Батыгин&co
.pdf§ 2. Поляризация вещества в переменном поле |
341 |
Поэтому выражение dA должно быть полным дифференциалом некоторой функции амплитуды поля — энергии системы. Перепишем dW в виде
dW=\ Y,{hk$k dS* + рк& dS*k). |
(2) |
i,k |
|
Видно, что эта величина будет представлять собою полный дифференциал только в том случае, если fine = 0ki; тогда
dW = 151
Точно так же можно доказать эрмитовость тензора магнитной поляризуемости для системы, внутри которой не происходит диссипации энергии.
317. Уравнение движения атомного электрона, связанного с ядром упругой силой, запишется в виде
где wo — частота собственных колебаний. Решая его методом последовательных приближений, получим в линейном по Но приближении:
г = — Г ^ |
57 - г „ , „ |
—•Г(Е Х Н О ) - |
Чтобы получить тензор поляризуемости атома, используем запись векторного произведения с помощью антисимметричного тензора е^ы (см. задачу 26). Это даст
|
|
2 |
с |
• |
2 |
иН01 |
|
|
Я |
е |
2 |
е |
|
|
|||
|
с |
• |
|
|
|
|
||
Pile = |
—}Г"5 |
|
Z\(>ik(>k- |
г |
г |
е |
ш |
|
|
( 2 |
|
2 ) |
|
|
|
|
|
В соответствии с общим положением, доказанным в задаче 315, этот тензор является эрмитовым. Вектор гирации (см. задачу 316) в данном случае имеет вид
„ |
|
е2и |
|
т, |
|
|
2еш |
, |
g = |
2 ( |
2 ) |
2 |
|
° = |
( |
2 ) Г |
L |
еН где шь = т^-0 — ларморова частота.
2тпс
342 |
Глава VI |
|
|
318. |
|
|
eik=\_L{£+_£-} |
!(£+ + £-) о |. |
ОО
где
_± _ -, |
ШР |
Р о _ , ШР ,,2 _ 4тгб2ЛГ |
|
(JJ\(JJ ^* £AJJTJ I ^~ Сип |
Си ^~ С0(\ |
Вектор гирации равен по величине
9 =^ - е - )
и направлен по оси z.
Результат предыдущей задачи получается из найденного точиого решения при выполнении условия 2шьш <€. \ш% — иР\.
319. Тензор £{к имеет такой же вид, как и в предыдущей задаче. Но его компоненты е± и е° определяются следующими выражениями:
i7 ±
• »
го/7
еЯ0
Из-за наличия «трения» (г) ф 0)вэлектронном газе происходит диссипация энергии, итензор £гк неэрмитов.
320. j = o-E + ( E x a ) ,
где
Магнитное поле приводит квозникновению тока, перпендикулярного электрическому полю (ток Холла).
§ 2. Поляризация вещества в переменном поле |
343 |
Обратная зависимость в том же приближении имеет вид
где R = -\= — постоянная Холла. |
|
|
ceN |
|
|
Тензор электропроводности: |
|
|
321. Обозначим массу, скорость и заряд электрона через т, |
г, —е |
|
а те же величины, относящиеся к иону, через М, R, |
+е. Тогда получим |
|
следующую систему уравнений движения: |
|
|
тг = - e E o e - i w t - % (г х Н о ) - m 7 ( r - |
R),] |
|
|
\ |
(1) |
MR = eEoe-iu>t + | ( R х Но ) - m-r(R - г).J
Здесь Но — постоянное и однородное магнитное поле, ту —коэффициент «трения»; сила трения пропорциональна относительной скорости электронов и ионов, т. е. разностям (г — R) и (R — г) для электронов и ионов соответственно. Электрическое поле Е = Еое~гы* зависит от времени по гармоническому закону.
Ищем решение системы (1) в виде
г = гое-*ш\ R = Roe-'"". |
(2) |
Выберем направление Но за ось z и введем циклические компоненты векторов го и Ro по формулам
ro±i = Т-т=(гох ± ггОу), Ro±i = T"^(-Rox ± Iroy).
Подставим (2) в (1) и сложим получившиеся уравнения:
-ш(тг0 + MRo) = f [(Ro - г0 ) х Но ].
Левую часть последнего равенства можно записать в виде
-ш[(М + m)Ro + m(r0 - Ro)]. Пренебрегая т по сравнению с М, получим
) b |
(3) |
§3. Ферромагнитный резонанс |
345 |
324. Поскольку включение поля происходит в момент t = О, то из принципа причинности следует, что Р(£) = 0 при t < 0. Обозначив диэлектрическую восприимчивость через а = а' + га", получим
оо |
оо |
|
P(t) I а(ш'Щш')е-*ш'1 |
dJ = § : / а(ш')е-гш>* dw', |
(1) |
—оо |
—оо |
|
где Е(а>') — компонента Фурье поля E(f) = Ео<5(£). Умножим (1) на егшЬ и проинтегрируем по t от —оо до 0. В силу условия P(f) = 0 при t < 0 будем иметь
оо0
± I dJa(u') f e-^'-^'dt =0. |
(2) |
—оо —оо
Используя (П 1.17) и отделяя вещественную и мнимую части, получим
(3)
откуда следуют соотношения Крамерса-Кронига.
325. , ' И = 1+ Т ^ .
327.
divB = 0.
§3. Ферромагнитный резонанс
328. Мх = Asin(wo* + о), Му = Acos(u>ot + a), Mz = С,
где wo = 1Но, о. — начальная фаза, АиС — константы, связанные условием М 2 = MQ, т.е. Л2 + С 2 = MQ, где М$ — намагниченность насыщения. Движение вектора намагниченности представляет собою обычную ларморову прецессию.
346 |
|
Глава VI |
|
|
329. Ищем решение уравнения |
|
|
||
^ |
= - 7 |
М х Н о + о;г (хоН0 - М) |
|
(1) |
в виде Мх = тхе-^г, |
Му |
= туе~^1, Mz = Мо + m |
2 e~i a ; t , где и — |
|
неизвестная частота; ось z направлена вдоль Но. |
|
|
||
Проектируя (1) на оси координат и подставляя М, получим |
систему |
|||
алгебраических уравнений, условие совместности которой имеет вид
и% - (LJ + iuir)2 = 0.
Частотам оказывается комплексной: и = ио—шг; наличие потерь приводит, как обычно, к затухающему движению. Компоненты тх и ту сдвинуты по фазе на тг/2. Вектор М совершает затухающую прецессию вокруг Но.
330. Если выбрать ось о вдоль Н, то полное магнитное поле будет иметь составляющие /ix e~4 a ; t , /iy e~4 a ; t , Щ + hze'^1. Ищем решение уравнения Ландау-Лифшица (VI.15) в виде
Мх = тхе-и*\ Му = туе-™\ Mz = Мо + тге~™\ (1)
где Мо —намагниченность насыщения. Эта форма решения соответствует предположению, чтоларморова прецессия прекратилась вследствие затухания иколебания поддерживаются только высокочастотным (вынуждающим) полем. Поэтому нужно считать величины тх, ту, mz малыми, порядка не ниже h. Подставляя (1) в уравнение Ландау-Лифшица и отбрасывая квадратичные п о / г и т члены, определим компоненты т :
- Х о 2
(2)
CL)Q — Ш
-ХО—2 |
2hV т г = 0. |
Как видно из этих формул, характер зависимости тх и ту от и> при фиксированной LJQ= JHQ ИЛИ ОТHQ при заданной и — резонансный: вточке LJ = LJQкомпоненты тх и ту неограниченно возрастают, наступает ферромагнитный резонанс.
Неограниченное возрастание амплитуды m связано с приближенным методом решения уравнения Ландау-Лифшица. Точное решение (см. задачу 332)должно обеспечивать постоянство длины |М|, таккак из уравнения Ландау-Лифшица следует М 2 = const. При решении задачи методом последовательных приближений с учетом потерь М также остается ограниченным.
348 |
Глава VI |
Угол прецессии д (угол между М и (Но) определяется равенством
где М± = JM2 |
+ М2. При ферромагнитном резонансе Да; = 0, и из (1) |
получим |
|
Мх |
= ±MQ cosutf, My = ±Мо sin art, Mz = 0. |
Вектор М в этом случае вращается с частотой ш в плоскости, перпендикулярной Но, егокомпоненты необращаются в бесконечность.
Орез ,
о |
J |
2 \ |
|
|
|
Яо |
• 103 э |
||
|
|
|
-2
-4 -
Рис. 72
333. М = Mo+ m e " t w t , где Моимеет направление Но, акомпоненты m определяются формулами
hx - гхо О,2 - ш2 - 2гшшг hy,
т |
=гх |
п2 - ш2 - 2гшш, |
|
U2-ii |
|
— и)* — 2гшшг |
|||
у |
|
•hx |
+ Хо |
|