Батыгин&co
.pdf240 |
Глава XIV |
868. Найти глубину проникновения электромагнитного поля в плазму при разных частотах. Для этого рассмотреть нормальное падение электромагнитной волны на плоскую границу плазмы, вычислить коэффициент отражения R и поперечное электрическое поле в плазме Е(г, t).
Диэлектрическую проницаемость взять в виде (XIV. 13).
869*. Найти диэлектрическую проницаемость бесстолкновительной плазмы с учетом теплового движения электронов. Для этого проинтегрировать уравнение движения электрона во внешнем поле Е = Ео ехр[г(к • г —
— u)t)\, вычислить плотность тока, создаваемого одной частицей, и произвести усреднение по начальному равновесному распределению координат и скоростей, считая его максвелловским. Ограничиться линейным приближением по напряженности электрического поля Е, движения ионов не учитывать. Заданы средняя концентрация электронов п и температура плазмы Т (температура измеряется в энергетических единицах).
870. Диэлектрическая проницаемость плазмы для продольного поля при учете теплового движения частиц имеет вид
где v?i = Т/т, второй член в скобках мал по сравнению с единицей. Вычислить фазовую и групповую скорости продольных плазменных волн.
871. В момент t = 0 в плазме нарушилась нейтральность заряда, в результате чего возник объемный заряд с плотностью р(г, 0).
а) Вычислить плотность р(г, t) для t > 0, использовав значение диэлектрической проницаемости плазмы (XTV.13).
б) Как изменится качественно результат, если учесть тепловое движение частиц плазмы? Проделать конкретный расчет для ец, приведенной в условии предыдущей задачи, выбрав
р(г,0) = рощ; ехр[-(J^J ], где р0 = const, х0 = const.
ЛИТЕРАТУРА
Джексон Дж. [52], Лонгмайр К. [74], Франк-Каменецкий Д. А. [109], Нортроп Т. [82], Вопросы теории плазмы [28], Силин В. П., Рухадзе А. А. [91], Альвен Г., Фельтхаммар К. Г. [2].
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
ГЛАВА I
ВЕКТОРНОЕ И ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Векторная и тензорная алгебра. Преобразования векторов и тензоров
1.cos0 = п • n' = cosI?cosI?' + sin 1? sin i?'cos(a — a').
3.Так как 6» (г = 1,2,3) —компоненты вектора, то при повороте си-
стемы координат Ъ[ = агкЪк- Подставив Ъ'г в равенство а'гЬ'г = inv и сравнив с пкЬк = inv, получим аи = onkd'i, т.е. а* преобразуются при поворотах как компоненты вектора. Поскольку инвариант (скаляр) приотражениях не меняет знака, компоненты а» и 6*, либо одновременно должны менять знак (полярные векторы либо не менять его (псевдовекторы).
10. (axb)o = i(a _ i6 + i - a+i6 _ i), (ах b)±i = ±i(ao 6±i - a ± i 6 0 ) ,
11. Тензор, обратный данному, удовлетворяет соотношениям
Это — алгебраические уравнения относительно компонент е~^ обратного тензора. Их решения имеют вид
1 _ Ды |
.„ |
егк - |£| > |
W |
где Aki — алгебраическое дополнение элемента е»^ в определителе |е|.Из формулы (2) следует, чтодля существования обратного тензора необходимо, чтобы |е| ф 0. Учитывая известное свойство определителя \\
242 |
Глава I |
убеждаемся, что обратный тензор удовлетворяет, наряду с (1), также условиям
£7k£kl = &U- |
(3) |
Если ецс — симметричный тензор, заданный в главных осях: £*& = е^бус (здесь суммировать по г не нужно), то
14. Tik образуют тензор II ранга.
Рис. 46 |
Рис. 47 |
15. При преобразовании е» —> е< по формулам е< = а^ек, коэффициенты dik = e'i • e/t имеют смысл проекций новых ортов на старые. Выполняя проектирование (рис. 46,47), получим следующие матрицы преобразования:
при переходе от декартовых координат к сферическим,
|
/sin I?cos a |
sin I?sin a |
cosi? |
\ |
|
а = |
I cos i? cos a |
cos i? sin a |
—sin i? I ; |
||
|
\ |
—sin a |
cos а |
0 |
/ |
|
/sin i? cos a |
cos i? cos а |
—sin |
a\ |
|
S" 1 = |
I sin i? sin a |
cos •в sin a |
cos а I ; |
||
|
\ |
cosi? |
-sini? |
0 |
/ |
при переходе от декартовых координат к цилиндрическим,
( cos a |
sin а |
0\ |
/cos a |
—sin а |
0\ |
—sin а |
cos а |
0 ) ; |
а " 1 = I sin а |
cos а |
0 ] . |
0 |
0 |
1/ |
V 0 |
0 |
1/ |
§ 1. Преобразования векторов и тензоров |
243 |
||
16. Обозначив через <? матрицу, связывающую компоненты вектора |
|||
в системах S' и S (А- = gikAk), имеем: |
|
|
|
в случае отражения, |
|
|
|
/ - 1 0 |
0 \ |
|
|
9- = 0 - 1 |
0 ; |
|
|
\0 |
0 |
-l/ |
|
в случае поворота,
cos a sin а 0\ (—sina cosa 0 I. 0 0 1/
Направление отсчета угла а и направление оси z удовлетворяют правилу правого винта.
17. Воспользовавшись результатами предыдущей задачи, получим
5(ai0a2 ) = 5(0:2)5(0)5(0:1) =
/ cosai cosa2—cosflsinai sin02; sinai cosa2+cos0cosai sina2; sin0sina2\
= | —cosai sin 0:2—cos 0 sin ai cos 0:2; —sinai sina2+cos6cosai созаг; sin в cos аг I .
\ |
sinaisinfl |
— sindcosai |
cosfl / |
|
18. |
|
|
|
|
|
a—iA |
V2
cos в;
V2
/
19. Так как матрица поворота на нулевой угол (тождественное преобразование) равна 1, то при повороте намалый угол |е^| < 1. Для доказательства соотношения ецс = —£k% воспользуемся инвариантностью2 г2 =
Sотносительно вращений. Поскольку х\ = ощ-Хк = i» + £%кХк, то
сточностью домалых величин первого порядка имеем г'22 = г2 2
Из инвариантности г2 следует, что SikXiXk = 0 при произвольных хи а это возможно только при Sik = —Ski- Введем вектор бср с компонентами Sift =
= keiki£ki- Тогда г' = г + бср х г, откуда видно, что 5<р представляет
собой вектор малого угла поворота, направление которого указывает ось вращения, а величина — угол поворота.
244 |
Глава I |
|
22. |
Доказательство одинаково для любого числа измерений. Пусть |
|
матрица коэффициентов преобразования а, |
а ее определитель \а\. В силу |
|
ортогональности матрицы а имеют место п2 |
равенств ацса1к = 8ц. Замечая, |
|
что в левых частях этих равенств стоят элементы определителя, равного произведению двух определителей \а\,получим |а|-|а| = |1| = 1 или |а| 2 = = 1. Отсюда следует, что \а\ = ± 1 .
Докажем, что при поворотах \а\ = +1 . Если поворот производится на нулевой угол (тождественное преобразование), то \а\ = |1| = 1; поскольку элементы матрицы а являются непрерывными функциями параметров, задающих поворот (например, углов Эйлера, см. ответ задачи 17), то и при повороте на конечный угол |а| = 1.
При отражениях определитель \а\ имеет вид
±1 |
0 |
0 . . . |
0 |
±1 |
0 . . . |
а = 0 |
0 |
±1 . . . |
Знак минус имеют те диагональные элементы определителя, которые соответствуют отраженным осям. Ясно, что \а\ = +1 при четном числе таких осей и —1 при нечетном их числе.
24. Из 27 величин ем отличны от нуля только шесть. Остальные имеют хотя бы два одинаковых индекса и в силу антисимметрии обращаются в нуль (еик = —еик = 0). Отличные от нуля компоненты равны
= ^231 = —ез21 = —^213 = —ei32 = 1-
Составим выражение а.ца2к(*ы^ы- Вспомнив определение детерминанта третьего порядка и используя определение ем, запишем это выражение в виде OLua2k(^zi^iki = |«| = +1 = е'123. Переставив теперь слева два индекса, например, 1 и 2, получим
oi2iOcikOC3ieiki = -ocikOC2iOi3iekii = -е'пз = e 2 i 3 • • •
Из этих равенств видно, что е»м преобразуются при поворотах как тензор III ранга. При отражениях величины ем не меняются, поэтому совокупность их образует аксиальный тензор III ранга. Он обладает любопытным свойством: его компоненты во всех координатных системах одинаковы.
