Батыгин&co

УКАЗАНИЕ. Использовать решение уравнения Лапласа в виде ряда по шаровым гармоникам (приложение 2) и разложение поля точечного заряда, полученное

взадаче 96.

154.В проводнике с потенциалом V имеется сферическая полость радиуса R, заполненная диэлектриком с проницаемостью е. На расстоянии а от центра полости (а < R) находится точечный заряд q. Определить поле

вполости. Найти эквивалентную систему зарядов-изображений.

155.Заземленная проводящая плоскость имеет выступ в форме полусферы радиуса а. Центр сферы лежит на плоскости. На оси симметрии системы, на расстоянии Ь > а от плоскости находится точечный заряд q. Используя метод изображений, найти поле (р, а также заряд q1, индуцированный на выступе.

156.Проводящий шар радиуса R\ находится в однородном диэлектрике с проницаемостью е\. Внутри шара имеется сферическая полость

радиуса R.2, заполненная однородным диэлектриком с проницаемостью е^- В полости на расстоянии а от ее центра (а < Лг) расположен точечный заряд q. Найти поле <р во всем пространстве.

157*. Диэлектрический шар радиуса R с проницаемостью £\ находится в однородном диэлектрике с проницаемостью е?. На расстоянии а > R от центра шара расположен точечный заряд q. Найти поле <рво всем пространстве и получить соответствующим предельным переходом поле проводящего шара; найти также силу, действующую на заряд q вследствие созданной им поляризации шара. Как изменится эта сила, если поместить симметрично относительно центра диэлектрического шара другой такой же точечный заряд?

158. Точечный заряд q находится внутри диэлектрического шара радиуса R с проницаемостью е\ на расстоянии а от центра шара. Диэлектрическая проницаемость среды вне шара равна ег. Найти поле tp во всем пространстве. Рассмотреть, в частности, случай а = 0 (заряд в центре шара).

159*. Изолированная металлическая сфера радиуса а находится внутри полой металлической сферы радиуса Ь. Расстояние между центрами сфер равно с, причем с -С а, с <§; b. Полный заряд внутренней сферы равен q. Определить распределение заряда а на внутренней сфере и действующую на нее силу F с точностью до членов, линейных по с.

160. Сферический конденсатор образован двумя неконцентрическими сферами (см. предыдущую задачу). Вычислить поправку к емкости АС, вызванную отклонением от концентричности, в первом неисчезающем приближении.

161. Найти энергию U и силу F взаимодействия точечного заряда q с заземленным проводящим шаром радиуса R. Заряд находится на расстоянии о от центра шара. Система помещена в однородной диэлектрической среде с проницаемостью е.

162.Точечный заряд q находится в диэлектрике на расстоянии а от центра проводящей изолированной сферы радиуса R. Заряд сферы Q. Найти энергию U и силу F взаимодействия заряда со сферой.

163.Каким условиям должен удовлетворять пробный заряд q (в смысле его величины и положения в пространстве), чтобы можно было с его помощью исследовать поле системы зарядов, находящихся на проводящих

идиэлектрических телах, в частности, поле заряженного шара в однородном диэлектрике?

164*. Электрический диполь р находится в однородном диэлектрике на расстоянии г от центра заземленного проводящего шара радиуса R. Найти систему изображений, эквивалентную индуцированным зарядам, энергию взаимодействия U диполя с шаром, силу F и вращательный момент N, приложенные к диполю. Рассмотреть предельный случай г —> R (г > R).

165. В проводнике вырезана сферическая полость радиуса R. В центре полости находится электрический диполь с моментом р. Найти распределение а зарядов, индуцированных на поверхности полости. Какое поле Б' создается в полости этими зарядами?

166*. В однородном диэлектрике с проницаемостью е имеется электрическое поле, потенциал которого в окрестности некоторой точки О может быть представлен в виде

Пусть затем в окрестности точки О нарушена однородность и нейтральность диэлектрика (например, туда помещен проводник, вообще говоря, заряженный, или диэлектрик с проницаемостью ei ф е). Вследствие этого, потенциал электрического поля вне области неоднородности примет теперь вид ip = <pi+ ip2, где

— потенциал поля, вызванного свободными и связанными зарядами в области неоднородности (множитель е введен для удобства). Найти потен-

циальную энергию U взаимодействия области неоднородности с внешним полем fi.

УКАЗАНИЕ. Рассмотреть электрические натяжения, действующие на замкнутую поверхность, охватывающую область неоднородности. Использовать результат задачи 128.

167.Найти энергию взаимодействия со слабо меняющимся внешним полем Щ малой области неоднородности в диэлектрике (см. предыдущую задачу). Вследствие быстрой сходимости достаточно ограничиться членами с I = 0 и 1. Результат представить в векторной форме. Найти в этом приближении силу F и вращательный момент N, приложенные к области неоднородности.

168.Показать, что незаряженное диэлектрическое тело с проницае-

мостью £о> находящееся в диэлектрике с проницаемостью е, втягивается в область с большей напряженностью электрического поля, если £о > £. и выталкивается из этой области, если £о < £-

УКАЗАНИЕ. Использовать формулу (III. 16).

169.В общем случае компоненты дипольного момента р, приобретенного диэлектрическим телом во внешнем однородном поле Б, можно представить в виде pi = fiikEk, где fak — симметричный тензор поляризуемости тела. Какую ориентацию стремится занять это тело во внешнем однородном поле? Тело незаряжено, fiikXiXk > О, Xi, (i = 1,2,3) — произвольный вектор.

170.Стержень из диэлектрика с проницаемостью £i погружен в однородную жидкую диэлектрическую среду с проницаемостью £г. Какую он займет ориентацию, если систему поместить в однородное внешнее поле? Какую ориентацию займет тонкий диск, находящийся в жидком диэлектрике?

171.Найти силу F, действующую на диэлектрический шар со стороны точечного заряда q (см. условие задачи 157*).

Рассмотреть предельный случай проводящего шара. Решить задачу двумя способами: методом задачи 166* и с помощью формулы (III. 16).

172.Электростатическое поле образовано двумя проводящими цилин-

драми с параллельными осями, радиусами Д ь Л2 и зарядами на единицу длины ±х. Расстояние между осями цилиндров а > R\ + ДгНайти взаим-

УКАЗАНИЕ. Воспользоваться результатом задачи 117.

173.Оси двух одинаковых проводящих цилиндров с радиусами R находятся на расстоянии а друг от друга. Цилиндры несут заряды ± х на единицу длины. Найти распределение зарядов а на поверхностях цилиндров.

174.Конденсатор образован двумя цилиндрическими проводящими поверхностями с радиусами R\ и Яг > R\- Расстояние между осями цилиндров а < Дг — Ri • Найти емкость С конденсатора.

175.Определить поле ip точечного заряда в однородной анизотропной среде, характеризуемой тензором диэлектрической проницаемости е^.

176.В пустоте находится плоскопараллельная пластинка из анизотропного однородного диэлектрика с тензором проницаемости е^. Вне пла-

стинки однородное электрическое поле Ео . Используя граничные условия для вектора поля, определить поле Б внутри пластинки.

177.Найти емкость С плоского конденсатора с площадью обкладок S

ирасстоянием между ними а, если пространство между обкладками заполнено анизотропным диэлектриком с проницаемостью Sik- Краевым эффектом пренебречь.

178.Найти изменение направления линий вектора Б при переходе пустоты в анизотропный диэлектрик. Воспользоваться результатом задачи 176.

§ 2. Потенциальные и емкостные коэффициенты

Потенциалы Уг, системы п проводников являются линейными однородными функциями зарядов од на проводниках:

fc=i

Величины s^ называются потенциальными коэффициентами. Они зависят от взаимного расположения, формы и геометрических размеров проводников, а также от диэлектрической проницаемости окружающей среды. Матрица s симметрична:

Величина зд представляет собой потенциал, приобретаемый г-м проводником, если сообщить /г-му проводнику заряд од = 1, а остальные проводники оставить незаряженными. Все зд > 0.

54 ГлаваIII

Очевидно, что и заряды проводников являются линейными однородными функциями их потенциалов:

циенты взаимной емкости, или просто взаимные емкости).

Величина од представляет собой заряд, приобретаемый i-м проводником, когда все проводники кроме fc-ro заземлены, а fc-й проводник имеет потенциал V* = 1. Матрицы ОД и од являются взаимно обратными.

В случае одиночного проводника имеется единственный емкостный коэффициент сц, называемый при этом просто емкостью. Емкость конденсатора (III.14) может быть выражена через емкостные коэффициенты его

При решении электростатических задач бывает полезна теорема взаимности Грина: если потенциалы п проводников равны V\, V2, V3, ... , Vn, когда их заряды 91, 42, Яз, • • •, Яп и равны V{, V{, V3, ... , V^, когда их заряды ?i, ?2> ?з< • • • 1 ?п>т 0 имеет место соотношение:

179.Доказать теорему взаимности Грина (Ш.31). Доказать с помощью теоремы Грина, что од = s^.

180.Система состоит из двух проводников, удаленных от всех других проводников. Проводник 1 заключен внутри полого проводника 2. Выразить емкости С и С конденсатора и уединенного проводника, образующих эту систему, через ее емкостные коэффициенты. Доказать, что взаимные емкости проводника 1 и любого проводника, находящегося вне проводника 2, равны нулю.

181.Выразить потенциальные коэффициенты од через емкостные од

вслучае системы двух проводников.

182.Емкости двух уединенных проводников равны с\ и сг. ЭТИ проводники находятся в однородном диэлектрике с проницаемостью е вакууме на расстоянии г, большом по сравнению с их собственными размерами. Показать, что емкостные коэффициенты системы равны

УКАЗАНИЕ. Определить сначала потенциальные коэффициенты с точностью до величины 1/г.

183.Емкостные коэффициенты системы двух проводников равны сц, С22, ci2 = C21. Найти емкость С конденсатора, обкладками которого служат эти два проводника.

184.Четыре одинаковые проводящие сферы расположены по углам квадрата. Сфера 1 несет заряд q. Затем она соединяется тонкой проволочкой поочередно на время, достаточное для установления равновесия, со сферами 2, 3, 4 (нумерация проводников циклическая). Найти распределение заряда между проводниками по окончании всех операций. Потенциальные коэффициенты системы заданы.

185.Три одинаковые проводящие сферы с радиусами а находятся

ввершинах равностороннего треугольника со стороной b ^ а. Вначале все сферы имели одинаковые заряды q. Затем они по очереди заземлялись на время, достаточное для установления равновесия. Какой заряд остается на каждой сфере по окончании всех операций?

186.Собственные емкости двух проводников, находящихся в однородном диэлектрике, С\ и Сг, их потенциалы V\ и V2, расстояние между проводниками г много больше их размеров. Найти действующую между ними силу F.

187.Замкнутая проводящая поверхность с потенциалом V\ содержит

внутри себя проводник с потенциалом Vo. При этом потенциал в некоторой точке Р между проводящими поверхностями равен Vp. Пусть теперь проводники заземлены, а в точку Р помещен заряд q. Какие заряды будут при этом индуцированы на проводниках?

188.Показать, что в отсутствие точечного заряда геометрическое место точек, из которых единичный заряд индуцирует на некотором заземленном проводнике заряд одной и той же величины, совпадает с эквипотенциальной поверхностью поля этого проводника.

189.Два проводника с собственными емкостями сц и с22 и взаимной емкостью с\2, составляющие часть некоторой системы изолированных проводников, соединены тонкой проволокой. Какова собственная емкость объединенного проводника, коэффициенты взаимной емкости его и остальных проводников системы?

190.Два одинаковых сферических конденсатора с радиусами внутренних и внешних обкладок, соответственно а и 6, изолированы и находятся на большом расстоянии г друг от друга. Внутренним сферам сообщены заряды q и q\, после чего внешние сферы соединяются проволокой. Найти (приближенно) изменение AW энергии системы.

191.Заземленная внешняя обкладка сферического конденсатора имеет малую толщину. В ней проделано небольшое отверстие, через которое проходит изолированный провод, соединяющий внутреннюю обкладку конденсатора с третьим проводником, находящимся на большим расстоянии г от конденсатора. Собственная емкость этого проводника С и вместе с внутренней обкладкой конденсатора он несет заряд q. Раднус внешней обкладки конденсатора 6, радиус внутренней обкладки а. Найти силу F, действующую на третий проводник.

192*. Проводник заряжается путем последовательных подсоединений к разрядному шарику электрофора. Шарик электрофора после каждого подсоединения вновь заряжается, приобретая при этом заряд Q. При первом подсоединении на проводник с шарика переходит заряд q. Какой заряд получит проводник после очень большого числа подсоединений?

§3. Специальные методы электростатики

Вэтом параграфе содержатся задачи, относящиеся к различным разделам электростатики, более трудные в математическом отношении. Многочисленные методы решения задач электростатики изложены в ряде книг ([46], [66], [69], [93], [100]) в настоящем сборнике иллюстрируются лишь некоторые из этих методов: метод криволинейных координат (для случаев эллиптических поверхностей и поверхностей двух сфер), методы изображений, интегральных преобразований и инверсии. Схема их применения разъясняется непосредственно в решениях задач (более подробно, например, в задачах 193*, 195*, 205*, 209*, 211*, 215*). Изложим здесь кратко только метод инверсии.

Преобразованием инверсии называется такое преобразование пространства, при котором каждая точка его переходит в точку, сопряженную относительно некоторой, надлежащим образом выбранной сферы инверсии радиуса R. Если сферическими координатами (с началом в центре сферы

инверсии) первоначальной точки являются г, д, а, то сферическими координатами инвертированной точки будут г' = В?/г, i?, а. В векторной форме

г1 г11

Преобразование инверсии обладает свойством конформности. При инверсии сфера преобразуется в сферу. Если, в частности, центр инверсии лежит на преобразуемой сфере, то последняя преобразуется в плоскость (и наоборот).

Уравнение Лапласа инвариантно относительно преобразования инверсии: если функция ср(г) является решением уравнения Лапласа в исходном

представляет собой решение уравнения Лапласа в инвертированном пространстве.

Основная задача, решаемая методом инверсии, формулируется так. Нужно найти поле системы заземленных проводников и точечных зарядов qi, находящихся в точках г$. Потенциал на бесконечности V = const. Для решения задачи произведем инверсию с таким расчетом, чтобы поверхности проводников приобрели более простую форму.

При этом точечные заряды qi заменяются зарядами

находящимися в точках

Кроме того, в точке г' = 0 появляется точечный заряд

В инвертированной системе решаем электростатическую задачу — находим потенциал </?'(г'). Потенциал <р(г) можно затем получить с помощью обратного преобразования. Разумеется, можно и наоборот — по известному <р находить (р'.

193*. Проводящий эллипсоид с зарядом q и полуосями а, 6, с помещен в однородный диэлектрик с проницаемостью е. Найти потенциал р, а также емкость эллипсоида С и поверхностную плотность заряда а на его поверхности.

198.Найти выражения коэффициентов деполяризации, введенных

в предыдущей задаче, в случае вытянутого эллипсоида вращения (а > Ь = = с). Рассмотреть частные случаи очень вытянутого эллипсоида (стержня)

иэллипсоида, близкого к шару.

199.Найти коэффициенты деполяризации для сплюснутого проводящего эллипсоида (а = Ь > с). Рассмотреть, в частности, случай диска.

200*. Диэлектрический эллипсоид с полуосями а, Ь,с находится в однородном внешнем поле с напряженностью Ео . Диэлектрическая проницаемость эллипсоида е\, а окружающего его однородного диэлектрика £г- Найти потенциал ip результирующего электрического поля (воспользоваться указанием к задаче 195*). Найти напряженность Е электрического поля внутри эллипсоида, а также потенциал ц>2 вне эллипсоида на больших от него расстояниях, выразив его через составляющие поляризуемости эллипсоида по главным осям.

201. Эллипсоид вращения с диэлектрической проницаемостью е\ находится во внешнем однородном поле Ео в однородной диэлектрической среде £2- Найти энергию U эллипсоида в этом поле и приложенный к нему вращательный момент N. Рассмотреть также случай проводящего эллипсоида вращения.

202*. Показать, что при сообщении проводящей жидкой сферической капле достаточно большого заряда капля теряет устойчивость. Найти это критическое значение заряда q^. Радиус капли R, коэффициент поверхностного натяжения а.

УКАЗАНИЕ. Сравнить энергию сферической капли с энергией деформированной капли, имеющей форму вытянутого эллипсоида вращения. Площадь поверхности такого эллипсоида

ве z < 0 ограничено заземленной проводящей плоскостью z = 0 с круговым отверстием радиуса а. Найти поле ip во всем пространстве. Рассмотреть, в частности, поле на больших расстояниях за отверстием (в полупространстве z > 0).

УКАЗАНИЕ. Воспользоваться сплюснутыми сфероидальными координатами (см. задачу 65*) сс=0. Искать решение во всем пространстве в виде if = —EQZF(£).