Батыгин&co
.pdf260 Глава II
105. ф) |
= - 2 x l n r + 2 £ |
^n |
|
|
|
|
n l |
|
|
где ft = J /э(г') dS" — полный заряд единицы длины распределения, Ап |
= |
|||
= J p(r')r'n |
cos па! dS' и Вп |
= J p(r')r'n sin па' dS' — двумерные мульти- |
||
польные моменты п-го порядка. |
|
|
||
Из этих формул, в частности, следует, что потенциал диполя в двумер- |
||||
ном случае имеет вид <р = |
2 |
, где Р = / /э(г')г' dS' —дипольныи момент |
||
распределения на единицу длины, г — радиус-вектор в плоскости ху.
106. <p(r,a) = -2x Inг + XI н("^) |
cosn(a-ao) |
при |
(г > го), |
||
п=1 |
^ |
' |
|
|
|
п0=0 1 |
1 / |
\ |
п |
|
|
ip(r,a)= -2х Inг + Y, |
й ( ^ ) |
|
cosn(a-ao) |
при |
(г < г0). |
1 |
^ |
' |
|
|
|
Рис. 50
107.
где р —дипольныи момент на единицу длины, г —радиус-вектор в плоскости ху (г » а), ось z направлена вдоль одного из линейных зарядов.
Постоянное электрическое поле в вакууме |
261 |
108. На оси симметрии диска (ось z направлена от отрицательной стороны диска к положительной):
= тС1 = 2тгт(г - —
Eт?x-—Eт?y-—0,п 2па?тг
109. а) В цилиндрических координатах: |
|
|
Еа |
= — , Er = Ez |
= 0; |
б ) ^ = 2г(тг-а), Еа |
= - ^ = ?£; |
Er=Ez=0. |
Поле Е совпадает с магнитным полем прямолинейного тока «^ = тс.
НО. Уравнение силовых линий
где С — постоянная. На рис. 50а изображена картина силовых линий для случая разноименных зарядов. В случае одноименных зарядов в поле имеется нейтральная точка г = 0, z = = 0 (рис. 506).
111. Целесообразно перейти к сферическим координатам. Устремляя а к нулю, разлагая в ряд и отбрасывая члены порядка а2 и выше, получим г = С sin21?.
112. г = C^sin21?| cosi?|, С = const.
Не следует забывать, что в случае квадруполя |
|
|
конечных размеров, полученная формула при- |
Рис. 51 |
|
годна только для больших расстояний (рис. 51). |
||
|
1 1 4 . <72 =
262 |
ГлаваII |
115. |
Рассмотрим силовую трубку, полученную вращением некоторой |
силовой линии вокруг оси z. Применив электростатическую теорему Гаусса к объему, ограниченному боковой поверхностью этой трубки идвумя плоскостями z = const, не содержащему внутри себя зарядов, найдем, что поток через любое нормальное коси сечение трубки Ф(г) = ^2яЛ(г) (см. зада-
г
чу 113) не зависит отz (при изменении z между z^ и Zfc+i). Здесь Qi(z) = = 2тг(±1 — cos а») —телесный угол, подкоторым видна отрицательная сторона такого сечения из точки zu где находится заряд Ф; а*— угол между направлением оси z и радиусом-вектором точки контура нормальногосечения с координатами (г, z). Знак «+» нужно брать при z > zit знак «—» при z < Zi.Если при изменении z нормальное сечение трубки перейдет через заряд qk, то Ф(г)скачком изменится на ±4тг^, однако при этомне
изменится Ylqi cos а*. Выразив cosa* |
через z, Zi и г, получим искомое |
||
|
г |
|
|
уравнение семейства силовых линий: |
|
|
|
|
|
= С, С = const. |
|
117. |
Выберем цилиндрическую |
систему |
координат, ось z которой |
совпадает |
с осью цилиндра (рис. 52).Вместо |
условия tp\s = const на |
|
поверхности S цилиндра удобнее ис-
пользовать вытекающее из него усло- |
|
вие да |
= 0. В результате дифферен- |
|
|
цирования получим |
|
R2 +x\ -2Rxicosa |
|
|
R2 +x?,-2Rx2Cosa' |
Рис. 52
Освободимся от знаменателей и приравняем по отдельности члены с cos a и безнего. В результате получим, чтопри х\ = х<ьэквипотенциальной
поверхностью будет любая цилиндрическая поверхность, ось которой параллельна заряженным нитям илежит с ними в одной плоскости, а радиус удовлетворяет условию R2 = х\х^. При х\ = 0 существует решение Х2 = 0. Этот случай соответствует цилиндрическим эквипотенциальным поверхностям в поле одной нити.
Постоянное электрическое поле в вакууме |
263 |
118. Воспользуемся рис. 53 Радиус R искомой сферы и положение ее центра определяются уравнениями
= |
Zl |
|
2 |
||
|
92
Потенциал на поверхности этой сферы равен нулю.
119. А<р = -р- =qA±+qA-е~аг - 1
= -4»,J(r) + 2 2 ^ .
