеткой Бравэ, в противном случае имеем решетку с базисом. Базисом определяется совокупность векторов, характеризующих положение атомов ячейки относительно одного из них. Ячейка Вигнера-Зейтца обладает тем свойством, что все точки решетки, принадлежащие ячейке, находятся ближе к центру ячейки, чем к какомунибудь другому узлу решетки. Удобство этой ячейки еще и в том, что она лучше всего аппроксимирует сферу, которую всегда приписывают атому в формальных моделях упаковки его в кристалле.
5.1.4. Обратная решетка
Элементарная ячейка считается заданной, если задана минимальная совокупность векторов, определяющих узлы ячейки относительно данного узла. В таком случае элементарную ячейку можно задать матрицей
агз = (А)г], |
(5.18) |
где элементы матрицы являются прямоугольными проекциями составляющих ячейку векторов. Такой ячейке можно сопоставить другую ячейку, задаваемую обратной матрицей
{В)13 |
= {А)тзК |
(5.19) |
Поскольку (A)ij(B)ij = 1, то необходимо, чтобы |
|
|
a-ijbij = 5ij, |
(5.20) |
|
Oi-bj |
= 5ij. |
(5.21) |
Таким образом, векторы bj обратны векторам базиса а, и представляют собой базис обратной решетки. Так, если вектора X и Y определены как
X = ХгЩ, Y = yibi, ТО X • Y = ХгУг.
66 |
Лекция 5 |
|
Определим вектор обратной решетки из набора: |
|
|
G |
= п^тг^ + п22тгЬ2 + п32тгЬ3, |
(5.22) |
где rij —целые числа, в том числе отрицательные и нуль. Концы векторов G образуют обратную решетку. Множитель 2тг сразу введен в определение вектора обратной решетки для того, чтобы при разложении функции по векторам обратной решетки запись совпадала с принятым определением волновой функции свободного электрона
Если вектор R есть вектор трансляции прямой решетки
R = z\a\ + Z2OQ + z3a3,
то скалярное произведение G • R равно
G • R = 2-КП^Г = 2тггп1 (г = 1, 2, 3). |
(5.23) |
Введенная таким образом обратная решетка является инвариантным геометрическим объектом, свойства которого играют важную роль в теории металлов. Рассмотрим плоскую волну с вектором обратной решетки G:
exp(iG-r) = /(G, г). |
(5.24) |
Подействуем на эту функцию трансляционным операторомТц\
TRf(G, r) = /(G, г + Л)=ехр(гС?-(г + Л))=ехр(гС?-Л)ехр(гС?-г).
Используя здесь выражение (5.23), находим
TRf(G, г) = e *2 ™bei G "\ (j = 1,2,3). |
(5.25) |
Таким образом, функции вида (5.24) обладают полной трансляционной периодичностью решеточного потенциала. Такой же периодичностью обладают и функции Mfc(r), согласно (5.17). Поэтому их можно разложить в ряд Фурье по функциям (5.24):
i Gn -r). |
(5.26) |
5.1. Электронный газ в периодическом полеионов металла |
67 |
Тогда блоховская функция (5.6) может быть записана в форме
Это представление волновой функции электрона в периодическом поле является особенно важным при расчете электронных состояний. Отметим кратко некоторые свойства обратной решетки:
1. Каждый вектор обратной решетки G ортогонален некоторой плоскости, образованной атомами прямой решетки.
2.Длина вектора | G обратно пропорциональна расстоянию между соответствующими атомными плоскостями.
3.Объем иоб обратной ячейки обратно пропорционален объему vn ячейки прямой решетки:
«об = ^ - . |
(5.28) |
5.1.5.Зоны Бриллюэна
Вобратном пространстве удобно выбрать элементарную ячейку аналогично ячейке Вигнера-Зейтца в прямой решетке. Эта ячейка называется первой зоной Бриллюэна и содержит те точки обратного пространства, которые находятся ближе к центру ячейки, чем к любой другой точке. Обратными векторами G здесь будут являться вектора, соединяющие два любых узла обратной решетки. Отсюда хорошо видно, что если состояние электрона определяется волновым вектором к, то другое состояние электрона
к' = к + G будет ему эквивалентно. Действительно, так как
i k - R _ |
i k ' - R _ |
i k - R |
i G R _ |
i k - R |
что справедливо для любого вектора -R прямой решетки. Следовательно, волновые функции, описывающие состояния кик' должны быть тождественны. Итак, для всех точек, лежащих вне зоны Бриллюэна всегда найдутся эквивалентные им точки внутри зоны Бриллюэна, а каждой точке на поверхности зоны Бриллюэна найдется эквивалентная точка, лежащая также на поверхности зоны. Иначе говоря, любую точку к в обратном пространстве можно привести к соответствующей точке в первой зоне Бриллюэна. Это значит, что любую волновую функцию можно описать в схеме приведенных зон, так же как и в схеме расширенных зон. Важным выводом
68 |
Лекция 5 |
этих рассуждений является утверждение, что все состояния электронов в периодическом поле решетки характеризуются значениями волнового вектора к, лежащими внутри или на поверхности первой зоны Бриллюэна. Отсюда следует, что энергия электронных состояний будет многозначной функцией волнового вектора к. Непосредственно мы убедимся в этом,рассматривая энергетический спектр электрона, движущегося в периодическом поле решетки.
