Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4631 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Казанский федеральный университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Батыгин&co

.pdf
Скачиваний:
374
Добавлен:
10.02.2015
Размер:
7.66 Mб
Скачать
☆

310 Глава V

243.

При г <а

 

 

 

 

 

 

 

 

Аж

= Си

В = 0;

при а ^ г ^ b

 

 

 

 

 

 

 

c(b

— a )

 

 

 

 

 

при г > b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Az

= — — In Y + Сз)

 

-BQ = gj. .

Остальные компоненты А

и В равны нулю. Две любые константы,

входящие в Az,

можно выразить через третью, использовав условия непре-

рывности векторного потенциала на границах.

244

Я -

2 У

farctc а +

2 х

I a r c t c a ~ 2 x

 

 

 

 

2»

" '

6

2»

Ось у перпендикулярна полосе и проходит через ее середину. 245. Пластины отталкиваются с силой

246. Az

= ^- In ^

= —

 

гт

_

9^z

_

8У

 

•Пх

=

- ^ —

=

 

 

гт

_

дАг

_

2J1 (а-х

|

Щ~

 

дх

~

с \ г2

т\ У

 

 

 

 

г

Координаты проводников с током в перпендикулярной к ним плоскости равны (а, 0) для тока +У и (—а, 0) для тока — У; т\ и г? — расстояния от точек (а, 0) и (—а, 0) до точки наблюдения.

247. а) Между плоскостями Н = Щ-i,в остальном пространстве Н = 0;

б) между плоскостями Н = 0, в остальном пространстве Н = Щ-i. В обоих случаях магнитное поле направлено перпендикулярно току и параллельно токонесущим плоскостям.

 

 

 

 

 

Постоянное магнитное поле

 

 

 

311

 

248.

Ну =

—

, Нх

= Hz = 0; ось у нормальна к плоскости,

 

 

 

 

с(Ь — а )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

проведенной через оси цилиндров.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

249.

В цилиндрической системе координат, ось z которой перпенди-

кулярна плоскости кольца и проходит через его центр,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Az

— Ar

— 0,

 

где

К(к)

и Е(к)

 

— полные эллиптические

интегралы

Лежандра, к2

=

_

Ааг

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a +

r)2+z2'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Компоненты магнитного поля:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

о

 

о

 

о

П

 

 

 

О (X

 

 

~

 

I

т^(ьл

_i_

л *

_|_ ip& _|_ у&

I7/'I^^l

I

 

 

Я г ^

ь*у

'

.

z

 

 

 

~

т

~

 

,

 

 

~^~

 

 

—Л

(К)

-\

 

 

 

—£j\K)

 

 

Hz = *f-

 

 

z

 

\К(к)+ у

г-т-

 

 

 

 

 

 

 

 

с

y/(a + r)2

+ z2l

 

 

 

 

(a-r)2

 

 

 

 

 

 

 

На оси витка (г = 0) эти выражения переходят в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я г

= 0,

Hz

 

= -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

250.

В любом сечении такой трубки поток индукции будет один и тот

же. Поэтому уравнение поверхности трубки:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N = JBdS

 

= f(r, z) = const,

 

 

 

 

где

поверхность

интегрирования 5

представляет

собою круг радиуса

г

в плоскости, перпендикулярной оси симметрии (центр круга лежит на оси

симметрии). Так как Аа

не зависит от а, то с помощью теоремы Стокса

получим

 

BdS=

j> А • dl = 2тггАа(г, z) = const.

Линии пересечения этих поверхностей с плоскостями a = const и дают искомые линии магнитной индукции.

312

Глава V

251. Компоненты магнитного поля:

г2

(-1)"

Векторный потенциал выражается через напряженность магнитного поля с помощью теоремы Стокса и соотношения Н = rot A:

г

 

 

 

 

= 2 Я ( Г ) ~~- '-

О

п=0

* • '

 

 

 

 

252. Hz =

(cos 6>i+cos в2),

 

 

где (см. рис. 68):

 

 

COS0\

=

h-z

 

 

 

 

 

COS02

=

 

 

 

253.

Решим задачу методом

 

 

векторного

потенциала. Плотность

 

 

поверхностного

тока, возникающего

 

 

при вращении сферы,

 

 

 

—

ос А

р и с £g

 

(полярная ось выбрана вдоль векто-

 

 

ра ш). Векторный потенциал во всех

точках, не лежащих на поверхности сферы, удовлетворяет уравнению Лапласа. Как следует из симметрии системы, векторный потенциал можно

выбрать так, чтобы была отлична от нуля только компонента Аа, которая не будет зависеть от угла а. Поэтому уравнение для векторного потенциала запишется:

АА-

1

-Аа

= <

(1)

 

(см. ответ к задаче 47).

