Батыгин&co

= %FikUk, где Uk — 4-скорость частицы.

Дифференциальное уравнение движения частицы в четырехмерной записи имеет вид:

или

Проектируя эти уравнения на пространственную и временную оси, получим уравнения движения в трехмерной форме и закон сохранения энергии:

Здесь Т = 8 —тс2 — кинетическая энергия частицы, р — ее импульс, точкой обозначено дифференцирование по времени t. Формулы (XI.20) применимы при произвольной скорости частицы.

Функция Лагранжа заряженной частицы в электромагнитном поле с потенциалами if, А имеет вид:

в релятивистском случае

уcr

в нерелятивистском случае

няется, если выполнено определенное условие1. В этом случае движение нейтронов с магнитным моментом, ориентированным по полю (или против него), можно рассматривать как движение классических частиц в силовом поле с потенциальной энергией

где

Я = | Н ( г ) | .

Энергия U обычно очень мала, поэтому магнитное поле оказывает влияние практически лишь на движение очень медленных («холодных») нейтронов.

684.Написать релятивистское уравнение движения частицы под действием силы F, выразив импульс явным образом через скорость v частицы. Рассмотреть, в частности, случай, когда скорость а) меняется только по величине; б) меняется только по направлению; в) v -С с.

685.Выразить друг через друга вектор силы, действующей на частицу

влабораторной системе (F) и в системе покоя (F'). Скорость частицы v.

686.Какая сила F действует с точки зрения наблюдателя в мгновенно сопутствующей системе на тело массы т, находящееся в ракете и неподвижное относительно нее, если ракета движется с релятивистской скоростью v по круговой орбите радиуса Ш

687.Два заряда е и е' движутся параллельно оси х с равными постоянными скоростями v. Используя результаты задачи 610, показать, что электромагнитная сила, действующая между зарядами, может быть получе-

на из так называемого конвекционного потенциала2 ф = (1 —/32)-§, где

R = у/(Х1 - Х2 )2 + (1 - /32)[(j/l - Ы 2 + (21 - 22 )2 ],

гь гг — радиусы-векторы зарядов, по формуле F = —e'gradV'. Что происходит с этой силой при щ-»с?

'Условие адиабатичности, состоящее в том, чтоугол поворота поля за единицу времени

.. .. IVXQH

в той системе, гденейтрон покоится, мал по сравнению с частотой прецессии шь =— z —

магнитного момента т о в полеН.

п

2Конвекционным потенциалом движущейся как целое системы зарядов называется функцией координат, дифференцирование которой дает компоненты лоренцовой силы, действующей в лабораторной системе наединичный пробный заряд, движущийся вместе с этой системой зарядов.

695*. Релятивистская частица с зарядом е и массой m движется в однородном постоянном магнитном поле Н. В начальный момент времени t = = 0 частица находилась в точке с радиусом-вектором го, обладая импульсом ро. Определить закон движения частицы.

696*. Нерелятивистская частица с зарядом е и массой т движется в скрещенных постоянных однородных электрическом Е = (0,Ey,Ez) и магнитном Н = (О,О,Н) полях. В начальный момент t = 0 частица находилась в начале координат и имела скорость v = (ионО, VQZ). Определить зависимости x(t), y(t), z(t), начертить возможные траектории частицы.

УКАЗАНИЕ. ДЛЯупрощения интегрирования ввести и = х + iy.

697.Релятивистская частица движется в параллельных однородных

698.Определить закон движения частицы во взаимно перпендикулярных однородных постоянных электрическом Е и магнитном Н полях. Сделать это двумя способами: а) используя преобразование Лоренца и считая известным движение частицы в чисто электрическом или чисто магнитном поле (см. задачи 692* и 695*) и б) интегрируя уравнения (XI. 19).

699.Найти кинетическую энергию Г частицы в функции собственного времени г для случаев движения, рассмотренных в задачах 692*, 697, 698.

700.Частица, начальная скорость VQ которой мала (VQ <. с), движется вскрещенных постоянных однородных электрическом и магнитном

полях Е = (0, Ev, Ez), Н = (0,0, Н), Е <S H. Определить закон движения частицы, используя преобразования Лоренца и считая известным движение частицы в параллельных электрическом и магнитном полях (см. задачу 697). При решении использовать результаты задачи 603. Ответ сравнить с задачей 696*.

частица покоилась в начале координат.

УКАЗАНИЕ. Обратить внимание на то, что собственное время г частицы совпадает с аргументом t' плоской волны.

702.Нерелятивистская заряженная частица с зарядом е и массой т

проходит через двумерное электростатическое поле с потенциалом р = = /г(ж2 —у1), где k = const > 0 (линза с сильной фокусировкой). В момент времени t = 0 частица находится в точке с координатами од, Уо, ZQ; начальная скорость vo параллельна оси z. Определить движение частицы.

703. Найти дифференциальные уравнения движения релятивистской частицы в электромагнитном поле исходя из функции Лагранжа в цилиндрических координатах.

УКАЗАНИЕ. При вычислении производной по времени в уравнениях Лагранжа нужно учитывать, что эта производная берется вдоль траектории частиц, так что г, a, z должны рассматриваться как функции времени.

704*. Между обкладками цилиндрического конденсатора с радиусами о и b (а < Ь) поддерживается разность потенциалов V. В пространстве между обкладками имеется аксиально симметричное магнитное поле, напряженность которого параллельна оси конденсатора. Из внутренней обкладки, играющей роль катода, вылетают электроны с нулевой начальной скоростью. Найти критическое значение тока магнитного поля Ф^ между обкладками, при котором электроны перестанут попадать на анод вследствие искривления их траекторий в магнитном поле.

705. Длинный прямой цилиндрический катод радиуса а, по которому течет равномерно распределенный ток </, испускает электроны с нулевой начальной скоростью. Эти электроны движутся под действием ускоряющего потенциала V к длинному коаксиальному аноду радиуса Ь. Каково должно быть минимальное значение разности потенциалов Кр между катодом и анодом, чтобы электроны достигали анода, несмотря на заворачивающее действие магнитного поля тока </?

706.По бесконечно длинному прямому цилиндрическому проводу радиуса о течет ток $. С поверхности провода срывается электрон начальная скорость vo которого направлена вдоль провода. Найти наибольшее расстояние 6, на которое электрон может удалиться от оси проводника.

707.Решить задачу 705, используя преобразование Лоренца к системе отсчета, в которой имеется только одно поле (Е или Н).

УКАЗАНИЕ. Воспользоваться результатами задач 606 и 706.

708*. Релятивистская частица с зарядом —ей массой т движется в поле неподвижного точечного заряда Ze. Найти уравнение траектории частицы. Исследовать возможные траектории в случае, когда момент импульса А" > Щ-.

УКАЗАНИЕ. Воспользоваться законом сохранения энергии и уравнениями, полученными в задаче 703.

710*. Релятивистская частица с зарядом е и массой т движется в поле тяжелого одноименного точечного заряда Ze. Найти траекторию частицы

иисследовать решение.

711.Показать, что при движении частицы в кулоновом поле притяжения (см. задачу 708*) скорость частицы стремится к с при г -> 0

(Ze2 > Кс).

712.Найти траекторию относительного движения нерелятивистских частиц с зарядами е, е', массами m b m2 и энергией 8. Исследовать решение.

713*. Найти дифференциальное сечение рассеяния <г(в) нерелятивистских частиц с зарядом е в поле неподвижного точечного заряда е'. Скорость частиц вдали от рассеивающего центра равна од.

714.Определить угол в отклонения релятивистской заряженной ча-

стицы с зарядом е, энергией 8 > тс2 и моментом импульса К > ЦД,

пролетающей в кулоновом поле тяжелого неподвижного заряда е' (см. задачи 708* и 710*).

715.Релятивистская частица с зарядом е, массой т и скоростью на бесконечности vo рассеивается на малый угол кулоновым полем неподвижного заряда е'. Определить дифференциальное сечение рассеяния<г(в).

716.Электрон с зарядом е и массой т пролетает в вакууме над плоской незаряженной поверхностью диэлектрика с проницаемостью е. Вначале

электрон двигался параллельно поверхности диэлектрика со скоростью v и находился от нее на расстоянии а. На каком расстоянии х от проекции начального положения электрона на поверхность диэлектрика электрон врежется в диэлектрик?