25. Запишем тензор Л ^ в виде таблицы:
/ |
0 |
А12 |
-А31\ |
= |
-А21 |
0 |
Л 2 3 . |
V Л |
- Л 2 3 |
0 / |
|
§ 1. Преобразования векторов и тензоров |
245 |
Обозначим Лгз = А\, A^i = А2, А12 = A3. Эти три равенства можно записать какЛ» = \eikiAki, где еш —совершенно антисимметричный еди-
ничный тензор IIIранга, введенный в предыдущей задаче. Нопоскольку еш является тензором III ранга, а Аы — тензором II ранга, величины Ai (г = = 1,2,3) образуют вектор. А» называется вектором, дуальным тензору .
26. (А х В)» = eikiAkBi, rot» A = еш^—^- А х В и rot А можно
ОХк
рассматривать как антисимметричные тензоры II ранга или как дуальные им векторы, компоненты которых не меняют знака при отражениях (псевдовекторы).
28. а) а2(Ь • с) + (а • Ь)(а • с); б) [(а х Ь) х с] • [(а' х V) х с'].
30.(a-a')(b-b/)(c-c/) + (a-b/)(b-c/)(c-a/) + (b-a/ )(c-b/ )(a-c/ )-
-(а • с')(с • а')(Ь • Ь') - (а • Ь')(Ъ .а ')(с • с') - (Ь • с')(с • Ь')(а • а').
31.Проведем доказательства для вектора и тензора II ранга.
а) Так как компоненты вектора по условию должны быть одинаковы во всех системах отсчета, то при любом повороте А\ = aiy т.е.
Ах = Ах, Ау = Ay, Az = Az. |
(1) |
Повернем систему координат вокруг оси z на угол тг. Из формул преобразования компонент вектора при вращениях А\ = otikAk получим, что
Ах = Ах, Ay = Ay, Az = Az. |
(2) |
Равенства (1) и (2) совместимы только в том случае, если Ах = Ау |
= 0. |
Произведя поворот вокруг оси х науголтг,точно такжедокажем, чтоAz =0, |
|
т.е. вектор А = 0, если его компоненты не зависят от выбора системы отсчета, что и требовалось доказать.
б) Любой тензор IIранга можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров: Т^ = Sik + Aik- Антисимметричный тензор эквивалентен некоторому псевдовектору (см. задачу 25) и, в силу доказанного выше свойства вектора, его компоненты не зависят от системы отсчета только тогда, когда ониравны нулю. Поэтому рассмотрим симметричный тензор Sik.
Выберем систему координат, в которой Sik имеет диагональный вид X^Sik. Если А^ не равны друг другу, то компоненты тензора будут зависеть от выбора осей, т.е. от того, какой цифрой (1,2 или 3) обозначена данная ось. Только при А^) = А^2^ = А^3) = А компоненты тензора не будут зависеть от выбора осей. Приэтом тензор будет иметь вид А5»£, что и требовалось доказать.
246 |
ГлаваI |
32. Искомые средние значения равны соответствующим интегралам: |
|
. _ 1 Г , о |
_ _ _ 1 Г |
4тг J |
4тг J |
Однако вместо прямого вычисления интегралов в этой задаче удобнее применить другой метод, основанный на использовании трансформационных свойств рассматриваемых величин. Очевидно, что величины щ, гЦЩ и т. д. являются тензорами соответственно I, II,III, IV рангов. С другой стороны, из их определения (1) следует, что эти величины должны быть одинаковыми в любой системе отсчета. Поэтому они будут выражаться через такие тензоры, компоненты которых не зависят от выбора системы отсчета.
Рассмотрим с этой точки зрения щ. Поскольку нет вектора, кроме нулевого, компоненты которого не зависели бы от системы отсчета (см. задачу 31),то щ = 0.
Тензор щпк должен выражаться через симметричный тензор II ранга, компоненты которого одинаковы во всех системах отсчета. Таким тензором является только Sik.Поэтому можно написать
|
|
|
гЦпк~ = AJjfc. |
(2) |
Для определения Л свернем1 |
тензор по двум значкам: |
|
||
|
|
щщ = п2 = 1 = ЗА, А = ^ . |
|
|
|
|
|
о |
|
Рассуждая аналогичным образом, найдем |
|
|||
|
|
= 0, |
|
|
|
|
= |
6ц6ктп+ 8im6kl)- |
(3) |
33. |
la', |
ia-b, la, |
§a», fa-b; |
|
i [ ( a • b)(c• d) + (a • c)(b • d) + (a • d)(b• c)]. |
|
|||
34. |
n n ' , |
( n x n ' ) l . |
|
|
35. |
П• 1, |
n' • 1, 111 • (П2 X Пз). |
|
|
1 Под операцией свертывания тензора понимается суммирование тензора по двум одинаковым значкам.
