Батыгин&co

468*. Плоская монохроматическая волка падает на макроскопическую частицу,размеркоторой многоменьшедлиныволны Л. Электрическая и магнитная поляризуемости частицы: /?е = (1'е+ г/?" и /?т = (И'т + г/?^, — комплексны, поэтому наряду с рассеянием происходит поглощение электромагнитной энергии. Вычислить сечение поглощения <то.

УКАЗАНИЕ. Поглощаемая в единицу времени энергия равна потоку вектора Пойнтинга через поверхностьсферы большогорадиуса, окружающей частицу.

469.Вычислить сечение поглощения электромагнитной волны прово-

дящим шаром оа с малым поверхностным импедансом С= С + К"• Радиус шара Ь мал по сравнению с длиной волны Л.

470.Плоская монохроматическая волна падает на макроскопическое

тело. Сечение поглощения волны телом <то и дифференциальное сечение рассеяния dcrs/dQ. — известны. Выразить через них среднюю по времени силу F, действующую на тело со стороны волны.

471*. Определить среднюю силу F, которая действует на малый шар радиуса а, находящийся в поле плоской монохроматической волны. Рассмотреть случаи идеально проводящего шара и диэлектрического шара с диэлектрической проницаемостью е (магнитная проницаемость ц = 1). Амплитуда падающей волны Ео.

411. Точечный источник света расположен на оси, проходящей через центр круглого непрозрачного экрана радиуса а перпендикулярно его плоскости. Считая выполненным условие применимости геометрической оптики (А <С а), найти интенсивность света / в симметричной относительно экрана точке Р.

473.В предыдущей задаче рассмотреть дифракцию на дополнительном экране (т. е. на круглом отверстии в бесконечном непрозрачном экране).

474.Параллельный пучок света падает на круглое отверстие в непрозрачном экране перпендикулярно его плоскости. Найти распределение интенсивности света I на средней линии за экраном.

475.Найти угловое распределение интенсивности света dl при Дифракции Фраунгофера на кольцевом отверстии (радиусы а > Ь) в бесконечном непроницаемом экране. Начальный пучок света падает нормально

кплоскости отверстия. Рассмотреть частный случай дифракции на круглом отверстии.

476.Найти угловое распределение интенсивности света dl при наклонном падении параллельного пучка на круглое отверстие (дифракция Фраунгофера).

477. Плоская линейно поляризованная волна падает на прямоугольное отверстие —а ^ х ^ а, —Ь^ у ^ b в бесконечном тонком экране нормально к его плоскости. Амплитуды электрического и магнитного полей имеют составляющие Еу = EQ, НХ = —EQ, Ну = Ех = 0. Определить поле излучения из отверстия, а также угловое распределение излучения dl.

478. Плоская линейно поляризованная волна Еоег(-к'г~шг) падает на круглое отверстие радиуса а в бесконечном тонком экране нормально кего плоскости. Определить поле излучения из отверстия и угловое распределение интенсивности излучения dl.

§ 4. Когерентность и интерференция

Детекторы электромагнитного излучения в оптическом диапазоне реагируют на интенсивность I излучения, которая является усредненной по времени квадратичной функцией компонент поля

Это усреднение выражает тот факт, что время Т срабатывания детекторов составляет неменее чем 10~10 сек (висключительных случаях до 10~13 сек),

ахарактерный период оптических колебаний 10~15 ч-10~16 сек.

Всвязи с этим наблюдаться может только такая интерференционная картина, которая существует достаточно стабильно в течение промежутка времени, большего чем Т. Этоусложняет наблюдение интерференции волн в оптическом диапазоне.

Тепловые, люминесцентные, тормозные источники света состоят, как правило, из большого количества независимых (некогерентных) излучателей, испускающих свет не согласованно по фазе и поляризации. Почти полное согласование достигается в квантовых оптических генераторах (лазерах), в которых главную роль играет вынужденное излучение света. Однако и в этом случае имеются флуктуации фазы и поляризации из-за спонтанного излучения и рассеяния на различных флуктуирующих неоднородностях.

Для наблюдения стабильной интерференционной картины обычно приходится прибегать к расщеплению волнового поля каждого из независимых излучателей (и источника в целом) на несколько пучков. Если образовавшиеся после расщепления волновые пакеты снова перекрываются, пройдя разные оптические пути, то в области их перекрытия может возникнуть интерференционная картина, если выполняются определенные условия когерентности.

