Батыгин&co

аЫп-

В случае а)ДА; практически не зависит отвеличины постоянного магнитного поля Но, таккак /хц и 1 (см. задачу 331). Этообъясняется тем, что внутри пластины высокочастотное магнитное поле совпадает по направлению с постоянным полем и не поддерживает прецессии намагниченности М. В случае б) высокочастотное магнитное поле внутри пластины перпенди-

где Ai — постоянные,

к\ = niTr/а, Аг2 = пъж/Ъ, кз = тгзтг/Л, и> = с (fcj + А;2 +fcj)'

" 1 , "2, "з = 0,1,2, ... (временной множитель е~шЬ опущен).

Вектор Н выражается через Б с помощью уравнений Максвелла. Уравнение divЕ = 0 приводит к условию поперечности А • к = О,

где ек^ — единичный вектор такой, чтоe^i • е^г = 0 и е ^ • к = 0, а посто-

янная А = \l^jr-> причем V = abh — объем резонатора.

Тогда все собственные функции будут взаимно ортогональны инормированы условием

Это соотношение легко проверить, непосредственно интегрируя (1). Индексы v, и1 введены для обозначения четырех чисел: п\, пг, пз и а.

Если одна из проекций к равна нулю, то вырождение отсутствует, так как в решение (1) входит в этом случае только одна постоянная.

530.AN = - ^

531.Колебания электрического типа:

При т ф 0 колебания как электрического, так и магнитного типов в общем случае двукратно вырождены, так как каждой собственной частоте соответствуют две собственные функции, например,

Hz = 3%oJm(*cr)sinmasin(kz)e —iut

Hz = 3%bJm(xr) cos ma sin(kz)e—iuit

532. В квазистационарном приближении можно рассматривать указанную систему как колебательный контур, состоящий из конденсатора

емкостью С = R2/(4d) и катушки индуктивности с самоиндукцией L = = 47г6Пп— — т)- (Вычисление самоиндукции проволочного кольца см. в задаче 272). По формуле Томсона (VII.3)

тгб

534. В квазистационарном приближении (Ао = 2жс/и>о ~> а, Ь) считаем, что электрическое поле целиком сосредоточено между обкладками конденсатора, а магнитное поле — внутри тороидальной камеры. При таких предположениях резонатор эквивалентен обычному колебательному контуру, состоящему из емкости и индуктивности. Емкость конденсатора С =

Собственная частота

~и (6 - а) у ^(6 -

Высшие типы колебаний рассмотренного резонатора не могут быть вычислены в квазистационарном приближении, так как для них не выполняется условие А ^> а, 6.

536. В коаксиальном волноводе, закороченном с одной стороны (при z = 0) идеально проводящей перегородкой, устанавливается стоячая поперечная волна с напряженностями поля:

В любой плоскости, перпендикулярной оси волновода, распределение электрического поля такое же, как в цилиндрическом конденсаторе, и можно

между центральным стержнем и оболочкой.

Эту разность потенциалов следует приравнять напряжению на обкладках конденсатора, образованного торцом стержня и верхней крышкой резо-

Здесь С = a2/{Ad) — емкость конденсатора; q — заряд одной из обкладок, который можно выразить через силу тока J, протекающего по стержню (или равный ему по величине и противоположный по направлению ток в оболочке)

У = —iujq.

Вычисляя силу тока по известному магнитному полю (1) и подставляя ее, а также разность потенциалов (2) в формулу (3), найдем трансцендентное уравнение, которому удовлетворяют собственные частоты:

с са а

Это уравнение легко решается графически. При ujh/c <c 1 (это означает, что А > 2тгЛ — квазистационарное приближение) получаем

и = —

где L — коэффициентсамоиндукции отрезка коаксиальной линии длиной h. В этом приближении вычисляется только одна — низшая — собственная частота (ср. решения предыдущих задач 532-535).

При d = 0 (закороченный с двух сторон отрезок коаксиального волновода) имеем

Это означает, что на длине резонатора должно укладываться целое число полуволн: h = -^-т .

Исследуем влияние конечной проводимости стенок на и-н тип колебаний идеального резонатора. Возмущенное поле Н при £ —• 0 должно переходить в невозмущенное поле, т. е. в сумме

Н = у pv>Hv

должен оставаться один член с v1 = v. Следовательно, амплитуды pv< с i/ = = v пропорциональны ( и их подстановка в (6) дает члены порядка £2

Величина, стоящая в скобке, комплексна. Поэтому уравнение (9) описывает гармонический осциллятор, на который действует «сила трения» — (-J- § HldS\qv, где С,' — действительная часть поверхностного

импеданса.

Решая последнее уравнение, найдем комплексную добавку До;^ — i^v к собственной частоте идеального резонатора. Потери приводят к затуханию собственных колебаний с декрементом

Связь между добротностью резонатора и декрементом затухания дается формулой (IX.4).

Решаем систему (5) методом последовательных приближений. В нулевом приближении отбрасываем сумму (£)') и получаем

В следующем приближении получим добавку к (6), равную

Она мала, если и> близко кш„,а все остальные собственные частоты и>и> удовлетворяют условию \и> —wv>\ 3> |ДП^<|.

Выразим знаменатель (6) через добротность Qv и измененную собственную частоту u)v = u)v Л- Ыо». Имеем:

что справедливо вблизи резонанса (|u; —u>v\<g. u>). Отсюда

Зависимость амплитуд поля от частоты имеет резонансный характер, при заданном j поле при резонансе тем больше, чем выше добротность резонатора:

Из полученных формул следует также, что проводник с током следует помещать в пучность электрического поля Е„ и ориентировать вдоль Е„. При этом величины j v и, следовательно, р°, q° будут иметь наибольшее значение.

540. Если волновое поле с энергией W, заполняющее резонатор, отражается от зеркала один раз, то потеря энергии составляет W(l — R). За время dt теряется энергия

вызвано тем,что ограниченный в поперечном направлении пучок света не может быть строго направленным. Он обязательно имеет поперечную составляющую волнового вектора Ак±, которую можно оценить из условия Ак± • D и 1 (см. задачу 424). Это приведет к тому, что лучи света, распространяющиеся от одного зеркала к другому, образуют слегка расходящийся пучок с углом раствора

п а 2Ак± 2с

Часть лучей не попадет на второе зеркало (рис. 92), и потеря энергиипри одном отражении составит WL6/D. За время dt потеря

Добротность за счет излучения:

D2LJ2

с2 '

Если потери в зеркалах и на излучение малы, они складываются. Полная добротность Q определяется по формуле

1 =J- +J-

Q Qi Q2

При указанных в условии задачи значениях параметров:

Qi«4-105 ; Q 2 « 4 - 1 0 8 > Q i ; Q и Qi и 4 • 105.