Постоянное магнитное поле

313

Поскольку плотность тока зависит от угла д по закону sin $, естествен-

но искать решение уравнения (1) в виде

 

Aa(r,ti) = F(r) sinti.

(2)

Как будет видно из дальнейшего, F(r) можно выбрать так, чтобы удовлетворялись уравнение и граничные условия, и это оправдывает выбор решения (2). Отметим, что векторный потенциал (2) удовлетворяет условию

div A = О,

выполнение которого необходимо, чтобы имело место (1).

Определяя F(r) с помощью уравнения (1) и граничных условий, получим Аа и Н = rot A.

Напряженность магнитного поля внутри сферы (г < а)

Н

= ^ с " '

 

при г > а

 

 

3r(m • г)

m

и =

Г

о>

 

г5

г3

2

где m = Щг-ш— магнитный момент системы.

Зс

254. В точках, где j = 0, можно положить Н = —grad^>. Тогда уравнение rot H = 0 выполняется при всех ф, а уравнение div H = 0 дает

Последнее уравнение должно быть решено при дополнительном условии

где I — любой контур, охватывающий ток J. Вводим цилиндрические координаты r,a,zn ищем решение в виде ф = ф(а).

Окончательно получим

255. а) Чтобы скалярный потенциал V магнитного поля был однозначной функцией, выберем некоторую поверхность 5 (рис. 69), опирающуюся

314

Глава V

на контур с током, и будем считать, что при переходе через эту поверхность гр терпит разрыв:

= i r ^

(1)

Точки 1 и 2 лежат бесконечно близко друг к другу по разные стороны поверхности, причем направление из 1 в 2 составляет с направлением тока правовинтовую систему.

Решение уравнения Лапласа можно записать в виде (см. [101]):

Рис. 69

(2) В выражении (2) интегрирование нужно проводить по бесконечно удаленной замкнутой поверхности S', а также по всем замкнутым поверхностям Е;, лежащим на конечном расстоянии от начала координат, внутри

/ dip

которых гр или -^- имеют разрывы. В рассматриваемом случае интеграл по on

бесконечно удаленной поверхности равен нулю, так как источник поля(контур с током) имеет ограниченные размеры. Поверхности, на которых нормальная производная -^- = —Нп имеет разрыв, отсутствуют, так как Нп —

on

непрерывная величина. Поэтому в (2) интеграл должен быть взят по одной поверхности Е, окружающей 5.

Будем стягивать Е до совпадения с 5. Вследствие непрерывности ве-

личин -,

-^- и -£-(-) ня поверхности 5, формула (2) примет вид

г

on

on \r /

(3)

где интегрирование теперь ведется по незамкнутой поверхности 5. Используя равенство (1), получим

(4)

Постоянное магнитное поле

315

Интеграл / rr ^ представляет собою телесный угол П,под которым виден

контур с током източки наблюдения, поэтому формулу (4) можно записать в виде

Знак п положителен, если радиус-вектор г, проведенный източки наблюдения в некоторую точку поверхности S, и направление тока в контуре составляют правовинтовую систему.

б) Преобразуем интеграл поконтуру в интеграл поповерхности,опирающейся наконтур; используя результат задачи 55, получим

где V M означает дифференцирование покоординатам точки наблюдения М. Вычисляя Н = rot А, находим:

( i ) ! | ( £ )

(5)

(При преобразовании использовано равенство Д ( £ ) = 0 ; предполагается,

что точка г = 0 нележит наповерхности интегрирования. 1 Сравнивая (5)

с формулой Н = —grad ф, получаем

 

 

 

 

 

1\

-? fr-dS

Jo

 

 

256. F = 0, N = m x H, где m = ^ / n • dD — магнитный момент

контура с током.

 

 

 

 

 

и = m i m 2 _ 3(mi - r)(m

2 -r)

 

 

 

и=

 

 

 

 

 

г

г

 

 

 

F2

о

 

1С

 

-r)r,

= -Fi = -5 [(mi •r)m2

+ (m2-r)ini + (mi •m2)r]--j(mrr)(m2

 

г

 

г

 

 

где г — радиус-вектор, проведенный от первого тока ко второму, Fi, F 2 — силы, действующие на первый и второй токи;

 

_ 3(m2 -r)(mi х г) |

m2 x пц

 

 

г

5

+

г3

 

 

 

 

 

IN2

=

3(mi • r)(m2 х г)

пц х m2

 

 

.5

 

 

r

г з

 

316

Глава V

где Ni, N2— вращательные моменты, приложенные к первому и второму токам соответственно. Следует отметить, чтоNi ф —N2, но

N i + N 2 + ( r x F 2 ) = 0.