717*. В бетатроне во время ускорения электрона магнитное поле непрерывно нарастает, порождая разгоняющую электрон э.д. с. индукции, а орбита его остается неизменной. Доказать, что для ускорения электрона на орбите постоянного радиуса необходимо, чтобы полный магнитный поток Ф, пронизывающий орбиту, был вдвое больше потока Фо, который получился бы, если бы поле внутри орбиты было однородно и равно полю на орбите (бетатронное правило «2: 1»).

718*. Показать, что с точностью до членов ^ энергия запаздывающего взаимодействия двух заряженных частиц имеет вид:

в момент t.

УКАЗАНИЕ. Воспользоваться разложениями потенциалов Лиенара-Вихерта, найденными ниже в задаче 757*, оставив в них только те члены, которые не зависят от ускорений и их производных. Произвести градиентное преобразование потенциалов таким образом, чтобы скалярный потенциал принял форму кулонова потенциала.

719.Найти приближенное выражение функции Лагранжа двух вза-

имодействующих частиц с зарядами е\, e-i и массами т\, т.2, учитывая

2

эффект запаздывания с точностью до поправочных членов порядка ^ .

с

720. Частица с магнитным моментом m и гиромагнитным отношением х находится во внешнем однородном магнитном поле Н. Определить характер движения магнитного момента частицы.

721*. Частица с зарядом е и массой т, имеющая внутренние (спиновые) механический s и магнитный

моменты, совершает нерелятивистское движение во внешнем электростатическом центрально-симметричном электростатическом поле <р(г). Вычислить энергию взаимодействия U сшша с внешним полем в первом неисчезающем приближении по v/c, приняв во внимание томасовскую прецессию мгновенно сопутствующей системы с угловой скоростью

V X V

Происхождение прецессии Томаса поясняется в задаче 567.

'Это выражение носит название формулы Брейта. Аналогичное выражение используется при приближенном квантовом описании запаздывающего взаимодействия.

где И —угловая скорость вращения (см. [64]).

722.Решить предыдущую задачу в предположении, что частица движется в потенциальном поле V(r), но поле не электрическое. В связи с этим

всопутствующей системе отсчета магнитное поле отсутствует.

723.Нейтрон с магнитным моментом т о и кинетической энергией<?о влетает из пустоты в магнитное поле с напряженностью Н = const, имеющее плоскую границу. При каком условии нейтрон отражается от поля?

724.Рассмотреть возможные траектории холодного нейтрона (мас-

са т, магнитный момент т о ) в поле бесконечного прямого провода с током J?.

Определить дифференциальную поперечную длину рассеяния

г

где s(a) — прицельное расстояние, при котором нейтрон рассеивается на угол а.

УКАЗАНИЕ. Использовать схему решения задачи 713*.

ЛИТЕРАТУРА

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. [64, 65], Фок В. А. [107], Френкель Я. И. [111], Гуревич Л. Э. [49], Бергман П. Г. [13], Паули В. [87], Беккер Р. [12], Спитцер Л. [98], Джексон Дж. [52], Челлен Г. [114], Окунь Л. Б. [83], Балдин А. М., Голъданский В. И., Розенталь И. Л. [8], Зоммерфельд А. [56], Ливингстон М. С. [73], Гринберг А. П. [45], Кельман В. М., Явор С. Я. [58], Моррисон Ф. [80], Скачков С. В. и др. [92], Тамм И. Е. [102], Франк И. М. [108], Гинзбург В. Л., Франк И. М. [37], Компанеец А. С. [60], Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. [6], Голдстейн Г. [41].

ГЛАВА XII

ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

§ 1. Вектор Герца и разложение по мультиполям

Задача нахождения переменного электромагнитного поля в вакууме по заданному распределению зарядов р(т', t) и токовj(г', t) может быть решена путем вычисления запаздывающих потенциалов:

где R = |г — г' |, г — радиус-вектор точки наблюдения поля, г' — радиус-век- тор источника поля, dV — элемент объема источника поля. Эти потенциалы удовлетворяют уравнениям Даламбера:

at2

и связаны между собой условием Лоренца:

Количество неизвестных функций может быть уменьшено, если вместо потенциалов А(г, t) и <p(r, t), связанных между собой уравнением (XII.5),