Батыгин&co
.pdf570 |
ГлаваXII |
789. Отбросим члены порядка | и выше, и рассмотрим действие некоторого элемента de\ на другой элемент de-i- Кулонова часть электрического поля сферически симметрична и не дает вклада в силу самодействия; квазистационарное магнитное поле тоже не дает вклада. Таким образом, достаточно рассмотреть только ту часть напряженности <Ж электрического поля элемента de\, которая зависит от ускорения. На элемент de-i действует сила
dF = -de2dE= ^^l[i, |
_ Г о ( Г о . v)], |
где го = £, г — радиус-вектор, направленный от элемента de\ к элементу de2- На частицу в целом действует сила
где Wo = я / % е 2 — энергия электромагнитного поля покоящейся частицы; множитель 4/3 получается при интегрировании по направлениям го.
Определив массу покоя частицы как тп'о= — ^ (см. задачу 787), получим
Зс
для силы самодействия выражение:
F = - m o v .
Таким образом, сила самодействия частицы, если пренебречь запаздыванием, совпадает с силой инерции.
790.Сила, действующая на элемент заряда de2 со стороны элемен-
та de\, определяется ускорением v последнего в момент времени t':
|
с
Разлагая ускорение v по степеням tf — t = — £, получим: v(f) = v(t) + (f - t)v(t) = v(t) - ^v(t).
Интегрирование по элементам de\, de? даст (см. предыдущую задачу) искомую силу самодействия:
§ 3. Взаимодействие заряженных частиц с излучением |
571 |
Второй член в правой части представляет собой силу лучистого трения. Он не зависит от структуры частицы и в предельном случае точечной частицы не изменяет своего вида. Собственная энергия Wo и, следовательно, электромагнитная масса т о в этом предельном случае обращаются в бесконечность. Неучтенные члены порядка (£' — t)n, где п > 2, очевидно, пропорциональны r j " 1 (го — радиус частицы) и в пределе точечной частицы исчезают.
791. Т = т2с]а° и Ю-1 1 сек. 4е4
Сделанные предположения о характере движения электрона выполняются, если потеря энергии за период т обращения по орбите мала по сравне-
нию с полной энергией электрона, т. е.т dt |
, откуда а± » |
г0 |
= |
v |
|
тс2 |
(го — классический радиус электрона). Это условие начинает нарушаться только на очень малых расстояниях порядка 10~1 3 см, на которых вообще неприменима классическая электродинамика, так как она в этой области внутренне противоречива (см. [65] § 75).
Следовательно, результат задачи — очень малое время жизни атома — определенно указывает на неправильность классических представлений о движении электрона в атоме (представление о траектории и т.п.). В процессе преодоления этой и других фундаментальных трудностей классической физики и была создана квантовая механика.
792. S{t) = тс2 cth \^^t |
t |
+±In |
|
i |
I3m3c35 |
5 |
2 |
2 |
\ |
I3m c |
|
2 |
go-mc |
При t —• oo, S(t) —*тс2, т. е. частица останавливается. Радиус орбиты можно выразить через S(t) по формуле
При t —» oo, r(t) —» 0, т.е. частица движется по закручивающейся спирали.
794. Уравнение движения гармонического осциллятора при учете силы лучистого трения имеет вид
§ 3. Взаимодействие заряженных частиц с излучением |
573 |
+ОО
где /о = / с11ш — полная интенсивность излучения. Спектральное распре-
—оо
деление (6) имеет характер резонансной кривой (рис. 130).
Рис. 130
Ширина спектральной линии характеризуется величиной Аи> = 7- Естественная ширина линии очень мала (на графике длин волн она
равнялась бы ДА = Д ^ р = ^ г 0 = 1,17 •К Г 1 2 с м)) .
Если считать, что излучение происходит не непрерывно, а дискретными порциями (это предположение, очевидно, выходит за рамки классической электродинамики), то неопределенность энергии фотонов AS = HACJ = fly
связана со временем жизни возбужденного состояния т = i- соотношением
AS • т = П. |
(7) |
Это — частный случай весьма общего квантовомеханического соотношения неопределенности для энергии-времени.
