520 Глава XI
B)mf =F.
Величины |
„ о / о и |
ш |
иногда называют продольной |
|
|
- v2/c2)3'2 |
( l - ^ 2 / |
|
и поперечной массами соответственно.
где 7 = |
|
|
686. |
F = |
н |
|
|
688. |
|
In г, где в = %,г — расстояние |
|
|
c |
от точки наблюдения до провода.
689.F=^£
Решить задачу можно разными способами:
а) непосредственно вычислить электромагнитную силу, действующую на движущийся точечный заряд со стороны линейного заряда и тока (учесть лоренцово сокращение!);
б) определить силу в той системе отсчета, в которой магнитное поле отсутствует и воспользоваться формулами преобразования 4-силы;
в) воспользоваться конвекционным потенциалом ф, полученным в задаче 668,
F = —e
|
|
2 \ 2 вГ |
|
|
|
690 |
(1 — ^ |
1 -у^-, где г — расстояние электрона от оси пучка, |
|
|
n v |
/ p(r)r |
dr — ток через круг радиуса г, |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
v = (1 + -^т |
) (1 |
+ , |
|
, ) |
чЩяг — скорость электронов (см. |
|
V |
тс |
' \ |
2тс |
' |
» |
задачу 591).
На поверхностный электрон действует сила
1 |
2jUa' |
где о — радиус пучка. |
§ 2. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле 521
691. Ускорение наружного электрона нормально к оси пучка и к скорости электрона, поэтому влабораторной системе отсчета имеем (см. ответы к задачам 684 и 690):
|
|
з |
|
2с* Л г;2\2 |
Vn |
— т Г ~mavy1 |
g) • |
Уширение пучка
Vnt2 VnL2
Согласно условию Да <С L, откуда ^ _ <^ v щщ ynt <^ v <C- Таким образом, применение нерелятивистской формулы для вычисления Да оправдано.
То же значение Да можно получить, рассматривая уширение пучка
всистеме отсчета, движущейся вместе с электронами пучка; в этой системе на электроны действует только электрическая сила.
692.Выберем ось х \\еЕ. Дифференциальные уравнения движения
вчетырехмерной форме имеют в данном случае вид:
dr2 me dr ' dr2 ' dr2 ' dr2 |
me dr' |
Интегрируя эту систему сначальными условиями:
|
x-y-z-ct-U, d T -m , d T - m • |
f- |
= 0, c ^ = ^- при т = 0, где £0 = |
dT |
dT тс |
найдем уравнения траектории частицы вчетырехмерном пространстве:
срох . \е\Ет \е\Е тс
522 |
Глава XI |
Из последнего уравнения находим |
|
рох + \e\Et + |
т = - ^ - In |
|
^Е |
POx+ f |
Используя это выражение и исключая sh и ch из первого и последнего уравнений, получим закон движения в трехмерной форме.
|
рох + \e\Et |
Up |
l n |
ИЕ |
POx+ f |
z(t) = 0. |
|
При po < "ic и ( С - ^ - движение нерелятивистское. Выражения
\e\E
для i, у, г переходят при этом в обычные нерелятивистские формулы равноускоренного движения:
По истечении достаточно большого времени с момента начала движения (t » т^т^т) скорость частицы становится близкой к с (даже если она
\\с\Е/
была мала в начале). При этом
«о—-
v7
и движение становится равномерным. Ход x(t) и y(t) представлен на рис. 11За и 1136 соответственно. Движение, которое получается при роу = 0 (см. рис. 11За), принято называть гиперболическим.
|
§ 2. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле |
523 |
693. |
Траектория |
частицы х, |
|
определяется уравнением: |
|
|
х = |
|
|
|
|
срох |
\е\Е |
|
|
|
У- |
|
Внерелятивистском преде-
ле ёо=тс2, ро^тс и ^ O
Последнее следует из того, У что \е\Ет — приобретенный частицей импульс — должен быть в нерелятивистском случае мал по сравнению с тс. Таким образом,
т\е\Еу* |
|
х = |
6) |
694. 1 =S-еЕmc2 |
Рис. 113 |
' |
695. Направим ось z || H. Будем исходить из дифференциальных уравнений движения в четырехмерной форме1:
Первые два уравнения удобно записать в виде &-Ц |
^ = 0, где и = |
йт |
|
x + iy. Из последнего уравнения получим |
|
,., |
dp |
ev х Н |
|
'Можно исходить также изтрехмерного уравнения — |
= |
, сделав в немзаме- |
о |
dt |
с |
|
ну р = —^ и воспользовавшись тем, что8 = const (магнитное поле иесовершает работы над частицей).
