Батыгин&co
.pdf584 |
ГлаваXII |
Из последней формулы видно, чтоэнергия свободного электромагнитного поля представляется в виде суммы энергий осцилляторов поля, имеющих в точности такой же вид, как в случае механической колебательной системы:
W =J ^Wbxidk), |
(9) |
где WkA = £(<&+<*2<ЙА)-
Вычисление импульса поля G дает:
Импульс отдельного осциллятора GkA связан с егоэнергией формулой
G k A = ^
Такой же формулой выражается связь энергии с импульсом в случае частиц, движущихся соскоростью света в направлении к (фотоны!).
819. Записав уравнения, приведенные в решении задачи 807, и умножая их наек Л ,получим дляпоперечной части потенциала Ак(£):
qkx(t)+ijiqkx(t)=Fkx(t), |
(1) |
где |
|
i k ( ) |
(2) |
а го(£) — радиус-вектор частицы в момент времени t, v — еескорость в этот же момент времени. В нерелятивистском случае
mr 0 = F + еЕ(г0 ), |
(3) |
где т —масса частицы, F — действующая на частицу сила неэлектромагнитного происхождения,
Е(г0 ) = 1— [ ekA<jkAeik-ro ( Л ) |
(4) |
7TV2 J |
|
— напряженность поля излучения втой точке, гденаходится частица. Мы не учитываем силу, действующую на частицу состороны магнитного поля, так как предполагается, что ! ) < с . Уравнение (1) представляет собой уравнение вынужденных колебаний осциллятора под действием внешней силы Fk\(i). Движение частицы и электромагнитного поля, взаимодействующих между собой, описывается системой уравнений (1), (3).
§4. Разложение электромагнитного поля на плоские волны |
585 |
820.Изменение энергии одного осциллятора:
Скорость изменения энергии поля:
821.Сила Fkx(t) в данном случае принимает вид
где |
|
6kA = —^=(vo • е |
к Л ) , v 0 = |
7Г\/2 |
|
(для простоты рассматриваем линейно поляризованные осцилляторы поля, так что орты вкА — вещественны). Интегрируя уравнение (1) задачи 819, получаем
Я** = , к А ,(coso;o* - coswkt),
если в начальный момент времени t = 0 осцилляторы поля не были возбуждены. Это значение дьА подставим в выражение для скорости изменения
энергии поля излучения |
к Л , найденное в задаче 820: |
at UJ£ - и%
Интегрируя последнее выражение по t от 0 до t, получим количество энергии, переданное частицей за время t осциллятору поля (к, Л):
dt |
u?-uZ\ 2 |
Wk+wo |
| |
|
o ; k
2 Wk-^o 4 ^o J'
~~2
586 |
Глава XII |
При u>k = UJQ и t |
—>оо второй член в скобках очень велик по сравнению |
с первым и третьим членами. Возбуждение осцилляторов происходит, следовательно, резонансным образом: в первую очередь возбуждаются те осцилляторы поля, частота которых близка к частоте вынуждающей силы Fk\. Оставим поэтому только резонансный член и просуммируем энергии, полученные осцилляторами поля, у которых частоты не сильно отличаются от и>о, направление к заключено внутри телесного угла d£l, а орт поляризации eki (еьг) имеет одно и то же направление:
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= У w |
=Д1 |
У "^ |
|
c s ( |
f c |
|
o)t |
**• |
|||
dW |
Л |
• * |
° |
" |
" |
o ) t |
||||||
|
kX= |
2с3 J |
|
" °c |
|
"s ( |
"f c" |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подынтегральная функция в последнем выражении имеет резкий максимум при и>к = UIQ. Этот максимум тем уже, чем больше t. При достаточно
больших t можно вынести плавно меняющийся множитель > |
— , |
за |
Y |
Wk+Wo |
|
знак интеграла, положив в нем и>к = и>0. В оставшемся интеграле можно устремить 6 к оо. Тогда он примет вид (см. приложение 1):
1оо 1 — cos at da = nt, t —*оо.
Мы получим, таким образом:
dW
2с3
Отсюда для интенсивности излучения в данном направлении находим хорошо известный результат:
~ d T = l d W = |
2 |
g 2 2 ? |
|
du |
t du |
47ГС3 |
' |
где через v2 = -у обозначена средняя скорость колеблющейся частицы,
через •& — угол между направлением vo и направлением к. При выводе последней формулы мы воспользовались легко получаемым соотношением
(v0 • e k i ) 2 + (v0 • e k 2 ) 2 = и2, sin2 д.