Таким образом, имеется |
точечный |
заряд q |
|
|
в начале координат и сферически |
симметрич- |
|
||
но распределенный объемный заряд |
с |
плотно- |
Рис. 53 |
|
|
|
|
|
|
стью р = - н 4 7 [ т , JpdV = |
-q. |
|
|
|
120.Точечный заряд ео в начале координат, окруженный объемным
|
|
|
|
_2г |
|
зарядом с плотностью р(г) |
= — ^ е |
° . Такой вид имеет распределение |
|||
|
|
|
|
7Г£Г |
|
заряда в атоме водорода (ср. с задачей 83) |
|||||
121. |
U = J^-p |
|
^J^ |
^ |
|
122. |
U = |
^-. |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
123. |
U = 9192 F = 9i 92 |
|
|||
124. |
Я= |
El |
|
|
|
|
|
|
|
„ „ |
2тг2тг |
125 |
U = £ £ |
|
9192 |
г г |
|
|
4тг2о6 Й о |
||||
|
|
|
Г 1 2 |
||
где интегрирование выполняется по всем элементам обоих колец dli и сМг, ai и а2 —углы, указывающие расположение элементов. Интегрируя по dot2
264 |
|
|
|
|
ГлаваII |
|
|
|
и делая замену ах = ж —2а, получим |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
пу/аЬ |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
TL |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
jfc = |
2 |
^ |
= |
ш |
|
da |
|
|
Vcл/С2 + (aа + b)Ь)2 |
|
УJ 4/l-Jfc2sin2a |
|
||||
— полный эллиптический интеграл первого рода. |
|
|
||||||
При вычислении силы F = — ^- |
= —^Щ-тг нужно воспользоваться |
|||||||
|
|
|
|
|
ас |
дкас |
|
|
формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E(k) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
(см. справочник |
[90], 8.112), где |
i?(fc) |
= / y/l |
— k2siaada |
— полный |
|||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
эллиптический интеграл второго рода. |
|
|
|
|||||
Окончательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е(к) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - i f c 2 |
' |
|
126. |
* |
- |
+ |
+ -j, |
IN - |
3 |
|
|
|
|
5 |
j , |
|
|
|||
, _ _ |
T r |
Sin 1?i Sin 1?2 COS W — 2COS1?1COS1?2 |
|
|||||
127. |
U = piP2 |
|
|
r3 |
|
. |
|
|
где •di= Z(r,pi), $2 |
= |
^(Г)Р2). V — угол между плоскостями (r,pi) |
||||||
и(г,р 2 ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin ??i sin ??2 cos (p—2 cos ??i cos $2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
Сила максимальна при i?i = i?2 = V = 0, т. е. при параллельных |
диполях. |
|||||||
128. tf21 = Jp(r')MT')dV = Е
ГЛАВА III
ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ
ИДИЭЛЕКТРИКОВ
§1. Основные понятия и методы электростатики
|
2 |
Я |
тл. _ |
2EI |
дг |
_._ _ |
2Е2 |
gr |
129. |
ipx=ip2 = £!+£2 |
Г- |
" ' |
£ i + £ 2 |
r 3- |
- ' |
£ i + £ |
2 |
130. |
ipi = ф2 = <РЗ = |
|
2тг |
|
9 |
|
|
|
|
+ £2O2 + £заз |
Г ' |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
qr |
|
|
|
|
|
|
|
|
г3 |
|
|
|
131. |
Граничным условиям (<^ = |
const на поверхности проводника |
||||||
и у? = 0 при г —> сю) можно удовлетворить потенциалом вида у>= Ц-; по-
стоянная С определяется из условия § Dn |
dS = Anq, С = — ^ — . Отсюда |
|||||
находим распределение поверхностных зарядов: |
|
|
||||
|
qei |
a |
= |
ae-> |
||
°"i = т.—т,—:—Г' |
|
|
||||
°" |
2na?(e1 |
+ е 2 ) ' |
||||
|
27ra2 |
(ei+e2 )' |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
д(е2 |
-1) |
|
|
•ег) |
|
|
27га^(е1+е2) |
|
1 jZ. о ^ |
-. |
г 1 т • |
|
|
|
|
L |
47Г |
J о — о |
|
|
|
|
£2
266 |
ГлаваIII |
Связанные заряды находятся в местах неоднородности диэлектрика т.е. на сферах радиусов а, Ь,с:
' |
„ |
- |
q |
2 |
1 |
„ |
— |
5 |
"Ьсв |
— |
Т о |
|
"сев |
||||
Е\ |
"Ьсв |
——- |
То |
£2 |
1 "сев |
— — |
|
|
|
4ЯЧГ |
|
47ГС |
|
||||
|
|
|
4Г |
|
|
|
|
|
где q —заряд внутренней обкладки конденсатора. Полный связанный заряд в конденсаторе равен нулю.
1 |
1 4 |
£2 |
£l/ |
135. Емкость конденсатора
e S
0
С= 4тга1п2'
Поверхностная плотность связанных зарядов
<Гсв = - ( Т { 1 --^J ПрН X = О,
x = a -
Объемная плотность
£0(х + а)2
(о = eV/(Ana In 2) —заряд обкладки прн х = 0).
