где \{t) — скорость частицы в точке г = H(t). Для вычисления полного тока j(r, £) нужно умножить (5) на число частиц в объеме (dRo), обладающих начальной скоростью vo, и проинтегрировать по всем возможным значениям Ro, v0 :

Начнем с интегрирования по координатам. Аргумент «^-функции зависит от Ro сложным образом, поэтому перейдем кновой переменной интегрирования R = Ro + vof +Ri(Ro,£). Вычисляя якобиан преобразования с точностью до членов, линейных по Ео , получим

O(Hx,Ky,Hz)

После этого интегрирование по (dR) не представляет труда ипроводится с помощью формулы типа (П1.4). Подставляя под интеграл (6) выражение (7) и пренебрегая снова слагаемыми к • Ri в показателях экспонент, получим

где E = Eoexp[i(k • г — wt)]. Точка k • vo = и не является особой точ-

по сравнению с фазовой скоростью волны. Это позволяет представить (8) в виде

-/{•

ге(к • E)v0

+ тпш

Предполагая, что f(vo) не зависит от углов, получим

Здесь

Е ( к ' Е ) к Е Е Е

В случае распределения Максвелла v2 = Т/т.

Из выражения (10) находим тензор проводимости:

те2

Он является чисто мнимым, что свидетельствует об отсутствии диссипации энергии. Вычисляя тензор диэлектрической проницаемости по формуле

', (13)

будем иметь

где

,2 _ 4тгпе2

т

_

По сравнению сослучаем отсутствия теплового движения (v?, =0)возник новый важный эффект — зависимость е от к,пространственная дисперсия. В связи сэтим диэлектрическая проницаемость стала тензорной величиной. Зависимость е от к объясняется тем, что ток в некоторой точке создается частицами, приходящими из соседних областей, поле в которых не равно полю врассматриваемой точке. Пространственная неоднородность поля вместе степловым движением частиц и приводят к пространственной дисперсии диэлектрической проницаемости.

Поведение резонансных (к • v0 = ш) частиц рассмотрено в этой задаче недостаточно корректно, в связи с чем при расчете утеряна малая мнимая часть £ц, которая описывает передачу энергии от волны кчастицам (затухание Ландау, которое существует даже вбесстолкновительной плазме).

движения vg = 0. Таким образом, плазменные колебания распространяются

врезультате переноса электромагнитной энергии частицами.

871.а) р(г, t) = р(г,{0) cos wpt,

где 0 = %гг. В случае б), кроме плазменных колебаний плотности за-

ряда с частотой wp, происходит его релаксация из-за теплового движения частиц, р(х, t) = 0 при t —> оо.

ПРИЛОЖЕНИЯ

1. (5-ФУНКЦИЯ

(5-функция Дирака определяется равенствами:1

8{х -а) =

оо при х = а;

6(х — a)dx = 1.

Интегрирование в(П1.2) выполняется попромежутку Дпроизвольной длины, содержащему внутри себя точку о.

(5-функция удовлетворяет следующим соотношениям:

где f(x) —непрерывная функция.

Трехмерная (5-функция определяется аналогичными соотношениями:

6(т - а) = 5(х - ах)5(у - ay)S(z - az)=

//(r)J(r - a)^=(^ ( a ) ' -ли а внутри объема К,

Здесь /(г) —непрерывная функция.

1 Математически корректное определение 5-функции требует обобщения обычного понятия функции (см.:И.М. Гельфанд, Г.Е.Шилов «Обобщенные функции и действия над ними», т. I,Физматгиз, 1958;В.С.Владимиров «Уравнения математической физики», «Наука», 1967). {-функция относится к классу сингулярных обобщенных функций.

где du =sin •ddfida —элемент телесного угла, и что произвольная функция от д, а с интегрируемым квадратом модуля может быть разложена вряд

0?,a). (П2.9)

Коэффициенты a/m определяются формулами

Функции вида r~l~1Yim('d,a) иr'yjm(i9, a) называют шаровыми гармониками. Легко проверить с помощью (П2.4), что шаровые гармоники являются частными решениями уравнения Лапласа вовсех точках, кроме г = 0:

[ Г ^ а ) ] = 0 , A[rlYlm(#,a)} = 0.

Решением уравнения Лапласа является также суперпозиция шаровых гармоник с произвольнымикоэффициентами

Если г(г, i9,a) и г'(г', i9', a') — радиусы-векторы двух точек пространства, причем г > г' (см. рис. 7), то

R k - r ' | ^ - 2 1 ^ 0 0 8 7 + ^» ^ г

Функция 1/Д называется производящей функцией для полиномов Лежандра. Имеет место следующая теорема сложения для сферических функций:

m=—l

Углы i9, a и д', а! входят в (П2.14) вполне симметричным образом. Подстановка (П2.14) в (П2.13) приводит к разложению: