Батыгин&co

где i9, a — полярные углы, характеризующие направление излучения (см. полярные диаграммы на рис. 125). Опережающий осциллятор расположен выше по оси z.

« = *

О,Ро

Рис. 125

750. Так как j = р\ = р^, то (jx,jy,jz) -» (~jx, -jyJz), при этом

отраженные токи вычисляются в отраженных точках: j x (r) = —j'x(r') и т. д. Аналогично, используя обычные определения и формулы (XII.1),

= 0) проводника выполняются — это прямо следует из результатов задачи 750. В частном случае электрического дипольного осциллятора электромагнитное поле в полупространстве z > 0 совпадает с полем электрического дипольного осциллятора с моментом р = 2ezf(t)sin<po. Оно обращается в нуль при ipo = 0 (диполь параллелен плоскости) и максимально при ifo = -Jr (диполь перпендикулярен плоскости). Полная энергия,

излучаемая в последнем случае в полупространство z > 0, вчетверо превышает энергию излучения такого же осциллятора, находящегося вдали от проводящей плоскости.

752.

Ea = —HA = —cost? sin a cos wt', 2c3r

753. б)Яг = 0,

F ^ M F

755.

1=0

dr

dr

Поля Е и Н выражаются отсюда по формулам, полученным в задаче 753. Для нахождения углового распределения излучения нужно воспользоваться асимптотическим выражением сферических функций Ханкеля

Условие Ri = 0 означает, что в правой части этой формулы все величины относятся к точке г' = го и — тП . в которой заряд находился в ретар-

дированный момент времени t' = t — ^. Вычисления в случае векторного потенциала выполняются аналогичным образом.

757.

п=0

в правых частях этих равенств берутся в тот же момент времени, что и влевых. Запаздывающее взаимодействие формально сводится к мгновенному. Полученными разложениями можно пользоваться при достаточно медленном (v <C с) и плавном (ограничены ускорение и его производные всех порядков) движении для не слишком больших R.

760. Прималых v/c формулы (XII.25) принимают вид:

Здесь г — расстояние от какой-либо точки области, в которой происходит движение заряда, до точки наблюдения.

Первые 3 члена в выражении Б и первый член в Н пропорциональны 1/г и преобладают насравнительно малых расстояниях от заряда (в квазистационарной зоне). Электрическое поле в этой зоне сводится в основном к кулонову полю Е = ^| ; магнитное поле описывается формулой Био-Са-

вара Н = e v * г . На больших расстояниях от заряда (в волновой зоне)

сг

доминируют последние члены в Б и Н, убывающие по закону 1/г. Эти

члены описывают поле излучения и имеют вид:

где п = ^.

Положение границы квазистационарной и волновой зон определяется условием

откуда

если учесть, что |v| ~ ^-, где а — величина порядка размера той области, в которой происходит движение заряда.

1.

762. а) Порция энергии —dS, излученная частицей внутри телесного угла dQ за время dt', проходит мимо точки наблюдения поля в течение промежутка времени dt. Следователь-

откуда окончательно

б) энергия, излученная зарядом в течение промежутка времени dt', заключена между двумя сферами. Первая из этих сфер имеет центр в точке О, где заряд находился в момент t', вторая — в точке О', где он находился в момент t/ + dt' (рис. 126). Радиус первой сферы R, радиус второй R + cdt'.

£г\ об 2е

3m2c3

5

где v — скорость частицы в момент t'.

767. Сравним скорость потери энергии частицей в двух системах отсчета: мгновенно сопутствующей So, в которой частица в данный момент времени покоится, и лабораторной S, в которой частица имеет скорость v. В системе So излучение имеет электрический дипольный характер, поэтому частица в So не теряет импульса. Это следует из центральной симметрии углового распределения излучения в этой системе отсчета (или из результата задачи 667).

Рассмотрим количество энергии —d§o, излучаемое частицей за про-

—z. Отсюда получаем для скорости потери энергии:

dt' r/^l-v2/c2

Результат не зависит от v. Это означает, что суммарная по всем направлениям скорость потери энергии во всех системах отсчета одинакова.