Глава XI
Энергия частицы не зависит от времени, так как силы магнитного поля не совершают работы. Интегрируя уравнения для и и z, отделив действительную и мнимую части и и выразив собственное время г через t, найдем:
х = Ri cos(u>2t + а) Н гц- + хо,
|
|
|
|
у = -R! sin(w2i + а) - - ^ |
+ у0, |
|
|
|
|
Z = |
VOzt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
Из уравнений (1) видно, что части- |
|
|
|
|
ца движется в магнитном поле по вин- |
|
|
|
|
товой линии, навитой на силовые линии |
|
|
cEs |
|
магнитного поля. Радиус этой винтовой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линии равен R = \Ri\, где Ri |
= |
|
|
|
|
Ро± = |
уРох + Pay |
Частота обращения |
|
2/1 |
|
|
равна ш = |и>2|, где w? = ^£ |
(знак за- |
|
Я |
|
ряда может быть отрицательным). Шаг |
|
|
|
|
|
|
|
винтовой линии равен |
|
|
|
|
2cEv |
|
и> |
\e\Hc ' |
|
|
2/1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= POzC |
|
|
|
|
|
|
где vOz |
|
|
|
|
|
|
|
|
Vol. |
|
|
|
e) |
|
Очевидно, что R = -^-, где VQ± = |
|
|
|
|
|
|
|
|
2/i |
|
|
|
— составляющая скорости ча- |
|
|
-» |
стицы, перпендикулярная к полю. При |
|
Y |
Y |
|
|
|
|
\е\Н |
|
|
|
|
малой скорости частицы 8 = тс2 и |
|
|
ж) |
|
|
R = |
и) = тс |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 114 |
|
Угол а определяется уравнениями: |
|
|
|
|
|
§ 2. Движениезаряженныхчастиц в электромагнитном поле |
525 |
696. |
|
|
|
|
х = asincut |
сЕу |
|
|
Н — — |
|
|
|
л |
|
|
у = a(cosujt |
— 1), |
(1) |
|
|
|
z = ^ t 2 + vOzt, |
|
|
cEv |
|
|
где а = |
ш |
|
|
Вдоль оси z происходит равноускоренное движение поддействием |
z-составляющей электрического поля. Движение в плоскости ху представляет собою обращение заряда в однородном магнитном поле по окружности, радиус которой а, а центр равномерно движется («дрейфует») в направлении, перпендикулярном плоскости (Е,Н).
Скорость дрейфа
_ сЕу
Возможные проекции траектории частицы на плоскость приведены на рис. 114. Траектории а), в), д), ж) являются трохоидами общего вида,б),
е) — циклоидами. Движеиие будет нерелятивистским, если vo -С с, -£ -С 1
п
и время t не слишком велико: |
|
|
|
тс |
Н |
*'~ eEz |
|
697. х = ^ sin хНт + ^ |
(cos хНт - 1), |
РОжС / тт , \ |
РОуС |
. тт |
у = — — (cos yenт — \) Л |
ттsinyen т, |
z = -7т(сЬ УСЕТ — 1) + ^ ^ sh УСЕТ, |
ct=p^(chycET-l) |
+ ^ i |
698. а)Пусть электрическое поле Е || у, магнитное поле Н || z (в системе S). В начальный момент t = 0 частица находится в точке х = у = = z = 0 и обладает импульсом ро. Движение имеет различный характер в случаях Е > Н и Н > Е. В первом случае существует, как это следует из вида инвариантов поля Е • Н = О,Е2 — Н2 > 0, такая система
отсчета S", в которой отсутствует магнитное поле. Из преобразований Лоренца для поля видно, что система S" должна двигаться относительно S
параллельно оси х со скоростью V = Щ- (см. задачу 603). Интересующие
нас уравнения движения частицы в S получаются из уравнений движения частицы в однородном электрическом поле Б' с помощью преобразований
|
|
|
Лоренца: х = д |
— и т. д. При этом Е', р'Ох, р'о , p'Oz должны быть |
^/1 — V2/c* |
|
выражены через величины без штрихов. В результате получим: |
Е(ср0хЕ-ё0Н) |
Н(ё0Е-ср0 Я) ^ — ^ |
тс(Е2 - Я2) |
е(Е2 - Я 2 ) 3 / 2 |
} (1)
/Е2 - Я2
m
При Я > Е преобразование от системы отсчета, в которой имеется только магнитное поле, приводит к результатам, отличающимся от (1) только заменой Е на Я .При выполнении такой замены нужно учитывать, что sh га = г sin а, ch га = cos а. Случай Е = Я можно получить из написанных формул предельным переходом Е —> Я . Результат:
и т.д.
Решение для случая б) аналогично решениям задач 692, 695.
|
§ 2. Движение заряженных частиц в электромагнитномполе |
527 |
699. |
Т = тс2 (Ф- — 1J, откуда, например, в случае, рассмотренном |
в задаче 697, получим: |
|
|
Т = &0 ch хЕт + cpoz sh хЕт - me2. |
|
700. |
Исходя из результата задачи 603 и вычисляя ^ с точностью до |
первого порядка по %, получим — = —у. Схема решения — как в зада-
£1 С М
че 600. Во всех вычислениях нужно пренебречь малыми членами второго |
|
|
Е |
Ег |
vo |
и более высоких порядков по -£, |
-£• |
и —. Окончательно найдем: |
|
|
ММ |
|
с |
х = asinutt |
+ -^(coswf — 1) + c~s~ti |
у = a(cosu>t— 1) + -^j- sinwf, |
eEzt2 |
+ vOzt, |
(1) |
z = |
2m |
где |
|
|
|
|
|
|
сЕу |
|
|
a = |
u> |
и |
u>= me |
|
|
|
В начальный момент t |
= 0 частица находится в точке х = у = z = 0. |
Вформулах (1) содержится, в частности, результат задачи 696.
701.Выберем ось х вдоль направления распространения плоской вол-
ны. Тогда поле волны будет полностью характеризоваться двумя функциями
от t', например, Ey(t') и Ez(t'):
E[0,Ey(t'),Ez(t% H[0,-Ez(t'),Ey(t%
Из уравнений (XI. 19) сначала получим, что t' = т,затем найдем уравнения движения частицы в параметрической форме:
т
y(r) =^ Jpy dr,
528 |
Глава XI |
т |
|
где рх = е f E(i') = eypy+ezpz |
—составляющая импульса частицы в плос- |
о |
|
кости Е, Н. |
|
702. Координаты частицы: |
|
х = хо cosuit, |
у = уо chuit, z = vt, |
Из полученных зависимостей x(i) и y(i) видно, что с помощью линзы рассматриваемого типа может быть сформирован пучок заряженных частиц, имеющий форму плоской ленты.
m i
Первое и третье из этих уравнений имеют вид обычных уравнений дви-
жения Ньютона (но с переменной массой — |
m |
). При этом в правой |
части первого уравнения содержится член |
m r a |
—, не зависящий от ви- |
у/1 - V2/C2
да электромагнитных сил (центробежная сила). Второе уравнение выражает производную по времени от момента импульса частицы относительно оси z через z-составляющую момента силы Лоренца.
704. При Н = 0 траектории электронов прямолинейны. По мере увеличения магнитного поля траектории все больше искривляются в плоскости, перпендикулярной оси. Введем цилиндрические координаты г, a, z, где z совпадает с осью цилиндра. Электроны перестанут попадать на анод,
когда при г|г _ь = 0. При этом с*|г_ь = ^j~ - Воспользуемся вторым из уравнений в ответе к задаче 703, которое в данном случае принимает вид:
|
§ 2. Движение заряженных частицв электромагнитном пале |
529 |
Проинтегрируем (1) вдоль траектории частицы от г = а до г = 6: |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
тг2а |
2nHrdr=- |
2жс |
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
2тгс6 |
= |
[1 + —2 |
) , |
(2) |
|
Р т а х |
|
|
|
|
|
если воспользоваться результатом задачи 621 и тем, что Tm a x = \e\V. |
|
При малой разности потенциалов \e\V <C тс2 |
(это эквивалентно тому, |
что v <С с), результат (2) упрощается: |
|
|
|
|
|
Фкр |
= 27ГС& |
|
|
|
(3) |
705. |
Разность потенциалов V должна быть больше, чем |
|
|
|
„2 Ь , т2с4 |
|
тс2 |
|
|
|
|
а а+—2 |
|
п~- |
|
|
При |
|e|V <C ттгс2 (нерелятивистские электроны) получаем из общей |
формулы: |
|
|
|
|
|
|
ттгс
Рос2
708. Воспользуемся цилиндрическими координатами г, а, начало которых совпадает с зарядом Ze и полярная ось направлена вдоль момента импульса частицы. Тогда движение происходит в плоскости z = 0, причем г будет представлять собой расстояние между зарядами —е и Ze. Первые два уравнения в ответе к задаче 703 примут вид:
mf |
mra* |
Ze2 |
|
- v2/c2 |
|
d ( mr2a |
\ _ Q |
(1) |
|
«ttWl-wVcV
