Батыгин&co
.pdf490 |
Главах |
В случае Е > Н имеем: |
|
у = с |
Е = |
Е
В любой системе S", движущейся вдоль Б' с произвольной скоростью, магнитное поле также будет отсутствовать.
В случае Е < Н
v _ |
HxE |
„, _ H |
~c |
H2 ' |
~н |
606. При x < JIс в системе отсчета, движущейся со скоростью V = = с2х/^ параллельно оси цилиндра в направлении вектора Е х Н, электрическое поле Е' = 0, а магнитное поле Н' = =£г \11 —с *\ .
При х > J/с в системе отсчета, движущейся со скоростью V = J/х параллельно оси цилиндра в направлении Е х Н , Я ' = 0 и £ ' = y ( l -
« 2 N.1/2
При х = $ /с не существует такой системы отсчета, в которой имелось бы только электрическое или только магнитное поле. Как видно из приведенных формул, при х —» J?/с скорость такой системы отсчета стремилась бы к с, а величины обоих полей — к нулю.
607. а) В фиксированный момент времени (dt = 0) получаем уравнения dr х Н = 0, Е • dr = 0. Первое из них показывает, что dr \\ Н, т.е. dr является элементом магнитной силовой линии. Систему (2) можно записать в виде Fik dxk = 0, откуда следует ее релятивистская инвариантность. Здесь Fik —тензор поля, dxk —приращения координат.
б) Условие совместности системы имеет видЕ-Н = 0. Онорелятивистски инвариантно и показывает, чторелятивистски инвариантные магнитные силовые линии можно ввести только для взаимно перпендикулярных электрического и магнитного полей.
в) Условие интегрируемости системы имеет вид
^ j _ E d i v H = 0,
или в ковариантной записи, FikekimndFя т п = 0, и всегда удовлетворяется
OXi
в силу уравнений Максвелла.
§3. Релятивистская электродинамика |
491 |
г) Записав уравнения (2) в виде (Е ± Н):
Н(Н • dr) |
E x H , |
xi2 |
xi2 ' |
убеждаемся в справедливости сделанного в условии задачи утверждения г).
608. В трехмерной записи система, приведенная в условии задачи, принимает вид
dr х Е - сН dt = 0, Н • dr = 0,
откуда следует, что в любой фиксированный момент времени (dt = 0) выполняется условие параллельности dr х Е = 0 приращения dr и электрического вектора Е. Уравнения совместны при Е • Н = 0 и интегрируемы при
•-^\ -HdivE =0.
с at i
Последнее уравнение накладывает нараспределение зарядов и токов условие вида
Е х j + сНр = 0.
Если перечисленные условия не выполняются, то инвариантных силовых линий электрического поля ввести не удается. Силовые линии движутся
поперек своего направления соскоростью и = — с — ^ — .
Б
610. ip = -^, А = е t , |
|
|
w e R |
e R ( l - V 2 / c 2 ) |
„ v „ |
где R* = \/{x — vt)2 |
+ (1—02)(y2 + z2), (vt,0,0) — координаты движу- |
|
щегося заряда в момент t, R(x —vt, y, z) — радиус-вектор отзаряда в точку наблюдения в момент t, fl — угол между R и v.
611. Из формул предыдущей задачи следует, чтовдоль линии движения заряда (тд = 0,тг) поле Е ослаблено посравнению с кулоновым Е^ = = e/R2 в 1 — V2/c2 раз, а в перпендикулярном направлении (•в = 7г/2)
поле Е усилено в — раз. При V ~ с поле велико только в узком
у/\ - V2/c2
интервале углов Ад ~ у/1— V2/c2 вблизи экваториальной плоскости.
492 |
ГлаваХ |
Условие Е\\ = Ей относится к одним и тем же точкам 4-простран- ства. Но если в системе покоя заряда какая-то точка А находится на оси х на расстоянии R от заряда, то в лабораторной системе та же точка будет находиться от него на расстоянии Д\/1 —/З2.Сравнивая значения Е\\в точке Ry/i —/З2 и Е'у, в точке R, получим
как и должно быть. |
|
612. if = РОТ' |
Н = 2 х Е, |
-,„•3 |
|
где R = (х — vt,y,z), |
г* = (х — vt, i-y, kz\, диполь движется по оси х, |
находясь в момент времени t в точке с радиусом-вектором Vt.
613.
где р' и tn' — дипольные моменты в системе покоя.
614. Используя формулы преобразования четырехмерной плотности тока, найдем, что стороны 2 и 4 прямоугольника (рис. 102) не заряжены,
|
а стороны |
1 и 3 несут заряды q\ = |
||
У |
=q3 |
= |
^ ^ m e J ' |
|
|
стеме 5', связанной с петлей. Отсюда |
|||
|
(или из результата задачи 613) следует, |
|||
|
что электрический дипольный момент |
|||
|
петли, наблюдаемый в 5', равен р = |
|||
О |
= 9 3 6 |
= ^ ш ' , где ш ' = ^ |
- маг- |
|
|
нитный момент петли, наблюдаемый |
|||
Рис. 102 |
в системе 5'. |
|
§ 3. Релятивистскаяэлектродинамика |
493 |
615. Пусть щ — четырехмерная скорость среды. Составим 4-инвари- ант (см. формулу (Х.37)):
fiUi = 7 (f • V) - 7 ( Q + f • V) = - 7 Q = inv.
Если обозначить через QQ количество тепла, выделяемого в единице обьема среды в единицу времени в той системе, где среда покоится,то Q =
616. и |
=7 |
2 (и/+Щs'x+02тхх), |
sx |
=7 |
2 [а+/?2 )s;+VJ+VTXX] , |
|||
sy =i{s'y |
+vrxy), sz |
=7(5; +VTXZ), |
тхх |
= |
|
|||
|
|
rp |
rpt |
rp |
rpt |
|
rp |
rpt |
|
|
УУ |
— yy> |
Vz — |
yz) |
|
•*• zz |
— •*• zz"> |
617.Тц = О.
618.Импульс и энергию поля в объеме V в момент t = -А можно
выразить интегралами / То |
а dS и / Too dS соответственно, где dS — эле- |
|
мент гиперповерхности хо |
= const (очевидно, dS = dV). Аналогичными |
|
интегралами выражаются импульс и энер- |
|
|
гия поля в момент t' = ^-. |
Введем про- |
= const |
|
||
извольный вспомогательный постоянный |
|
|
4-вектор пг и составим сумму Тога*. Рас- |
|
|
смотрим далее 4-объем £2, ограниченный |
|
|
цилиндрической гиперповерхностью S, |
|
|
образующая которой параллельна оси од, |
|
|
и двумя гиперплоскостями: хо = const |
|
|
и x'Q = const (рис. 103). |
|
|
Применим 4-теорему Гаусса к инте- |
|
|
гралу по этой гиперповерхности от функ- |
|
|
ции |
|
|
I TOiai dS= f |
= 0, |
Рис. 103 |
|
|
y
так как -^-^ = 0 при отсутствии зарядов. На цилиндрической гиперповерхности То» = 0, поскольку на границах обьема V системы поле отсутствует.
496 ГлаваХ
Введем антисимметричный по значкам а, /3 тензор 91а/з7 = хрТа1 —
— хаТ/зу. Этот тензор должен быть интерпретирован как плотность потока
момента импульса, что ясно из формулы (1). Компонента Жа0~/ равна ко-
личеству а/3-компоненты полного момента импульса Ка@, протекающему в единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярной к оси х7 .
Подобно тому, как вместо Кар можно ввести псевдовектор момента К, можно ввести также псевдовектор, эквивалентный 9la 07 n7 . Тогда равенство (1) принимает вид:
_Ж= |
[ftdf, |
(2) |
at |
J |
|
x n) - -jM(r x E)(n • E) + (r x H)(n • H)]. (3)
При выводе (3) использовано выражение (Х.29) для компонент Тар.
498 |
Глава XI |
626. а) и = 3,42-КГ2 с; б) v = 0,9999985с; в) 0,81 с; г) 0,9956с.
627. F = ^у/Т(Т + 2mc2), W = f Г.
^ — 2mv2N 1 - v /с
Давление имеет одинаковое значение в системе, связанной с телом, и в системе, связанной с газом. В этом можно убедиться какпутем прямого вычисления давления в каждой из этих систем отсчета, так и произведя преобразование Лоренца для четырехмерной силы (см.(XI. 18)).
629. Длина п-тл трубки
2v 2iv у \nVee + mci^
где vn — скорость частицы в тг-й трубке. В начале ускорения тс2 3> neVe
и ! п й ^ - у -^г^ • у/п. В ультрарелятивистском пределе Тп » mc22, v и с
и Г ~ с
Оценим длину ускорителя:
ЛГ
e + me2 )2 |
- m 2 ^ - me2 arccos |
2i/eVe L |
iVeVe +mc2 |
630. Отношение интенсивностей
(т = |
r ° — — период полураспада ^-мезона, движущегося со скоро- |
^у/1 - V2/c2
стью г;J. Если бы релятивистское преобразование времени не имело места,
мы получили бы для отношения интенсивностей (считая, что скорость мезонов равна с): f