Батыгин&co

Остальные компоненты электрического и магнитного полей выражаются через §z и Жг с помощью уравнений Максвелла.

Поскольку рассматривается проводник с конечной проводимостью, параметры к к х будут комплексными. Определим знак х так, чтобы 1тж = = х" > 0.

Общее решение уравнения (1) запишем в виде

8 (г) = А'Н^ (хг) + В'Н^ (хг)

где HQ , HQ — функции Ханкеля. Из асимптотического поведения этих функций (см. приложение 3) и условия I m x > 0 следует, что должно быть В' = 0, так как в противном случае поле будет возрастать на бесконечности. Остальные компоненты £ и Ж выразим через §z с помощью уравнений Максвелла:

\ficr

экспоненциально на больших расстояниях от провода. Максимальная концентрация поля существует вблизи провода, волна имеет поверхностный характер.

Граничное условие Леонтовича на поверхности провода

приводит к характеристическому уравнению для определения х:

Здесь С — поверхностный импеданс металла. Для хорошего проводника |С| <§С 1, поэтому последнее равенство может выполняться только при

Трансцендентное уравнение (3) нельзя решить графическим методом, так как входящие в него величины комплексны. Зоммерфельд использовал для решения этого уравнения метод итераций, основанный на том,

= и, -^—С,а = v. Тогда уравнение (3) запишется в виде

ulnu = v.

Если найдено приближенное значение ип (п-е приближение), то более точное значение un +i ((n + 1)-е приближение) можно получить по формуле

u n + i l n u n = v.

В нулевом приближении можно положить щ = v, тогда

522. Составляющие электромагнитного поля в волноводе определяются следующими выражениями:

при г ^ о

при о ^ г ^ 6

+BN0(*2r),

Здесь xi = 4 /^y - A;2, x2 = л / ^ — A;2; <?o. А, В — постоянные. Граничные условия запишутся в виде

При этом граничное условие для §а будет выполняться автоматически. Исключая постоянные А, В, §о, получим трансцендентное уравнение,

связывающее к и и>:

При о < i это уравнение существенно упрощается. Рассмотрим волну, которая будет иметь наибольшее к. Если бы волновод был заполнен диэлектриком целиком (о = 0), то соответствующее значение УС2 было бы

равно хО2 = ^ , где aoi = 2,4, Jo(aoi) = 0 (см. задачу 514). Будем искать решение, мало отличающееся от KQ2 :

где Да имеет порядок не ниже а/Ь. Считая а<ит <^ 1, используем приближенные формулы для Jo. No, Ji, N\ из приложения 3. Это дает вместо (1) уравнение

Положим в нем Тогда, отбрасывая малый член с логарифмом, получим

Фазовая скорость волны

Вводя обозначение UJQ = aoi f ~ 2,4^ (минимальная частота для волновода,

оо

не содержащего диэлектрика) и подставляя табличные значения и Ji(aoi). получим

Если волновод заполнен диэлектриком целиком (а = 0), то

Граничная частота частично заполненного волновода

лежит между граничными частотами незаполненного и целиком заполненного волновода:

^ р < Wrp < W0.

V£

Фазовая скорость (2) становится меньше скорости с при частотах

U)

/е-

Таким образом, волновод, частично или целиком заполненный диэлектриком, является замедляющей системой: фазовая скорость электромагнитных волн в нем может быть меньше с. Важной особенностью медленных

Складывая равенства (4) и (5), получаем формулу, приведенную в условии задачи. Она представляет собой точное соотношение, связывающее изменение ДА; постоянной распространения с амплитудами полей. Однако в большинстве случаев точное решение задачи о волноводе, частично заполненном диэлектриком, не может быть получено. Только при достаточно малых поперечных размерах области, занятой диэлектриком, удается приближенно определить амплитуды возмущенных полей S и Ж. Тогда с помощью полученной формулы для ДА; можно подсчитать изменение постоянной распространения, которая является важной характеристикой волны в волноводе. Примеры расчета волноводов таким методом приведены

взадачах 526-528.

526.В случае пластинки малой толщины амплитуды возмущенных полей можно приближенно выразить через невозмущенные амплитуды, которые для волны типа Яю имеют вид:

(Эти выражения могут быть получены из результатов задачи 510.) Пренебрежем изменением амплитуд поля вне объема, занятого пластинкой. Кроме того, пренебрежем изменением полей по толщине пластинки. Это эквивалентно отбрасыванию членов порядка сР и выше. На поверхности пластинки должны выполняться граничные условия:

бу = &0у, 3fcz = 2r€^zi ЦА-Жх — 1Ца^у = >^Ч)Х5 Жу = 3rCQy = 0,

где невозмущенные амплитуды в правых частях берутся при х = х\. Эти равенства определяют амплитуды возмущенного поля в пластинке.

Интеграл, стоящий в числителе выражения для А/с (см. условие предыдущей задачи), равен произведению подынтегральной функции на площадь поперечного сечения пластинки bd, так как поле не зависит от у, а зависимостью от х пренебрегаем.

В интеграл, стоящий в знаменателе, можно подставить невозмущенные значения амплитуд. В результате получим:

Так как ц± зависит от величины постоянного подмагничивающего поля Но (см. задачу 331), то и ДА; будет зависеть от этого поля. Изменение Щ вызывает изменение фазы волны. Устройства, основанные на этом явлении, широко применяются в радиотехнике для преобразования фазы.