136.
а) |
/о=§ = |
"° |
|
|
rj2 |
1 |
|
б) |
/о = g ^ = g/o |
(жидкий диэлектрик), |
|
|
/ = -г— = /о |
(твердый диэлектрик); |
|
в) |
/ = ^ — = £/о |
(жидкий диэлектрик), |
|
|
f = — 5 —= £ /о |
(твердый диэлектрик). |
|
О7Г
§ 1. Основные понятия и методы электростатики |
267 |
(е - 1)6/12 V2
137. a) F =
б) F = - |
2nq2h1h2[h1e |
- |
~ 1) |
. Общие знаки минус |
|
b[sahi - |
(е - |
l)h2x]2 |
|
говорят о втягивании диэлектрика в конденсатор (координата х стремится уменьшиться).
138. Сравним давление в точках А и В жидкости (рис. 54). В точке В давление равно атмосферному рвщ. Давление в точке А можно найти дву-
мя способами. С одной стороны, по формуле (111.25), рл = Рвт + Щ- ^ ^
О7Г ОТ
(здесь pa™ = ро, Е = ^ J. С другой стороны, РА отличается от давления у поверхности жидкости в конденсаторе, определяемого формулой (111.23),
Л. |
в |
Б |
|
||
|
|
|
Рис. 54 |
|
Рис. 55 |
|
|
на величину гидростатического |
давления |
rgh, |
= rgh + т^-^- |
— |
|
£ - 1 |
+ Ра™- Сравнивая, получим |
|
|
|
|
8тг |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
h= |
" |
|
|
|
139. Тензор максвеллова натяжения Т'п |
направлен так, что электриче- |
||||
ское поле Е делит пополам угол между п и Тп (рис. 55). \Т'п\ = ш = |
^- |
||||
при любой ориентации площадки. Стрикционное натяженне Т^ = r n |
^ |
||||
имеет всегда характер «отрицательного давления» — оно направлено вдоль нормали п к площадке.
268 |
ГлаваIII |
140. |
а) Введем цилиндрические координаты, какпоказано нарис. 56а. |
На плоскости ху поле имеет радиальное направление, его величина Е =
= |
— |
—. Для вычисления силы F, действующей на один из заря- |
с ь 2 |
+ о2 |
/4)3 / 2 |
дов, например, налевый, нужно просуммировать напряжения, приложенные к элементам dS этой плоскости со стороны, обращенной к другому заряду:
TzdS =-£-E2dS = --±- |
г2 |
•dS, |
если воспользоваться максвелловым тензором натяжений. Отсюда
r22wrdr
ea2"
Именно такое значение обычно принимается длясилы, действующей между зарядами в однородном диэлектрике. Однако, если провести то же самое вычисление с полным тензором натяжений, то сила будет равна Fz + AFZ,
E,
6)
Рис. 56
где AFZ = q2e~2a~2r^- получается за счет стрикционного члена. Новтеории, учитывающей электрострикционные натяжения, нужно также учиты-
§ 1. Основные понятия иметоды электростатики |
269 |
вать явление втягивания жидкости в поле исвязанное с этим повышение
гидростатического давления вжидкости навеличину Ар = 4 ^ ^ , соглас- |
|
ие от |
|
но (111.25). Результирующая гидростатическая сила AFzr = —4~~2~|| |
= |
s а от |
2 |
|
|
= —AFZ. Полная сила взаимодействия зарядов Fz + AFZ + AFzr = |
- |
|
sa |
совпадает с той силой, которая получается без учета стрикционных сил и представляет собой, таким образом, результирующую электрических и механических сил.
б) Те же результаты получаются, если рассматривать действие натяжений на поверхности малой сферы радиуса R с центром втойточке, где находится заряд q,испытывающий действие силы (рис. 566).Введем сферические координаты и рассмотрим максвелловы натяжения Т'п = j -
— 7iE2er), |
где Е =Ei + E2, Ei = — - e r —поле заряда, испытывающего |
1 t |
sR |
действие силы, Ег = -^ (е^ sinд—er cos$) — поле второго заряда, которое
га
можно рассматривать как однородное, так как расстояние между зарядами а ^>Л. Просуммировав натяжения, приложенные к поверхности сферы, получим
Рассмотрение стрикционных натяжений опять не дало бы ничего нового из-за гидростатической компенсации.
141. ^ 0 = ^
где g — ускорение силы тяжести.
142. При
|
При |
Z < 0: |
<fi = <£"2 = |
т • "Г- |
|
|
|
|
|
£l+£2 r |
|
1 м |
1 Г/ |
i\^V2 / |
i\^Vlll |
Яа |
|
1 4 3 . |
<7св ^ |
"J— (£2 — ^-/~о— — \^1 — ^-/~о— |
— |
||
где
г = у/х2 + у2 + а2 =r i | 2 = 0 = г 2 | 2 = 0 .
При £г —>оо получаем случай точечного заряда q, находящегося в диэлектрике £i, у границы сплоским проводником. При этом стсв —>— -