Батыгин&co

При т\ = 7П2 скорости v[ = v'2 = V и

Вэтом случае х < 90°. В нерелятивистском пределе \ —* 90°.

664.Поступая так же, как при решении задачи 657, получим:

wo

ш =

где i9 — угол между направлениями движения первичного и рассеянного фотонов»; д\ — угол между направлениями начального движения электрона и движения фотона после рассеяния.

углов те же, что в задаче 664. Покоившийся вначале электрон при столкновении с фотоном всегда увеличивает свою энергию:

тс2 + fkj(l — cosi?)

Если электрон обладает до рассеяния импульсом ра » huj/c, то его энергия увеличивается при рассеянии, если t?o < i?i, и уменьшается в противном случае. Максимальное ускорение электрона получится при $о = 0. *? = = 1?2 = 7г. При этом

g -gQ =

+ Рос +

Если электрон нерелятивистский, но рос » ftu>o, то § — SQ 2hu)o(vo/c) <?C <?С hu>o- Если электрон ультрарелятивистский, то S — <§b fi и условия ускорения электрона оптимальны.

Рис. 108

667. s = 4(m2 + g2 ), t = -2g2 (l - costf), и = -2g2 (l + costf).

где

А(ж,у, z) = х2 + у2 + z2 - 2ху - 2xz - 2yz.

Поскольку в системе ц.и. р а = —рь, то величина s имеет смысл квадрата полной энергии в этой системе отсчета:

669. gc = JL-

Здесь с = 1,л величина Л определена в ответе к задаче 668.

- 1

- 1

Рис. 109

671. Величина s = (§'ж + <§£) имеет смысл квадрата полной энергии двух частиц в системе ц.и., поэтому она всегда положительна. Минимальное значение smin = (m + М)2 соответствует случаю, когда 7г-мезон (масса т ) и протон (масса М) покоятся в системе ц.и.Таким образом, ( т + + М ) 2 < s < оо.

и представляет собой гиперболу с асимптотами t = 0 и и = 0 (рис. 112).

В случае канала а) полагаем pai = (Sa, -Ра), Ры = (-&с, -Рс). Ры = = (<§&,Рь), Pdi = {@d,Pd)- Физическая область ограничена прямой s = О и гиперболой

s = -t - ( М 2 ~ Ш 2 ) 2 + 2(М2 + m2 ), f > ( M + m)2 ,

которая является второй ветвью гиперболы (3).

Аналогично строится физическая область для канала б). Как видно из изложенного, полученная диаграмма очень похожа на диаграмму Далица для трехчастичного распада (см. задачу 646)

Сходство обусловлено тем, что в обоих случаях в процессе участвуют 4 частицы, 4-импульсы которых в силу закона сохранения связаны усло-

вием pai + ры + ры + Pdi = 0- Из 4-импульсов частиц с учетом того, что при заданных массах всех частиц m2 = p2li и т.д., как нетрудно убедиться, можно составить только 2 независимых инварианта, например s = (pai + + Pd)2. Поэтому для изображения таких процессов требуется двумерное пространство (кинематическая плоскость).

675. Если частица, двигавшаяся с 4-импульсом рог, испустила в среде фотон с 4-импульсом ki = ( ^ p ) i ^ f ) . то законы сохранения энергии и импульса могут быть выражены 4-мерным равенством

Poi=Pi+ku

где pi — 4-импульс частицы после излучения фотона. Перенесем ki налево и возведем обе части получившегося равенства в квадрат. После элементарных преобразований получим

где Л = ^ — комптонова длина волны частицы, А = =^ — длина волны

фотона, Р =%•Второй член, равный по порядку величины ^, обычно очень

мал. Если опустить этот член, выражающий квантовые поправки (Л пропорциональна К), то выражение (1) сведется к классическому условию излучения Вавилова-Черенкова:

cosi? = — .

677. Обозначив через ро* и Pi 4-импульсы частицы до и после излучения, через ki — «4-импульс» фотона, напишем закон сохранения энергии и импульса в виде

POi-ki =Pi.

Возводя обе части этого равенства в квадрат и отбрасывая член с ft2, получим

где т о — масса возбужденной частицы, m — масса частицы в нормальном состоянии.

где 0 = 1

При wo —>0 равенство (1) переходит в условие

возникновения излучения Вавилова-Черенкова. Это излучение не связано, таким образом, с изменением внутреннего состояния частицы.

При UJQ ф 0 перепишем (1) в виде

= 1-п(ш)0сав4

Формулой (2) описывается эффект Допплера в преломляющей среде (ср. с задачей 516). Она применима, если 7i(a>)/3cosi9 < 1 и отличается от соответствующей формулы, описывающей эффект Допплера в вакууме, только наличием п(и>) в знаменателе. При /3 <С 1 никаких качественно новых явлений не возникает, но при /3 « 1 и при наличии дисперсии в среде явление усложняется.

В общем случае формула (2) представляет собой нелинейное уравнение относительно и> (п — функция и>\) и может иметь более чем одно решение. При этом вместо одной смещенной линии, как в обычном эффекте Допплера, в лабораторной системе будет наблюдаться несколько линий (сложный эффект Допплера).

Максимальное значение Ни?достигается при i?i = $2 = 0. Частные случаи:

при §о <С (mc2

[n(wi) - 1],

при SQ ^> (тс2)'2'

Из последнего выражения видно, что жесткий черепковский квант может уносить большую часть первоначальной энергии ультрарелятивистского электрона.

681. Угол рассеяния принимает дискретные значения, определяемые уравнением

2+№-2(qc/e0)

Энергия tkuтормозного кванта принимает дискретные значения прификсированных значениях угла д, так как передаваемый импульс q = 27rfig дискретен.

§ 2. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле

> 7 ^ f h ^ ^