§ 2. Векторный анализ |
247 |
§2. Векторный анализ
3*.
V. -»^-*4&.
37. |
divr = 3, rotr = 0, |
grad(l • г) = 1, |
(1• V)r = 1. |
||
38. |
rot(u> x г) =2ш. |
|
|
|
|
41. |
gradyj(r) = jjy/;1 divy?(r)r = Зуз+гу/; |
rotyj(r)r = 0; |
|||
42. |
р(г ) =£°Ш*. |
|
|
|
|
|
г3 |
|
|
|
|
43. |
div(r • a)b = а • b, |
rot(r • a)b = a x b, |
div(a • r)r = 4(a • r), |
||
rot(a • r)r = a x r, div(a x r) = 0, rot(a x r) =2a, |
div f(r)(a x r) = 0, |
||||
rotip(r)(a x r) = (2<p +r<p')a |
Ц:—-ц>', div г х (а х г) = —2(a • r), |
||||
rot г x (a x г) = 3(rx a). |
|
|
|
|
|
44. |
gradA(r)r = A+£(r-A'), |
gradA(r)-B(r) = ^(A'-B + A-B'), |
|||
div<p(r)A(r) = -^-(r-A) + ^(r-A'), |
rot<p(r)A(r) = y ( r x A ) + ^(rxA'), |
||||
45. |
— grad ( ^ - 3 -J = rot ( |
3 |
J; проекции этого вектора на базис- |
||
ные орты ег , е#,е а равны соответственно |
|
|
|||
|
Зр cosi9 |
p sin i? , 0. |
|
|
|
|
г3 |
|
|
|
|
Векторные линии образуются пересечением двух семейств поверхностей: а = С\, г =С2sin2 д, атакже особое решение •& =0, ж.
'Здесь и далее в этом параграфе штрихом обозначено дифференцирование по г.
248 |
Глава I |
47.
(AA)r |
= AAr |
- \Ar - |
^ЫША^)- —Л-Ы |
|
|
|
r2 |
r2sint?cw |
|
|
|
r2 |
r2sint?cw |
|
|
|
A* |
. 2 dAr |
2cost? |
|
|
r2 siirt? |
r1 ov |
r 2 |
2
r2sint?
= А А |
Л<* |
|
° |
2 i 2 |
? |
|
r2sin2t? |
|
| | |
2 Д Л • 2cost? |
|
+ |
r2sint? da
48.
(ДЛ), = AAZ.
49. /(grad y? • rot A)dV = f(Ax grad <p)dS = f<p rot A dS.
50. Здесь,как и в раде других случаев, удобно рассмотреть скалярное произведение интеграла напроизвольный постоянный векторс:
с • / г(а • n)dS = 1{с • т)ап dS = f div[(c • г)а] dV =
= (а-с) I dV = (a-c)V.
Поскольку с — произвольный вектор, тоотсюда следует, что, /(а • п)г dS= = aV. Такимжеспособомполучим /(а • r)ndS = aV.
51. <fnipdS = fgraAipdV, /(n x a)dS = JiotadV,
${n • b)adS = /(V • b)adV = /(b • V)ad^ + /a(div b)dV.
55.Используя метод задачи 50, получим / ц> d\ = /(n x grad ф) dS, n —ортнормали к поверхности.
56./(gradи х grad/) • ndS.
61. |
a)A+f; 6)A + Blntg|; |
в)А + Ва. |
62. |
a)A + Blnr; б)А + Ва; |
B)A + BZ. |
|
§ 2. Векторный анализ |
|
249 |
|
|
64. |
|
|
|
|
х = ± |
( 6 2 _ а 2 ) ( с 2 _ а 2 ) |
|
|
|
у = ± |
(с2 -62 )(а2 -62 ) J ' |
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
( а 2 _ с 2 ) ( 6 2 _ с 2 ) j .j |
|
|
" 1 = |
> " 2 = |
V(v-0(v-0 |
2Д |
|
|
|
2Rr, |
С |
|
|
|
|
|
|
д =
где Д„ = х /( Из формул (1) видно, что каждой тройке значений £, г), £, соответствуют
восемь троек х, у, z.
Убедиться в ортогональности эллипсоидальной системы координат можно, найдя grad£, grad 77, grad С и составив скалярные произведения grad£-grad?7 и т.д., которые оказываются равными нулю. grad£, grad77, grad £ можно найти непосредственно из уравнений, определяющих £, г), £, беря градиент от обеих частей каждого из этих уравнений и используя (1).
65;. , - ± [ <с 2 - о 2