Батыгин&co
.pdf40 |
Глава II |
125*. Два параллельных коаксиальных тонких кольца с радиусами а
иЬ несут на себе равномерно распределенные заряды q\ и <7гРасстояние между плоскостями колец с. Найти энергию взаимодействия U колец
идействующую между ними силу F.
126.Найти силу F и вращательный момент N, приложенные к электрическому диполю с моментом р в поле точечного заряда q.
127.Диполь с моментом pi находится в начале координат, а другой диполь с моментом Р2 — в точке с радиусом-вектором г. Найти энергию взаимодействия U этих диполей и действующую между ними силу F. При какой ориентации диполей эта сила максимальна?
128.Система зарядов характеризуется объемной плотностью р(т) и занимает ограниченную область в окрестности некоторой точки О. Система помещена во внешнее электрическое поле, которое в окрестности этой точки может быть представлено в виде
Найти энергию взаимодействия системы U с внешним полем щ, выразив ее через а/т и мультипольные моменты Qim системы (ср. с задачей 166*).
ЛИТЕРАТУРА
Тамм И. Е. [101], Абрагам-Беккер [1], Джексон Дж. [52], Френкель Я. И. [111], Стрэттон Дж. А. [100], Смайт В. [93], Гуревич Л. Э. [49], Пановский В., Филипс М. [86].
ГЛАВА III
ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ
ИДИЭЛЕКТРИКОВ
§1. Основные понятия и методы электростатики
Электростатическое поле в диэлектрике характеризуется вектором напряженности электрического поля Е и вектором электрической индукции D, которые удовлетворяют уравнениям:
rotE = 0,
или |
i |
|
|
div D = 4пр, |
j>DndS = 4nq, |
|
s |
где р — плотность свободных зарядов в диэлектрике, q — полный свободный заряд, заключенный внутри поверхности S. Плотность связанных зарядов в диэлектрике можно выразить через вектор поляризации Р (электрический дипольный момент единицы объема диэлектрика, создаваемый связанными зарядами):
Рев = - div P. |
(III.2) |
Вектор поляризации Р выражается через Е и D:
D = Е + 4тгР. |
(Ш.З) |
Для изотропных диэлектриков в достаточно слабых полях
D = еЕ, |
(Ш.4) |
где е — диэлектрическая проницаемость среды. В анизотропных диэлектриках е — тензор II ранга, т. е.
А = СгкЕк, |
(Ш.5) |
42 Глава III
(суммирование по к). Для описания поля удобно пользоваться скалярной величиной —потенциаломip:
го |
|
Е = - grad <р, <р{т) = [ Е • dr, |
(III.6) |
г |
|
где г —радиус-вектор точки наблюдения, <р(то) = 0. |
|
Потенциал удовлетворяет уравнению |
|
div(egrady) = —4тг/0, |
(П1.7) |
которое в тех областях, где диэлектрик однороден, сводится к уравнению Пуассона
Д * = - ^ . |
(Ш.8) |
На поверхностях раздела сред с разными диэлектрическими проница- |
|
емостями должны выполняться граничные условия1 |
|
Е1т = Е2т, D2n - Dln = 4тг(7 |
(Ш.9) |
или |
|
Ч>1=4>2, £ 1 ^ - - £ 2 ^ = 4 т г < т . |
(ШЛО) |
Орт нормали п проведен изпервой среды во вторую; т —орт, касательный к поверхности, а —поверхностная плотность свободных зарядов. Поверх-
ностная плотность связанных зарядов сгсв награницах раздела определяется |
|
формулой |
|
<Тсв = Pin ~ Pin- |
(Ш. 11) |
Основная задача электростатики —нахождение потенциала ц> электрического поля. Онаможет быть решена разными методами. Основным методом является решение дифференциальных уравнений (Ш.7) или (Ш.8) с граничными условиями (Ш.9) или(ШЛО). Иногда удается подобрать такую систему фиктивных точечных зарядов, поле которой в рассматриваемой области удовлетворяет какдифференциальному уравнению, так и граничным условиям (метод изображений). В ряде случаев удается найти систему изображений простым подбором (см.,например, далее, задачи 142, 146, 153*, 155).
'Граничные условия в форме (III.9) имеют место как в изотропных, так и в анизотропных средах.
§ 1. Основные понятия и методы электростатики |
43 |
Внутри проводников, находящихся в постоянном электрическом поле, Е = 0.Поэтому граничные условия на поверхности проводника имеют
вид: |
|
ЕТ = 0, tp = const. |
(III. 12) |
Если некоторая область пространства занята диэлектриком с проницаемостью е, и известно электростатическое поле вовсем пространстве, то при е —>оо это поле принимает такой же вид, какой оно имело бы, если бы данная область была занята проводником.