5.1.6. Число электронных состояний в зоне Бриллюэна
Подсчет разрешенных электронных состояний, т. е. значений волнового вектора к, в кристалле можно осуществить, присоединяя циклические граничные условия Борна-Кармана. Мы уже дважды использовали эти условия приподсчете электронных состояний в модели свободных электронов и при доказательстве теоремы Блоха. Сейчас мыобсудим этот вопрос несколько подробнее. Дело в том,что рассмотрение бесконечных кристаллических структур требует бесконечного ряда волновых функций. Однако, можно избежать этой трудности, используя трансляционную симметрию кристаллической решетки. Суть процедуры заключается в следующем: Формально кристалл можно разбить на ряд микрокристаллов, содержащих конечное число элементарных ячеек, например N ячеек, в каждом из трех пространственных направлений. Потребуем, чтобы при этом удовлетворялись граничные условия:
ipk(r + Na) = tpk(r). |
(5.29) |
Принятое деление, естественно, носит произвольный характер. Однако, отметим, что оно и необходимо нам как математический прием с тем, чтобы получить обозримый объект, впоследствии же можно перейти к пределу, устремляя число JV к бесконечности. Сами граничные условия Борна-Кар- мана (5.29) наглядно можно осуществить в одномерном случае, беря замкнутую кристаллическую цепочку. Трехмерный вариант этих условий реально представить уже невозможно, но это не должно вызывать каких-либо сомнений, поскольку эти граничные условия не вносят никаких изменений в рассматриваемую физическую картину.
Используя эти граничные условия (5.29) в одномерном случае при доказательстве теоремы Блоха, мы получили для разрешенных значений волнового числа выражение (5.14):
к = | р , |
(5.30) |
5.1. Электронный газ впериодическом полеионов металла |
69 |
где z = 1, 2, ..., N. Однако, выбирая обратную ячейку в виде зоны Бриллюэна, т. е. в одномерном случае в виде центрированного отрезка, необходимо взять дляизменения величины z интервал
-\N<Z<\N. (5.31)
Это значит, что мы из многих возможных эквивалентных вариантов выбора обратной ячейки выбрали центрированную ячейку, т. е.первую зону Бриллюэна. Таким образом, все возможные значения волнового числа к в приведенной схеме зон Бриллюэна заключены в интервале
- | < к < | . |
(5.32) |
Придавая величине z значения на отрезке (5.31), можно получить набор всех возможных величин к, лежащих в интервале (5.32). Значения к распределены в этом интервале с постоянной плотностью и, поскольку величина N очень велика, то можно сказать, что непрерывно. Этирезультаты можно непосредственно перенести на трехмерный случай, считая, что выбранный макрокристалл имеет размеры N\a\, N^a^,N3аз идля каждого из пространственных направлений выполняются, подобно (5.8), циклические условия. Выполнение их требует справедливости для трех составляющих fci,fca,кз поосям обратного пространства вектора кнеобходимых условий:
2TTZI |
2TTZ2 , |
, 2TTZ3 , |
k1 = —-b1, fc2 |
= — — b 2 , fc3 = — _ b 3 , |
|
J\i |
N2 |
N3 |
здесь bi = ^-есть, согласно представлению (5.22), базис обратногопространства. Таким образом, получаем, чтозначения вектора к определяются выражением
, |
2nzi , 2-KZ2, 2TTZ3 , |
|
fc |
= lvr b l + lvrb 2 + V b 3 - |
(5-33) |
Набор всех возможных значений волнового вектора к можно найти, беря величины Zi из области
Ni |
iVi |
N2 |
N2 |
N3 N3 |
/ г „„ |
-^-<z1<^-, |
- ^ < z 2 < ^ , |
- ^ < z 3 < ^ . |
(5.34) |
||
Эта область представляет собой параллелепипед с центром в начале координат. Поскольку эта область эквивалентна объему первой зоны Бриллюэна, которую мы выбрали заосновную ячейку обратной решетки, то и в