Батыгин&co
.pdf250 |
ГлаваI |
2 |
2 i |
2 |
2 i |
где Д« = / |
|
( |
Ж |
) |
|
С |
\ ( |
) |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i a 2 |
£ . |
i |
i |
|
a |
|
j, |
asinr; |
; |
||
67. |
tit = |
п„ = —— |
|
, па |
= —г— |
|||||
|
4 |
|
' |
chf-cos77 |
|
ch^-cosr; |
||||
|
(ch^-cosn)3rg / |
|
! |
fl\ |
|
|
||||
|
|
a2 |
La^ Vch£- |
cosna^/ |
|
|||||
|
|
|
+ |
i |
a / |
sin" |
a \ |
+ |
|
|
|
|
|
|
sinn anV ch^ - cosn an/ |
|
|||||
68. Поверхности p = const — тороиды:
(\/x2 + y2 -acthp)2 + z2 = (-^—); \sap/
поверхности £ = const —сферические сегменты:
ip = tit = —r |
т, |
Л а = —г |
т. |
ch /э— cos £ |
cap —cos£ |
||
ГЛАВА II
ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
69. 4>x = -
4>2 = -\npa{A\z\ -а), Е 2 = -2тгра-^-ег (\z\ > | Ось z направлена по нормали к поверхности плиты.
70. ip(x, у, z) = — — ^ — - cos ах cos fly cos ^z. of + /г + 7
71. При |
z>0: |
1р=?Щ^е-х* sin ax sin 0y; |
|
|
А |
при |
z < 0: |
р = ^ е А г sin Q I sin 0y, A = |
Экспоненциальное убывание потенциала вдоль оси z объясняется тем, что плоскость содержит разноименно заряженные участки.
72. Самый простой метод решения — с помощью электростатической теоремы Гаусса. При решении методом интегрирования уравнения Пуассона необходимо воспользоваться выражением оператора Лапласа цилиндрической системе координат и использовать тот факт, что вследствие симметрии системы ip зависит только от г.
При объемном распределении заряда:
г
R
При поверхностном распределении заряда ipi = 0, ц>2 = —1и\п ^ .
К
252 |
Глава II |
73. ip = -2xlnr, |
Е=^, |
где х — заряд на единицу длины. Произвольная постоянная в потенциале выбрана так, что <р = 0 при г = 1.
|
/ |
ч |
Я , |
z-a+ J{z - a2) + x2 |
+ y2 |
74. |
ф,у,г) |
|
= —$-Ы |
у |
+ у2 |
|
г + а + y/(z + а)2 + х2 |
||||
75. |
Введем обозначения |
|
|||
z\ = z + a, |
|
z2 = za , |
ri) 2 = ух + у + Zji2) С = . . |
||
Из результата предыдущей задачи следует, что |
|
||||
|
|
|
|
С + 1 |
|
|
|
|
т\+ г2 = 2a-^j—- = const |
(1) |
|
|
|
|
|
О — 1 |
|
(нужно учесть, что z\ — z2 = 2a).
Равенство (1) показывает, что эквипотенциальные поверхности представляют собой эллипсоиды вращения, фокусы которых совпадают с концами отрезка.
76. |
<pi(r) = - |
|
|
|
|
77. |
Vi(r) |
= J , |
E i = 0 |
|
|
78. |
Электрическое поле в полости однородно: |
||||
|
|
|
4 |
4 |
4 |
|
|
Е = ^тгрг - х7гр(г - а) = х |
|||
79. |
9 = |
|
о |
о |
о |
^ |
2 |
|
^ |
|
|
(Д2 |
- |
fli)H |
л 2 - |
« |
|
= -~; Уз = - |
при г > |
Д2 . |
|
||
Постоянное электрическое полев вакууме |
253 |
При i?2 —> Ri = R и фиксированном значении заряда q, получаем поле сферы, равномерно заряженной по поверхности.
ЯП W - ^ |
W - ^- W - д |
q R l In ^ - соот |
80. W-5R, |
W-2R, W-R2_Ri |
{R2_Ri)2toRl COOT |
ветственно для распределений зарядов, указанных взадачах 76, 77 и 79.
Я оо
Из сравнения вкладов вэнергию W, выражаемых интегралами / и / о я
видно, что большая часть энергии поля локализована вне распределения заряда (83% вслучае шара, заряженного по объему).
81. <р(г) = Щ- ] pir'Y2 dr> + 4тг / p(r')r' dr';
0г
83.Поле электронного облака ватоме:
Потенциал полного электрического поля ватоме
84.Напряженность поля максимальна на поверхности ядра:
85.Воспользоваться тем, что плотность а поверхностно распределенного заряда может быть записана в виде
86.
254 |
Глава II |
87. lf = ^
где z — координата точки наблюдения, отсчитываемая от плоскости диска.
dl= Rda'
Рис. 48
88. Если положительно заряженное полукольцо занимает область х > О
в плоскости ху, то при х, у <С — 5 — получаем, разлагая подынтегральную it
функцию в интеграле f -^-dl ъ ряд:
ч>= |
4qRx |
з' |
откуда
з ' —У),
7Г(Д2
Постоянное электрическое поле ввакууме |
255 |
При z ~> R получается поле электрического диполя, момент которого направлен по оси х иравен -^q
89. Вследствие симметрии системы потенциал р не будет зависеть от азимутального угла а, поэтому можно безнарушения общности провести плоскость xz через точку наблюдения. Тогда (рис. 48)
Иг = \/г2 + R2 - 2TR sin дcos a'
<p{r,#)=2xR[—
J vr\/г2 + Л 2 - 2rRsin •в cos a'
о
Произведя подстановку a' = ж—2(5 ивведя обозначение
г2 |
4гД sin д |
|
s/r"2 |
+ R? |
' |
получим
y/r2+R2+2rRsmd
о v |
^ |
где z — расстояние от плоскости кольца до точки
наблюдения.
