Батыгин&co
.pdf602 |
Глава XIII |
изображением. Интенсивность излучения с частотой и> в телесный угол du определяем по формуле
eV OdU
В нерелятивистском пределе (/? -С 1) формула (7) дает дипольное излучение:
dl(CJ, в) = ^£ sin2 в du, |
(8) |
интенсивность которого пропорциональна квадрату скорости частицы. Отметим, что интенсивность излучения не зависит от массы частицы.
Интегралы от (7) и (8) по CJ, дающие угловое распределение полного излучения (со всеми частотами), будут расходящимися. Это обусловлено тем, что металл считался идеально проводящим. В действительности, уже в инфракрасной области спектра металл нельзя считать идеально проводящим, так что при высоких частотах результаты (7) и (8) неверны.
Спектральное распределение полного излучения получится интегрированием (7) по верхней полусфере:
4 e V / 3 / 9 2 - 1 , |
1 / 3 |
В ультрарелятивистском пределе, когда полная энергия частицы § много больше энергии покоя тс2, формула (9) дает
тгс
Интенсивность излучения растет логарифмически с ростом энергии.
В нерелятивистском пределе выражение в скобках обращается в единицу:
841. Компонента Фурье вектора поляризации имеет вид
Определим сначала поле в точке А от осцилляторов, находящихся в области z > 0 (рис. 133). Достаточно рассмотреть осцилляторы, лежащие вблизи
Излучение при взаимодействии заряженных частиц с веществом |
603 |
точки z = 0, таккак только они создают поле излучения (см. предыдущую задачу).
При использовании теоремы взаимности выберем осциллятор рв на оси z вблизи z = 0 (точка В), а осциллятор рл в точке А, поле в которой мы должны определить. Пусть оба они одинаковы поабсолютной величине
РА
У///////////////////////////.
Рис. 133
и направлены вдоль z, а расстояние между ними велико по сравнению с длиной волны. Осциллятор рв создает в точке А поле, амплитуда Е + которого составляет с осью z угол, приближенно равный ^ —в (см. рис. 133). Волны
из А в В приходят двумя путями: непосредственно и после отражения от границы диэлектрика. Соответствующие амплитуды обозначены на рисунке через Е' и Е". Онисоставляют с Oz такие же углы ^ — i?' и ^ — в.
Поэтому потеореме взаимности имеем Е + = Е' + Е" или, учитывая, что |
||
в волновой зоне осциллятора Н = п х Е, получаем Н + |
= —Н' — Н " (все |
|
три вектора Н + , Н',Н " перпендикулярны плоскости AOz). |
||
Волна, приходящая из А в В непосредственно, создает поле |
||
dH' = |
,2eikR |
|
| — Рш sine dz. |
(2) |
|
|
c2R |
|
604 |
Глава XIII |
Амплитуду отраженной волны можно определить с помощью формул Френеля, так как расстояние АС велико и волна, испускаемая из точки А, может рассматриваться вблизи точки С как плоская. С помощью формул (VIII.20), учитывая изменение фазы волны и то, что д' и в, получим
|
2 f |
ikR' |
|
dH" = |
\ |
, Рш sin в dz, |
(3) |
где |
|
|
|
_ |
У |
тУ |
А/*1!! |
— |
|
, Л — |
AL/D. |
еcosв + ye — sin2 в
То поле Н + , которое создается в точке А всеми осцилляторами, находящимися в области z > 0, получится интегрированием суммы —(dH' + dH") по z от 0 до оо. Интегрирование проводится точно так же, как в предыдущей задаче. Результат имеет вид
ev ( |
1 |
| |
f |
\ sin6>eifcr |
,^ |
|
|
|
1 —PcosOJ |
r |
|
Эту формулу легко понять путем сравнения с аналогичной формулой (6) предыдущей задачи. Первый член описывает поле частицы, движущейся в вакууме и внезапно останавливающейся в точке z = 0; второй — поле изображения (—е/), движущегося в диэлектрике навстречу частице и также останавливающегося в точке z = 0. В отличие от случая идеального проводника, изображение слабее в / раз, его величина зависит от частоты и рассматриваемой гармоники (через е(и>)) и от положения точки наблюдения (через угол в).
Поле Н_ от диполей, лежащих при z < 0, определяем таким же путем. Волна придет из А в В, преломившись на границе раздела. Используя снова формулы Френеля, получим
dH- = |
^ - ( 1 + f)Pu sintfV* dz. |
(5) |
Здесь R" = V + I" — длина ломаной линии АС В' (см. рис. 133). Фаза <р учитывает запаздывание:
Излучение при взаимодействии заряженных частиц с веществом |
60S |
При \z\ « г (2 < О) имеем V = г + ztgtf"sin0,1" = 2__. Учитывая
COSW
закон преломления sin -в" = 8 1 "У и заменяя $' иа в, находим
/е
Проинтегрировав (5) от -оо до 0, получим поле от диполей, лежащих в области z < 0:
Полное поле в точке А равно сумме Н+ + Н-. Интенсивность излучения с частотой и) в телесный угол dd:
dl(w,0) = -^^ А2 (ш,в) sin2 в dil,
Величина А зависит от частоты через е(ш).
В нерелятивистском пределе /3 <С 1 получаем
(8)
608 |
Глава XIV |
848.si >%[нЩп.
849.R: = i - н/нт.
850. r = /
где го — расстояние ведущего центра до оси ловушки в поле Но, г — расстояние после изменения поля до величины Н. Возрастание поля вызывает сжатие плазмы к оси ловушки.
851.Ведущий центр перейдет на силовую линию г = 1,<р =
852.Ведущий центр протона движется равномерно по окружности радиуса г = 2г» лежащей в плоскости экватора, с угловой скоростью
где 7 — гравитационная постоянная; R > 226 км, Т и 14,9 сек.
853. а) Из |
уравнения (XTV.1), вычисляя произведения [h x Vff] |
и [h х (h • V)h] |
для поля магнитного диполя, находим, что движение по- |
перек магнитных силовых линий сводится к азимутальному дрейфу, при котором расстояние до центра Земли и широтный угол не меняются. Кроме того, ведущий центр движется вдоль силовой линии, уравнение которой имеет вид
г = го cos2 A, |
(1) |
где го расстояние в экваториальной плоскости от силовой линии до центра. При этом энергия частицы остается постоянной вследствие пренебрежения гравитационным полем.
Используя известные выражения для напряженности поля магнитного диполя, а также уравнения (XTV.1), (1) и (XTV.5), находим угловую скорость азимутального дрейфа.
(vd)tt |
Зсртго sin2 a |
1 + sin2 A |
cos3A(3sin2A +f 1l)
rv> спя3 |
ЛЛЧ i n 3 |
Л — |
1 |
|
cpvr0 |
cos3 |
A(3 sin |
A - |
1) |
^ |
(3sin2 A |
|
(2) |
|
|
|
|||
Здесь р и v — импульс и скорость протона.