132 Глава VIII

Эти условия сводятся к требованию, чтобы интерференционные картины от различных независимых источников не замазывали друг друга.

Выделяют два простейших случая когерентности (подробнее см., например, [18], [84], [27], [120]).

1) Временная когерентность. Интерференция волновых пакетов может произойти, только если время т запаздывания одного из пакетов будет меньше, чем время At жизни отдельного излучателя. По порядку величины At ~ 1/Av>, где 8v = Aui/2n — спектральный интервал излучаемых атомами частот (см. задачи 482-484). Вместо времени At когерентности можно рассматривать продольный размер 2ц области когерентности (длина когерентности):

<"=с А *~Й~Й' (VIIL33)

где Д# — длина излучаемой квазимонохроматической волны, ДА — разброс длин волн, связанный со спектральной шириной соотношением АЛ =

=(X2/c)Av.

2)Пространственная когерентность. Если источник является протяженным, то интерференционные картины от независимых излучателей, находящихся в разных достаточно удаленных друг от друга точках источника, могут взаимно смазываться, налагаясь друг на друга. Поле сохраняет когерентность в окрестностях точки наблюдения в области, поперечные размеры которой

где Д# —угловой размер источника, L — поперечный размер источника, R — расстояние от него до точки наблюдения. Продольный размер 2ц области когерентности определяется формулой (VIII.33).

Объемом когерентности называется величина

Параметром 5 вырождения излучения называется среднее число фотонов (квантов света), пересекающих площадь когерентности 1\ за время когерентности At = \/Av:

где 7 — плотность потока энергии излучения, приходящаяся на интервал частот Аи, hw = 2nhv — энергия одного фотона, h = 1,05 • 10~27 эрг • сек —

постоянная Планка. Параметр вырождения характеризует важное свойство квантовых излучателей: способность к вынужденному или стимулированному излучению. Этосвойство состоит в том,что интенсивность излучения от излучателей, находящихся вэлектромагнитном поле, пропорциональна 1+6 и увеличивается сростом S.

Пусть поле u(r, t) вточке наблюдения г вмомент t выражается, согласно принципу Гюйгенса, через поля вточках г ьгг вмоменты времени t—1\,

Здесь t\ = s\/c, t2 = s2/c, si = |r —141, s2 = |r —гг|, A\, A2 — множители, зависящие отгеометрии схемы иразмеров отверстий, расположенных вблизи точек, радиусы-векторы которых ri и т2.

Тогда наблюдаемую усредненную интенсивность вточке г в момент t при стационарном режиме можно записать в виде

В этой формуле г = (si—s2)/c, величины

Ji(r) = 2

представляют собой интенсивности в точке г, если открыто только одно г-е отверстие. Функция 7( Г ьГ2>т) называется комплексной степенью когерентности (или коэффициентом частичной когерентности) и определяется следующим образом:

( V I I L 3 9 )

где

Г(г1,г2|т) =ti(

— корреляционная функция полей в точках ri и гг в моменты t и t + т. Случаю пространственной когерентности соответствует г = 0.

Понятие корреляционной функции и определения (VIII.39), (VIII.40) сохраняют свой смысл независимо от описанного здесь способа изучения когерентных свойств поля с помощью двух отверстий. Можно любым способом разделить световой пучок отточечного источника на два пучка с интенсивностями 1\ и 12 и осуществить задержку одного изних на время г относительно другого. Если затем соединить опять эти пучки и наблюдать в малой области около точки г усредненную по t интенсивность

483.Как изменятся результаты предыдущей задачи, если с Земли наблюдается звезда типа Солнца, находящаяся на расстоянии 10 световых лет?

484.Определить продольную и поперечную длины, а также объем когерентности в непосредственной близости от квантового оптического генератора, работающего на длине волны Ао = 5 • 10~5 см с разбросом частот Аи = 102 гц. Диаметр зеркал D = 5 см.

485.Найти параметр вырождения 8 излучения абсолютно черного тела, находящегося при температуре Т. Сделать численные оценки для А =

УКАЗАНИЕ. Спектральная плотность энергии излучения черного тела

где А;= 1,38 • 10 эрг/град — постоянная Больцмана.

486. Найти параметр вырождения для квантового оптического генератора, рассмотренного в задаче 484. Мощность излучения 200 в/и. Какой эффективной температуре отвечает это значение<$?

= и(т,t)u* (г, t + т) со спектром мощности 1{и>) излучения. Интенсивность

излучения I = u*(t)u(t) = / 1(

о

488.Найти автокорреляционную функцию излучения, если линия испускания узкая и имеет прямоугольную форму в интервале шириной До; около и>о. Интенсивность излучения I.

489.В интерференционном опыте Юнга наблюдается интерференционная картина в области перекрытия пучков, дифрагировавших на двух отверстиях (рис. 26). Отверстия расположены на расстоянии D друг от дру-

га в точках с координатами (0,0) и (х, у). Источник света протяженный, его размер значительно превышает D и он находится на расстоянии R от отверстий (R » D). Свет достаточно монохроматичен, так что для каждого из независимых излучателей выполняется условие временной когерентности. Выразить коэффициент частичной когерентности через распределение интенсивности 1(х, у) излучения по поперечнику источника света.

490. Звездный интерферометр Майкельсона представляет собой вариант интерференционной схемы Юнга, в которой расстояние между отверстиями может изменяться. Найти зависимость видимости В интерференционных полос в интерферометре Майкельсона от расстояния D между отверстиями и от длины волны А для двух случаев.

а) Наблюдается двойная звезда — система двух близких звезд, находящихся на угловом расстоянии а друг от друга. Каждую из звезд можно рассматривать как точечный источник света. Считать светимости обеих звезд одинаковыми.

б) Наблюдается одиночная звезда больших размеров с угловым поперечником а (можно рассматривать эту звезду как равномерно излучающий диск).

D

Рис. 26

491. В звездный интерферометр Майкельсона, рассмотренный в предыдущей задаче, поступает свет от двойной звезды или от одиночной звезды больших размеров. При увеличении расстояния D между отверстиями видимость интерференционных полос ослабевает и при некотором значении D = DQ обращается в нуль. Определить: а) расстояние р между компонентами двойной звезды Капелла, находящейся от нас на расстоянии R = = 44,6 световых лет, если Do = 70,8 см, а наблюдение ведется на длине волны А = 5 • 10~5см; б) диаметр d звезды Бетельгейзе, расстояние до которой составляет 652 световых года, если Do = 720 см, а А = 6 • 10~5 см.

УКАЗАНИЕ. Первый ненулевой корень функции Бесселя h(x) равен х\ = = 3,8317.

492. В интерферометре Брауна и Твисса (рис. 27) независимо детектируются, а затем перемножаются и регистрируются интенсивности света, идущего от двух удаленных некогерентных точечных источников или от различных точек одного протяженного источника. Волны, идущие от источников, можно считать плоскими (волновые векторы ki, и кг), их амплитуды и фазы флуктуируют случайным образом. Показать, что с помощью интерферометра Брауна и Твисса можно путем наблюдения корреляции между интенсивностями измерять угловое расстояние между источниками.

Фотоэлементы

Линия Умножитель задержки

М ) Интегратор

Рис. 27

493. Плоская волна (длина волны А) падает почти нормально на боковую поверхность тонкой призмы с углом а « 1 при вершине и показателем преломления п. Найти зависимость от х (рис. 28а) фазового сдвига, который приобретает волна в плоском слое ABCD, часть которого занята призмой.

494. Плоская волна падает на тонкую собирающую или рассеивающую линзу с радиусами кривизны Ri, R? и показателем преломления п (рис. 286). Длина волны А, угол между волновым вектором и оптической осью линзы мал. Найти зависимость от х фазового сдвига, приобретаемого волной в плоском слое ABCD, часть которого занята линзой.

495. Монохроматическая плоская волна (длина волны А) от квантового оптического генератора падает на бизеркало Френеля (рис. 29) с углом г? <С 1 между плоскостями зеркал. В области перекрытия двух плоских волн, идущих от бизеркала, образуется интерференционное волновое поле. На фотопластинке, помещенной в эту область и образующей угол i?i -с 1

i х В

D

Рис. 28

с фронтом одной из волн, возникает система прозрачных и темных интерференционных полос. Какое волновое поле образуется за этой фотопластинкой, если после проявления пропустить сквозь нее нормально к поверхности плоскую волну от того же самого оптического генератора?

Оптический

генератор

Фотопластинка

Рис. 29