в) Обозначив через г' расстояние от точки наблюдения донити кольца, получим при г' <с R:
l - f c « - ^ , |
AT(fc) =^l n ^ и, |
р(г) = - 2 х In r ^ const, |
4R2 |
г |
|
как и должно быть в случае линейного заряда.
91. </>i = ^
Внутри сферы — однородное электрическое поле с напряженно-
л
стью E\z = — ^ ^ . Вне сферы — поле диполя с моментом
256 |
ГлаваII |
92. Вследствие аксиальной симметрии поля уравнение Лапласа, записанное в цилиндрических коордннатах (полярная ось направлена вдоль оси симметрии системы), принимает вид
Будем искать решенне уравнения (1) в форме степенного ряда по г: |
|
) = Ф(г), |
(2) |
п=0 |
|
где Ф(г) —потенциал на оси симметрии системы.
Подставив (2) в (1), перегруппировав члены и приравняв нулю коэффициенты получившегося ряда, найдем рекуррентные соотношения для определения коэффициентов о„(г), откуда:
*('.*) =Е 7 ^ ф ( 2 п ) К | Г =фм-тф//(*)+• • •'
п=0 ^ '
£„ = 0, £ , = - | £ = - * ( * ) + ...
93.Нужно вычислить мультипольные моменты
Используя формулы (П2.1), (П2.5) приложения 2, найдем:
( 2 ^ )
n=0
Обе формулы справедливы также приг = R (д ^ ^ ) .
Постоянное электрическое поле в вакууме
_. ^ Зда2 sin21? cos а sin а
95.a)ipf
_. ^ 15<7abcxj/z _ 15go6csin2 2i9cosi9sinacosa
г7 |
г4 |
96.v(r,tf,a)=9E^I -^r ^(tfo ,ao)yir a (tf,a) v(r,tf,a) = 9E^I --^r y^(tfo ,ao)yir a (tf,a)
257
при г < г0;
при г > г0.
97. v |
? (x, y ,,) ^ |
7 |
В случае эллипсоида вращения (а =Ь)
Вслучае шара (а = Ь = с)
98.В сферических координатах с полярной осью вдоль оси симметрии системы и полюсом в центре колец
Это — потенциал линейного квадруполя, у которого заряды —q нахо-
Ja2 - Ь2
дятся нарасстоянии -—•? от центрального заряда 2q.
99. Вычислим мультипольные моменты:
q = - Г(р'. V)«(r) dV = - I(p' • пЩг) dS = 0.
258 Глава II
так как 6(т) = 0 всюду, кроме г = 0;
Р« = " / * « ( Р ' • V)<J(r)dV = -JXaP'ndM- dV = Jp'n^6(r)dV.
Последнее преобразование состояло в интегрировании по частям. Поповторяющемуся индексу п подразумевается сум- z' мирование. Возникший при этом поверхностный интеграл обращается в нуль, так
У' как 6(т) = 0 при г ф 0. По определению й-функции
|
Рс,= Рпд^Г = Pjan =Ра- |
|
Все мультипольные моменты более вы- |
р и с 49 |
сокого порядка пропорциональны компо- |
|
нентам г при г = 0 и поэтому обраща- |
ются в нуль. Рассмотрим, например, компоненты квадрупольного момента. Действительно,
= ~j хах0Р'п^ dV =f 8(v)p'J^- dV =p'ax0 +p'0xc r=0 = 0.
100.После n-кратного интегрирования по частям получим
101.Проще всего, воспользовавшись формулой ip = qa2(3z'2 - r2)
(см. ответ к задаче 94),выразить в ней z' через х, у, z (рис. 49). Получим
<p= -Ц-[3(xsin 7 cos(3 + у sin 7 sin/3 + z cos7)2 - r2 ] =
= —g-[3(cos ti cos7 + sin ti sin7 cos(a —/?))2 — 1].
Постоянное электрическое полев вакууме |
259 |
Тот жерезультат можно получить, воспользовавшись тем, чтосовокупность компонент квадрупольного момента представляет собой тензор II ранга. В системе осей х', у', z' компоненты квадрупольного момента
Q'xx = Q'yy = Q'xy = Q'xz = Q'yz = 0, Q'zz = 2qa2.
Матрица коэффициентовпреобразования имеет вид
/cos 7 cos 0 |
—sin0 |
sin7 cos 0\ |
|
a = I cos 7 sin |
0 |
cos 0 |
sin7 sin0 I . |
\ —sin 7 |
|
0 |
cos 7 / |
С помощью этой матрицы вычисляем компоненты Qap в системе xyz по формулам
а затем используем формулу (П.8).
102. <р= 15qa^Z |
[(у2 - х2) sin20 + 2ху cos 20} = |
= ^ ^ |
sin2 tf costfsin2(a - 0). |
2
103.(p=^-(3sin2 ?9sin2a-3cos2?9-l).
Ar
104.Попринципу суперпозиции можно написать
^ 7 ? dV>= /Р •gnui' ] ^
Преобразуя это выражение с помощью теоремы Остроградского-Гаусса,
получим что <р(г) = J -—rLj- dS, где 5 —внутренняя поверхность поляри- S 1 Г ~ Г I
зованного шара, а Рп = Pcostf. Используя результаты задачи 91, найдем:
or