Полная интенсивность излучения в момент времени t определяется интегралом от нормальной составляющей вектора Пойнтинга по поверхности сферы радиуса R, с центром в точке, где находилась частица в ре-

556 Глава XII

тардированный момент времени t' = t — ^ . В отличие от инвариантной

величины — =^7, полная интенсивность излучения не обладает простыми at

свойствами релятивистского преобразования при переходе от одной системы отсчета к другой.

768. ^ = - ^Я 2 Д 2 = ff*™2* а ч 6 , где 1? - угол между

направлением скорости v и направлением излучения п, /? = v/c. Угловая диаграмма излучения приведена на рис. 127. Когда скорость v частицы мала, излучение вперед и назад име-

Оет одинаковую интенсивность. Когда v сравнимо с с, преобладает излучение вперед тем в большей степени, чем ближе v к с . Максимум излучения наблюдается

в направлении г90, определяемом уравнением

Рис. 127

= ^ ( v / l + 24/3»-1).

При /3 —у 0 $о —у к/2; при /3 —>1 1?о —у 0. Таким образом, в ультрарелятивистском пределе излучение происходит в основном под малыми

углами к направлению скорости частицы. Полагая $ <£. 1, представим ^-

в виде

dl e2v42

Из этой формулы видно, что ультрарелятивистская частица излучает главным образом внутри конуса с углом раствора гр = ^Щ-.

Полная интенсивность излучения:

Полная скорость потери энергии:

блюдатель, находящийся далеко от электрона, зарегистрирует отдельные импульсы излучения, испущенные в те моменты времени, когда скорость электрона направлена на наблюдателя (в пределах конуса с углом раствора ф и y'l — v2/c2, см. задачу 768). Время между импульсами (рис.128)

г =

где Т = 2п8/есН — период циклотронного вращения, 8 — энергия частицы, v\\ = v cos в — проекция скорости нанаправление поля. Таким образом, вследствие поступательного движения электрона со скоростью иц излучение, испускаемое завремя Т,пройдет через неподвижную сферу завремя т. Отсюда

~ ~dFV ~ 3m2c(l - v При в ^ ф<с 1будем иметь

1 = 2е4 Я2 в2

558 Глава XII

Полярная ось направлена вдоль скорости, азимут а отсчитывается от направления ускорения. Угловое распределение излучения приведено на рис. 129. Излучения не происходит в направлениях, определяемых уравнением 7(1 — § costfj = sini?| cos$|. В частности, при a = 0, тг (рис. 129а),

излучения нет в направлении д = arccos^. При а = ^, Щ- (рис. 1296), интенсивность излучения отлична от 0 при всех д.

где р = %.

Начало отсчета азимутального угла а, входящего в подынтегральное выражение, выбрано так, чтобы направление вектора п характеризовалось полярными углами $, ^. В ультрарелятивистском случае г; и с излучение сосредоточивается вблизи плоскости орбиты в интервале углов Al? « л/1 - 02.

где волновой вектор к = п ^ , начало координат — в центре орбиты, ось z перпендикулярна плоскости орбиты, направление к характеризуется полярными углами fl, тг; До — расстояние от центра орбиты до точки наблюдения.

e/32neikRo

(2)

Поляризация излучения оказывается, вообще говоря, эллиптической, с главными осями в направлениях е а и е^ и отношением полуосей Нп$

и Нпа, равным/3tgi9 " —. Направление обхода эллипса определяет-

Jn{nf)smv)

ся знаком этого отношения. При д = 0 поляризация круговая, при $ = ^ — линейная. При достаточно больших п и /3 линейная поляризация получается также в тех направлениях, которым соответствуют нули или полюсы

функции -у-.

Jn

775. Наличие высших гармоник в спектре поля объясняется тем, что время распространения поля между равными точками орбиты конечно и сравнимо, вообще говоря, с периодом обращения заряда по орбите, если скорость заряда сравнима со скоростью света с. Вследствие этого, время прохождения через точку наблюдения поля, излучаемого частицей в течение полупериода, когда частица приближалась к этой точке, меньше, чем время прохождения через нее поля, излученного в течение второго полупериода. Простой гармонической зависимости координат частицы от времени соответствует, следовательно, некоторая сложная периодическая зависимость поля от времени, изображаемая суперпозицией ряда гармоник Фурье.