§4. Разложение электромагнитного поляна плоские волны |
587 |
Интегрированием по углам находим полную интенсивность излучения
823*. Будем приближенно решать систему уравнений (1) и (3) задачи 819. Пренебрегая реакцией излучения, подставим в уравнение (3) напряженность поля Е = Ео cos u)t падающей волны. Его решение, соответствующее вынужденным колебаниям, имеет вид:
r(t) = |
^ Е Р 4 |
то |
WQ - or |
Движение частицы под действием падающей волны будет возбуждать осцилляторы поля излучения согласно уравнению (1) задачи 819, в котором нужно силу Fk\ выразить через r(i):
е2ш вкл •ЕЕо оs
ТП7Г\/2 smut.
Орты поляризации выбраны вещественными. Решая уравнения (1) задачи 819 с начальным условием <7кл(0) = 0, получим:
и\ |
е2 |
w ( E o |
екл) |
/ . . |
• |
.ч |
qk\(t) = |
|
-=• — 2 |
^—~2 |
2 T ( s i n w f |
- |
sinukt). |
Поступая далее так же, как в задаче 821, найдем интенсивность излу-
чения в направлении к с поляризацией, характеризуемой ортом |
|
||||
|
dWkX |
e4 |
^ ( E 0 e k A |
) |
|
|
_ |
|
( w 2 ^ ) 2 |
' |
l ^ |
dU |
t dU |
|
|
|
|
Из (2) видно, что рассеянное излучение линейно поляризовано в плоскости, проходящей через Ео и к. Вводя угол fl между векторами Ео и к, получим:
da |
= |
SjLdL |
= |
( е2 \* |
и* |
{ Ч |
|
du |
|
cE%du |
|
Ime2/ |
(wg-w2)2 |
|
' |
что находится в полном согласии с результатом задачи 799. Интегрированием по углам находим полное сечение рассеяния:
= Ъ*(е2\2 |
и4 |
3 \тс*) |
{и2-и2)2' |
ГЛАВА XIII
ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ
ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
СВЕЩЕСТВОМ
826.Разложив векторы поля в интеграл Фурье по координатам и вре-
мени:
E(R,, t)= f 8{Y, w)ei<k'R--'*> (dk) dw...,
получим из уравнений Максвелла систему алгебраических уравнений относительно амплитуд Фурье:
хп х |
£n • v - l), |
(1)
fn. v - l),
здесь Ji?(k, w) — амплитуда Фурье магнитного поля, к = ^fxn, x — параметр, выражающийся через ш и k, n - единичный вектор. При выводе (1) нужно учесть, что амплитуда Фурье функции J(R—vf) равна - Ц J(k-v—ш)
и что (J(ax) = тЦй(ж). Из системы (1) определяются 8 и Ж:
И
Излучение при взаимодействии заряженных частиц с веществом |
589 |
Для определения полей нужно произвести обратное преобразование Фурье. Начнем с вычисления EZ(R, t). Как следует из (2):
поэтому |
|
|
|
2тгсг У |
J |
J e(xr - е) |
|
—оо |
О |
|
|
х exp<z^rx[rsin0cos^ |
— у) — zcosfl] >6(0yccose — l)siпвdвdФ. |
(3) |
|
Здесь через г обозначена составляющая R в плоскости ху, <р —угол между г и осью х, (3 = ^,6 иФ — полярные углы п.
Интеграл по Ф выражается через функцию Бесселя Jol^xrsinfl)
(см. П 3.11).
Интеграл по в имеет вид:
I /(в)6(13х cos 0 - 1) sin в dO = - ^ |
/" <^(у)5(у - 1) dy. |
(4) |
О |
-0х |
|
Он отличен от нуля только в случае, если (ЗУС ^ 1, поэтому нижний предел изменения х равен 1//3. В формуле (3) это учитывается автоматически, вследствие наличия ^-функции, но после интегрирования по у ^-функция исчезнет, и нужно будет учесть нижний предел интегрирования в явном виде.
Интегрируя (4) по у, получим
(5)
Подставим (5) в (3) и введем вместо УС переменную х = .1УС2 —=^;
поскольку УС меняется в пределах от 1/(3до оо, х будет меняться от 0 до оо. Тогда Ez{R,t) запишется в виде:
•ЧНxdx