Задача об определении электрического поля, создаваемого заданной ограниченной системой заряженных проводников, находящихся в диэлектрике, имеет единственное решение, если известен либо полный заряд каждого проводника, либо его потенциал. В первом изэтих случаев, наряду с условиями (III.12) нужно использовать граничное условие
(111.13)
где q — заряд проводника, а интеграл берется по поверхности проводника. Емкостью С конденсатора называется отношение заряда на одной из
его обкладок (первой) кразности потенциалов между обкладками:
С = ^ |
(Щ.14) |
Емкостью уединенного проводника называется отношение заряда проводника к его потенциалу (при этом нужно считать, что потенциал <р = О на бесконечности).
Энергия электростатического поля, локализованная в объеме V, выражается интегралом по этому объему:
W = fujdV, (III. 15)
где из = D • Е/8тг — плотность энергии поля.
Энергия W электростатического поля зависит от обобщенных координат а,характеризующих взаимное расположение заряженных тел. Соответствующие обобщенные пондеромоторные силы могут быть получены как производные по координатам а от энергии W:
= _(Ш_\ = (dW\ \daJq \daJv'
44 |
ГлаваIII |
При постоянных зарядах q проводников следует пользоваться первым из этих выражений, при постоянных потенциалах V — вторым.
Если в изотропной диэлектрической среде с проницаемостью е\ имелось сначала электрическое поле Е ь в которое затем было внесено диэлектрическое тело (объем тела V, диэлектрическая проницаемость £2), то энергия электростатического поля меняется навеличину
E1dV, |
(111.16) |
где Ег —электрическое поле после внесения диэлектрического тела (источники поля Ei приэтом поддерживаются неизменными). Величину U можно рассматривать как энергию взаимодействия диэлектрического тела с внешним полем Ei (см. [76], стр. 108).
Если диэлектрик изотропен и егодиэлектрическая проницаемостьзависит только от плотности массы т, то электрическое поле действует на диэлектрик с силой, объемная плотность которой выражается формулой
f = рЕ |
_ ±Е*ffade |
+ JLgrader). |
(111.17) |
Объемные силы, |
действующие |
на свободные и связанные |
заряды |
в некотором объеме V, могут быть заменены эквивалентной системой по- |
|||
верхностных натяжений, приложенных к поверхности S этого объема: |
|||
|
F = ffdV= |
<I)TndS, |
(III.18) |
|
V |
S |
|
где Т„— поверхностная сила, приложенная к единичной площадке с внешней нормалью п.
Поверхностные натяжения описываются тензором натяжений Г^. Величина Т п в (III.18) представляет собой проекцию Т^ на направление внешней нормали п к элементу dS:
(Tn )i = Ti
е1 2 / де
Член в (III.17) и(III.19), содержащий ^-т(стрикционный член), вообще говоря, немал. Однако при вычислении равнодействующей сил, приложенных к диэлектрическому телу, этот член недает вклада и может быть
§ 1. Основные понятия и методы электростатики |
45 |
отброшен (см., например, [77], §34 и задачи 140,141). В этом случае можно вместо тензора натяжений (III.19) использовать более простой (максвелловский) тензор
( |
| |
) |
(111.20) |
К единице поверхности проводника в электростатическом поле приложена сила
fn0B = Т ; = п ^ = ^ . |
(Ш.21) |
В диэлектрической жидкости, находящейся в равновесии в электрическом поле, электрические натяжения уравновешиваются гидростатическим давлением. Обозначив через р(т) давление в жидкости — оно определяется значением ее плотности т — получим условие равновесия:
рп + Т„ = const. |
(111.22) |
Вчастности, вблизи границы жидкости с атмосферой (е = 1) давление
вжидкости р(т) больше, чем атмосферное давление, на величину
№23)
где Е — напряженность электрического поля в жидкости (Еп — нормальная, Et — касательная составляющие Е. Уравнением (111.23) определяется зависимость плотности жидкости вблизи ее поверхности от напряженности электрического поля. Давление внутри жидкости (газа) выражается формулой
J , *лде(р) -% |
№24) |
(ро — давление при Е = 0).
Если жидкость несжимаема, то
( Ш 2 5 )
129. Точечный заряд q расположен на плоской границе раздела двух однородных бесконечных диэлектриков с проницаемостями е\ и е?. Найти потенциал tp напряженность Е и индукцию D электрического поля.
46 |
Глава III |
130.От некоторой прямой, на которой находится точечный заряд q, расходятся веерообразно три полуплоскости, образующие три двугранных угла ai, с*2, аз (ai + а г + аз = 2тг). Пространство внутри каждого из углов
заполнено однородным диэлектриком с проницаемостью соответственно е ь £2> £з- Определить потенциал <р,напряженность Е и индукцию D электрического поля.
131.Центр проводящего шара радиуса а, заряд которого q, находится на плоской границе раздела двух бесконечных однородных диэлектриков
спроницаемостями е\ не?. Найти потенциал tp электрического поля, а также распределение заряда а на шаре.
132.Пространство между обкладками сферического конденсатора частично заполнено диэлектриком, расположенным внутри телесного угла П
свершиной в центре обкладок. Радиусы обкладок а и 6, проницаемость диэлектрика а. Найти емкость С конденсатора.
133.Внутри сферического конденсатора с радиусами обкладок а и 6 диэлектрическая проницаемость меняется по закону
Е\ = const |
при |
а ^г < с, |
£2 = Const |
При |
С^ Г ^ 6, |
где а < с <Ь.
Найти емкость С конденсатора, распределение связанных зарядов <тсв
иполный связанный заряд в диэлектрике.
134.Сферический конденсатор с радиусами обкладок а и 6 заполнен диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния до центра г по закону е(г) = еос^/г2. Показать, что емкость такого конденсатора равна емкости плоского конденсатора, заполненного однородным диэлектриком с проницаемостью £о, у которого площадь обкладки 4тга2, расстояние между обкладками Ь—а (краевым эффектом пренебречь).
135.Плоский конденсатор заполнен диэлектриком, проницаемость которого изменяется по закону е = EQ(X+ a)/a, где a — расстояние между обкладками, ось х направлена перпендикулярно обкладкам, площадь которых S. Пренебрегая краевым эффектом, найти емкость С такого конденсатора и распределение в нем связанных зарядов, если к обкладкам приложена разность потенциалов V.
136.а) С какой силой /о на единицу площади притягиваются друг к другу в вакууме обкладки плоского конденсатора, если расстояние между ними а, разность потенциалов V; б) какое новое значение / примет эта сила, если заряженный конденсатор отделить от батареи, а потом либо наполнить
§ 1. Основные понятия и методы электростатики |
47 |
его жидким диэлектриком с проницаемостью е, либо вставить в него плитку из твердого диэлектрика с тем же е, толщина которой чуть-чуть меньше а, так что она не касается обкладок; в) какова будет сила / притяжения обкладок, если сначала либо залить конденсатор жидким диэлектриком, либо вставить в него плитку из диэлектрика, а потом зарядить?
137. Обкладки плоского конденсатора находятся на расстоянии h\ друг от друга и имеют форму прямоугольников со сторонами а и Ь. Между пластинами параллельно им помещена плитка из диэлектрика е, имеющая форму параллелепипеда с толщиной Лг и основанием axb. Плитка не полностью вставлена в конденсатор —внутри него находится часть х стороны а. Найти силу F, с которой плитка втягивается в конденсатор, в двух случаях: а) на обкладках поддерживается постоянная разность потенциалов V; б) постоянен заряд q обкладок. Краевые эффекты не учитывать.
138*. Плоский конденсатор погружен в несжимаемую жидкость с диэлектрической проницаемостью е и плотностью т так, что его обкладки расположены вертикально. Расстояние между ними d, разность потенциалов V. Определить высоту h поднятия жидкости в конденсаторе.
УКАЗАНИЕ. Применить формулы (111.23) и(111.25).
139.Как направлено максвеллово натяжение Т'п, действующее на площадку dS, нормаль п к которой составляет угол •& с направлением поля Е? Какова величина Т'п? Как направлено стрикционное натяжение Т^?
140.Два одинаковых точечных заряда q находятся в однородном жидком диэлектрике е на расстоянии а друг от друга. Вычислить помощью максвеллова или полного тензора натяжений силу F, действующую на каждый из зарядов. Выяснить, из каких составляющих складывается сила элек-
2
трического взаимодействия зарядов -^-. Для сравнения вычислить силы,
а е
приложенные: а) к плоскости симметрии, перпендикулярной линии, соединяющей заряды; б) к поверхности малой сферы, в центре которой находится один из зарядов.
141.Незаряженная проводящая сфера радиуса R с массой тп плавает
вжидкости с диэлектрической проницаемостью е и плотностью т, погрузившись в нее на четверть своего объема. До какого потенциала щ нужно зарядить сферу, чтобы она погрузилась наполовину? Решить задачу: а) с использованием тензора натяжений Максвелла; б) с использованием полного тензора натяжений, включающего стрикционный член.
142.Точечный заряд q находится в точке А на расстоянии а от плоской границы раздела двух бесконечно протяженных однородных диэлектриков
48 |
ГлаваIII |
с проницаемостями е\ и £г (рис. 10). Найти потенциал <р электрического поля методом изображений.
УКАЗАНИЕ. Решение искать в виде
|
при |
z ^ 0, |
J_ |
при |
z < 0, |
£2П |
|
|
где —q' и q" —искомые эффективные заряды, расположенные соответственно в точках В и А, г\ и Г2указаны на рисунке.
143. |
Найти плотность <тсв связан- |
ных поверхностных зарядов, наведенных |
|
на плоской границе раздела двух однород- |
|
ных диэлектриков е\ и £г точечным заря- |
|
дом q (см. задачу 142). Какой результат по- |
|
лучится при £г —>оо, каков его физический |
|
смысл? |
|
144. |
Найти силу F, приложенную |
к точечному заряду в задаче 142 (сила элек- |
|
|
трического изображения). Решить задачу |
|
|
несколькими способами, в частности с по- |
|
|
мощью тензора натяжений Максвелла. Ес- |
|
|
ли заряд способен двигаться через диэлек- |
|
Рис. 10 |
трики, описать качественно характер этого |
|
движения. |
||
|
145*. Два однородных диэлектрика с проницаемостями е\ и £2 заполняют все пространство, соприкасаясь вдоль бесконечной плоскости. Два заряда q\ и q? находятся на прямой, перпендикулярной к этой плоскости, на равных расстояниях а по разные стороны от нее. Найти силы F\ и F 2 , действующие на каждый из зарядов. Чем объясняется неравенство этих сил?
146.Точечный заряд q находится в однородном диэлектрике на расстоянии а от плоской границы бесконечно протяженного проводника. Найти электрическое поле р в диэлектрике, распределение а индуцированных зарядов на металле и силу F, действующую на заряд q.
147.Двугранный угол между двумя заземленными проводящими плоскостями равен од. Внутри угла находится точечный заряд q. Найти методом электрических изображений электрическое поле. Рассмотреть слу-
чаи а 0 = 90°, а 0 = 60° и а 0 = 45°.
§ 1. Основные понятия и методы электростатики |
49 |
148. Электрический диполь с моментом р находится в однородном диэлектрике вблизи плоской границы бесконечно протяженного проводника. Найти потенциальную энергию взаимодействия U диполя с индуцированными зарядами, силу F и вращательный момент N, приложенные к диполю.
149*. Однородная сфера радиуса о с диэлектрической проницаемостью £i, погружена в однородный неограниченный диэлектрик е?. На большом расстоянии от сферы в диэлектрике имеется однородное электрическое поле, напряженность которого Ео. Найти поле (р во всем пространстве. Построить картину силовых линий для двух случаев: e i > £ 2 H e i < £ 2 ; найти распределение связанных зарядов.
150. Неограниченный диэлектрик был сначала однороден и равномерно поляризован (вектор поляризации Р = const). Затем в нем вырезали сферическую полость. Определить электрическое поле Е в полости в двух случаях: а) если при образовании полости поляризация в окружающем диэлектрике не изменилась1; б) если вследствие изменения поля поляризация
изменяется ( Р = £ ~ Е ) .
151. Незаряженный металлический шар радиуса R вносится в электрическое поле, которое в отсутствие шара было однородным и равным Ео. Диэлектрическая проницаемость окружающей среды ео = const. Определить результирующее поле <ри плотность поверхностных зарядов а на шаре.
152*. Два одинаковых точечных заряда q\ = q? = q находятся на расстоянии о друг от друга в твердом диэлектрике с проницаемостью ei. Заряды расположены в центрах малых сферических полостей радиуса R. Найти силы, действующие на заряды. Сравнить с электрическими натяжениями, приложенными к плоскости симметрии, перпендикулярной линии, соединяющей заряды.
153*. Проводящий шар радиуса R находится в поле точечного заряда q, отстоящего от центра шара на расстояние а> R. Система погружена
воднородный диэлектрик с проницаемостью е. Найти потенциал поля <р
ираспределение а индуцированных зарядов на шаре, если задан а) по-
тенциал шара V (на бесконечности <р = 0); б) заряд шара Q. Представить потенциал в виде суммы потенциалов нескольких точечных зарядовизображений.
'Это имеет место, если диэлектрик («электрет») состоит из полярных молекул, ориентация которых фиксирована.