§ 3.4 ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

Ранее было определено число e как предел числовой последовательности

+1 и x ! 1. Пусть x ! +1. Очевидно, справедливы неравенства:

§ 3.5 ПОРЯДОК ФУНКЦИИ. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ (АСИМПТОТИКА)

Определение 1. Функция f имеет порядок функции '

на множестве E, или f есть O большое от ' на E (записывается: f(x) = O('(x)); x 2 E), если jf(x)j Cj'(x)j; x 2 E, где C –

не зависящая от x постоянная.

Замечание. f(x) = O(1); x 2 E, означает, что f ограничена на E.

Пример. sin x = O(x); x 2 R, т. к. j sin xj jxj; 8x 2 R.

45

Очень часто возникает вопрос о поведении функции в окрестности точек, в которых она не определена. Для сложных функций желательно иметь хорошую аппроксимацию простыми функциями. Сейчас мы дадим определение основных асимптотических соотношений.

Определение 2.

10. f(x) = o('(x)); x ! a (говорят: функция f есть o малое от функции ' при x ! a), если f(x) = "(x)'(x), где функция

"(x) ! 0 при x ! a.

20. f(x) = O('(x)); x ! a (говорят: функция f есть O

большое от функции при ! ), если существует

'(x) x a U(a)

такая, что 2 . f(x) = O('(x)); x U(a)

30. Функции f1(x) и f2(x) называются эквивалентными при x ! a (пишут: f1(x) ' f2(x); x ! a), если f1 и f2 не равны нулю

1. В определении 2 считается, что функции f; '; f1; f2 определены на некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой точки a.

на которой j'f((xx))j C: C – постоянная. Примеры.

1.x2 = o(x); x ! 0.

2.x = o(x2); x ! 1.

3.x = O(sin x); x ! 0.

Докажем следующие асимптотические свойства:

Теорема 1. f(x) ' '(x); x ! a, тогда и только тогда, когда

f(x) = '(x) + o('(x)); x ! a.

Доказательство. f(x) ' '(x); x ! a: ) f(x) = '(x) +

=o('(x)); x!a, и, следовательно, f(x) = '(x) + o('(x)); x ! a.

46

x!a

Примеры.

1.sin x ' x; x ! 0 (эквивалентная запись 1-го замечательного предела).

2.1 cosx ' 12x2; x ! 0.

47