795. ^ = 10е |
, где 7д = |
— допплерова ширина |
спектральной линии, а через /о обозначена интенсивность при и> = и>0. Ширина линии зависит от температуры и может служить мерой температуры газа.
576 |
Глава XII |
|
В случае сильно связанного электрона, когда и>0> |
со, |
|
|
8тг г о ^ 4 |
|
Характерна зависимость сечения от частоты: а ~ |
to4. |
|
В случае слабо |
связанного электрона при малом лучистом тре- |
|
нии 7 ~ 0, too ~ 0 и |
|
|
800. Н = — ^ Н - ( е а cost? - ге^)е~*(а;*'~а), где •&, а — полярные углы
тс г
направления п распространения рассеянной волны (направление распространения падающей волны вдоль оси z), A — амплитуда падающей волны.
Из выражения Н видно, что рассеянная волна оказывается, вообще говоря, эллиптически поляризованной. Волны, рассеянные вперед и назад, поляризованы по кругу. Волна, рассеянная в плоскости ху, поляризована линейно. Дифференциальное и полное сечения рассеяния
da _ _2 (l + cos2 #) |
_ 8ж 2 |
801.p = cos2tf.
802.В случае линейно поляризованной волны:
- (1 -р)sin2*cos2a],
(1 — pcosu)
где 1?, а — полярные углы направления распространения рассеянной волны, ось z параллельна скорости v заряда, (3 = ^, азимутальный угол а отсчитывается от направления вектора Б в падающей волне.
В случае неполяризованной волны:
§ 4. Разложение электромагнитного полянаплоские волны |
577 |
803. Решая уравнение движения осциллятора в магнитном поле Н || z так, какэтоделалось в задаче 695,получимпри
г = Ai(ex + геу)е-«ш°-ш^1 +А2(ех - геу
где Al, А2, Аз —постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.
Из выражения г видно, чтоосциллятор, помещенный в магнитное поле, становится анизотропным, частота его колебаний расщепляется на 3 частоты: шо и шо± шь- Принаблюдении излучения в любом направлении поляризация каждой из монохроматических компонент оказывается, вообще говоря, эллиптической. В частности, вдоль оси z (вдоль поля Н) наблюдаются две спектральные линии, поляризованные по кругу в противоположные стороны. В перпендикулярном к полю направлении наблюдаются все три монохроматические компоненты, поляризованные линейно. Приэтом вектор электрического поля несмещенной спектральной линии колеблется в направлении магнитного поля, вектора же электрического поля у обеих смещенных линий колеблются в перпендикулярном направлении.
§ 4. Разложение электромагнитного поля на плоские волны
805.
Еы(г) = - g r a d e r ) + Г^ Нш(г) =rot Аш(г),
Нк («) =гк х Ак(«),
=гк х
806.а) Г(ЛЕЫ = ^ ^ Н ы ,
rot Н ы = - ^ Е ы + 4£jw , |
div fiHw = 0; |
б) гк х Е к = — £ В к , гк• D k = |
|
гк х Н к = i D k + ^Ljk, |
к • В к =0; |
§ 4. Разложение электромагнитного поляна плоские волны |
579 |
Можно получить тот же результат и другим способом. Применяя к обеим частям равенства у?(г) = J tpketk'r(dk) оператор Лапласа Д, получим
С другой стороны, выражение компоненты Фурье (Ду)к = — ^ мож-
27Г
но получить, взяв компоненту Фурье от обеих частей уравнения Пуассона Aip = —4ne5(r). Приравнивая эти два выражения для (Ду)к. получим для <рк прежний результат.
809. Е к = -iky>k = - ^
810. Так как объемная плотность р(г, t) = eJ(r —vf), то
«(г - vt)e-i(-k-r
(27Г)4
+оо
—оо
Отсюда с помощью результатов предыдущей задачи находим
_е_ 5(к-\-ш)
' 2тг2 ' , 2 _ и?_ ' с2
Таким же образом можно получить, что
e v |
<S(k • v — и>) |
27Г2С |
k2 - — |
Используя выражения компонент напряженностей поля (см. решение задачи 805), получим:
|
. е |
5(к • v —а |
k w |
27Г2 |
, 2 _ а^. |
|
|
с2 |
РJ(k • v - w)
H k w = ik x Ak w = i - V ( k x v)- ,2 w2