Если магнитные моменты параллельны (mi = min,т г = тгп, г =гго,

пи го — единичные векторы), то получим

—ro(5cos2i? — 1)]

где i? — угол между п и го.

259. Потенциальная функция тока J2 в поле тока

U21 = 7;—In a + const,

2

где а — расстояние между токами.

Сила, действующая на единицу длины второго тока:

,du2i

J ~ да ~ с2а '

При параллельных токах (J*\ и J*2одинакового знака) имеет место притяжение.

260. Сила F и вращательный момент N определяются дифференцированием потенциальной функции:

т „ s

$\$т.а. 4r2 +g2 +4arcosa

U (г, а) =

ъ—1п7Т^—2—'Л

•

 

с

4г* + а —Aar cos a

261. N = ±£f±

264. Lia = 4тг(6 - V62 - а2 );

дЪ

- а ? '

Постоянное магнитное поле

317

265. В этой задаче удобно использовать формулу (V.23). Вычисляя интеграл так же, как в задаче 89, получим

где

7Г

7Г

2

2

K"(fc) = f

— ^

E(k)= [ Jl-к2sin2 ipdip,

J

Vl-A;2sin2V

^

 

.2 _

4a6

При I 3> a, 6 параметр fc мал:

поэтому можно использовать приближенные формулы для ЕиК (см. справочник [90],8.113, 8.114):

Оставляя в выражении для I>i2 только члены, пропорциональные к3, по-

лучим в первом неисчезающем приближении L\2 =

% • Последний

 

 

 

т-

СФ12

'

результат легко получить и из равенства Li2

= —•£*-, рассматривая кольца

с током какмагнитные диполи.

 

 

 

1

 

При а и 6 » I, к « 1, X(fc) w In

4

 

£(fc) w 1,

 

 

 

/1

A2

 

 

L12 = 4тга fin

y^2

8

a

 

 

V

+ (a - 6)2

 

266. В обозначениях предыдущей задачи

318

Глава V

267. ЬВ = 4тгтг25. Для соленоида большой, но конечной длины h, пренебрегая краевым эффектом, получим полную индуктивность

L = Ann2Sh.

268. Вычисляем магнитную энергию по формуле

2c2 J R

Здесь dS\ и dS2 — элементы поверхности соленоида, R — расстояние между ними, через i (ii = гг = г = пУ) обозначена плотность поверхностного тока, которым заменен ток, текущий в обмотке соленоида, п — число витков на единицу длины.

Интеграл удобно вычислять в цилиндрических координатах:

уу = 7i/t ujr

i j

i j

A.

cosada

c2

/ dz\

I dz2

<f>

 

 

 

 

 

оо

где отброшены все члены порядка ( ^ J и выше. Отсюда

Если пренебречь членом a/h по сравнению с единицей, то получится результат предыдущей задачи:

L = 4тг2а2п2/1 = 4тггг25/1.

269. Для кругового сечения

 

 

L = 4ттЛГ2(6 -

s/tf

- a2 ).

Самоиндукция на единицу длины У!

= —г

для бесконечного соленоида

получится, если сделать предельный переход 6 —> оо при заданном числе

N

витков на единицу длины п =-^-т: 2тго

i? = 4тг2 п2 а 2 = 4тгп25

(ср. с задачей 267).

 

 

Постоянное магнитное поле

319

Для прямоугольного сечения

 

 

 

2 6 - а '

 

При 6 » а опять имеем ЬВ = 4тгп25.

 

Если ток

течет

непосредственно

р и с 70

по оболочке

тора,

то самоиндукция

 

уменьшается в N2 раз по сравнению с самоиндукцией тора, обмотанного проводом. В соответствии с этим будем иметь:

для тора круглого сечения и

L = 2/i In 26 + а

2 6 - а

для тора прямоугольного сечения.

270. Вычислим магнитную энергию единицы длины линии по формуле (V.16). Векторный потенциал прямого провода с током был получен в задаче 242. Для провода 1 (рис. 70) запишем его в виде

Alz=C

¥

при

п < а,

 

 

 

 

}

(1)

 

+ 2ln^

при

п>

 

Векторный потенциал, создаваемый проводом 2, получится при замене в (1) J на —У, а на 6 и г\ на гг.

Находим магнитную энергию:

W = - ^

f(Alz

+A2z) dS! - - ^ f(Alz

+A2z) dS2. (2)

2жсаг J

 

2жсЬг

J

1

 

2

 

 

Интегралы, входящие в (2), можно вычислить, использовав формулу (3.765) из справочника [90]. Учитывая затем связь между коэффициентом индуктивности и магнитной энергией системы, получим окончательно:

ab

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности