Батыгин&co
.pdf440 |
Глава VIII |
501. Концентрацию электронов в газе можно представить в виде суммы членов, относящихся котдельным атомам, п(г) = ^Z n a(r — R a ),raeR a
а=1
характеризует мгновенное расположение о-го атома. Тогда
| / п(г) exp[iq • г] dV = | ^ exp[iq • Ro] / п„(г') exp[iq • r']dV' = |Fo (q)|2 |^exp[iq-Ro ] , (1)
где г' = г —Ro , а ^а (ч) — атомный формфактор (VIII.47). Усреднение |
|
в |
(1) должно быть выполнено по всем положениям Ra- Так как атомы |
в |
газе расположены хаотически, то | £) exp(iq •Ro ) | = N. В итоге, для |
a
неполяризованного излучения |
|
|
da = \тЦ\ + cos2 |
ti)\Fa(q)\2Ndu. |
(2) |
Вычисление формфактора при заданной в задаче плотности па(г) |
выпол- |
|
няется элементарно и дает |
|
|
Окончательно:
Из экспериментально найденного сечения (2)можно получить модуль формфактора. Для нахождения распределения электронов надо, вообще говоря, знать еще фазу формфактора.
502. da = Nr
Сечение отличается от сечения рассеяния на изолированных атомах структурным множителем 2(14 ^— ], зависящим от взаимного расположения атомов в молекуле.
§5. Дифракция рентгеновых лучей |
443 |
является значительно более пологой функцией от xz, чем первые два отношения, и может быть заменено значением N% в максимуме (xz = 0). Сечение принимает вид (i? <tC1)
da = 4r02|Fo(27rg)|2iV32— |
^ |
^ - du, |
откуда видно, что угловая ширина главного максимума по порядку величины составляет 1/kaNi и l/kafy в направлениях х и у соответственно. Записав элемент телесного угла в виде dQ, = dxx dxy/k2 и интегрируя по хх и ху в бесконечных пределах, получим
Сечение по-разному зависит от продольных и поперечных размеров.При приблизительном равенстве их полное сечение пропорционально V4!3 (V— объем тела), а угловая ширина пропорциональна (V4/3/V2)V2 = 1/У1/3.
508.
da =
где
xxkgX + Xykgy + xzkgz = 0, kg = ko + 2?rg.
509. da = 8тгг2(1 + cos2i9)|Fo(27rg)|
Электромагнитные колебания в ограниченных телах |
445 |
Для волн типа Нп0:
CW
а = ckaby
Для волн типа Я П 1 „ 2 (пь пг Ф 0):
а = wkab
Обозначения те же, чтои в предыдущей задаче.
20
10
0 я- я- Зя-2я- 5яЗя- 7ir4ir 9ir 5ir 1Ы 6ir I3ir
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Рис.90 |
|
|
|
|
|
512. |
Волны электрического типа. |
|
|
|
|
|
|||
а) Четные решения [Sx{x) |
= Sx{—x), Жу{х) |
= Жу{—х), Sz(x) = |
|||||||
= -cEz(-x)}: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при х > а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sc |
|
при |
—a^x^a |
|
|
|
|
|
|
|
|
iz |
= В sin хх, |
§х |
|
|
|
Жу |
= |
^ |
(1) |
при х < —a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Электромагнитные колебания в ограниченных телах |
447 |
где А = Besa cos ха; остальные компоненты S и Ж равны нулю. Парамет- |
|
ры sax определяются из системы уравнений: |
|
(ха)2 + (sa)2 = ^ ( е ц - 1), sa = -\xactgxa. |
(6) |
Постоянная распространения к связана с х и s соотношениями (4).
Из графического анализа легко получить, что при г < ^ нечетные
электрические волны не могут существовать. Остальные закономерности качественно те же, что и для четных волн.
Волны магнитного типа можно проанализировать таким же путем.
513.Вдоль слоя могут распространяться четные волны электрического типа и нечетные волны магнитного типа с теми же характеристиками (постоянная распространения, конфигурация полей в области х > 0 и др.), что и в предыдущей задаче.
514.Волны электрического типа.
Для определения волн этого типа нужно решить уравнение для продольной компоненты электрического поля:
Уравнение (1) интегрируется путем разделения переменных. Частные решения имеют вид
Sz(r, a) = Jm(*r) sin(ma + фт), |
(2) |
где Jm — функция Бесселя, ф — произвольная постоянная. Чтобы поле возвращалось к исходному значению при изменении а на 2тг, нужно считать т целым числом ( т = 0,1,2,...).
Поперечные компоненты электрического и магнитного полей выражаются через Sz с помощью уравнений Максвелла:
грт),
cos(ma + Vm
хг) cos(ma
448 Глава IX
Возможные значения параметра х определяются из граничных условий на стенке волновода:
gr\ |
= 0 , Sa\ |
= 0 . |
|
|
7 \г=а |
' |
"1г=о |
|
|
Это дает хтпа = атп, где атп |
— n-й корень функции Бесселя: Jm(amn) |
= |
||
= 0 , п = 1 , 2 , . . . |
|
|
|
|
Таким образом, волны рассматриваемого типа характеризуются двумя индексами т, п; при т = 0 поле обладает симметрией вращения относительно оси z. Фазы грт в случае идеального волновода определяются условиями возбуждения. В реальных случаях, однако, они существенно зависят от дефектов стенок волновода (отступления от круговой формы сечения, продольные царапины и т.д.).
Распространение волны вдоль волновода возможно, если к= tl^—x2
будет вещественной величиной. Поэтому волна типа т, п будет распространяться в волноводе, если ее частота удовлетворяет неравенству
" а2 ' Наименьшая частота возможна для волны типа (0,1):
оа ^ ' а'
Соответствующая длина волны
Ао = Ш „ 2,6а
— порядка радиуса волновода. Волны магнитного типа:
№z = Jm(xr)sin(ma + ipm) (m = 0,1,2,...). Значения постоянной распространения к определяются из равенства
где /Зтп — n-й корень уравнения J'm{fimn) — 0. Наименьший корень /Зц ~ и 1,8; ему соответствуют граничная частота шо « 1,8^ и граничная длина
волны Ао = ^ р » 3,5а.
Для волн магнитного типа граничная частота ниже, чем для волн электрического типа. Если частота волны лежит в пределах о;оэя > и> >
> |
н,Т 0 э т а в о л н а может быть только типа Я ц . |
Электромагнитные колебания в ограниченных телах |
449 |
515. Для .Е-волны:
для Я-волна типа (т , п):
,т 2 о ; 2
где С'= Re С-
516. Волновой вектор к и частота w волн в волноводе связаны соотношением
где и — постоянная, зависящая от типа волны и размеров поперечного сечения волновода. По обычным формулам имеем
^ = f = " |
° |
Vl-(A/Ao)2 > |
|
где Ао — граничная длина волны. |
|
Из полученных формул видно, что |
всегда vv > с, vg < с, при- |
чем у<р • vg = с2 . Этот результат справедлив для волновода, внутри которого |
|
вакуум (диэлектрические свойства воздуха для рассматриваемой области явлений практически не отличаются от свойств вакуума).
Если волновод заполнендиэлектриком, причем дисперсией е и ц можно пренебречь, все вышеприведенные формулы остаются справедливыми при
г |
„ |
г |
1 |
замене с на v = —*=. Поэтому в таком волноводе vv |
= |
|
|
может стать меньше с, волна «замедляется» (см. задачу 522). |
|
||
517. Hz = ±Ж0 |
[e*(*i*+*«0 + e*(-*ix+fcz)]e-i«t |
направления распро- |
|
странения двух плоских волн, на которые разлагается волна Ню, составляют с осью волновода угол в (рис. 91), который определяется условием