Если f ! 0 и ' ! 1, то пишем f' = f1 , что приводит к

'

неопределенности вида 0=0; если записать f' = '1 , то придем к

f

неопределенности вида 1=1.

Выражения f' приводят к неопределенностям вида 00; 10; 11. Если прологарифмировать f', то придем к

неопределенности вида 0 1. Например, lim f' = elim ' ln f .

x!a

x!a

§ 5.7 ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

Формулой Тейлора называется формула, с помощью которой можно по данным значениям функции и её

производных в точке a f(a); f0(a); : : : ; f(n 1)(a) и некоторым

сведениям о её производной f(n) в окрестности U(a) этой точки узнать приближенно её значение f в точках U(a).

Сначала получим формулу Тейлора для многочлена P (x) = a0 + a1x + + anxn. Сделаем замену x на (x a) + a в P (x):

n

X

P (x) = a0 + a1((x a) + a) + + an((x a) + a)n= bk(x a)k;

k=0

где bk – коэффициенты, зависящие от коэффициентов ak. Полученное равенство называется разложением многочлена P (x) по степеням x a, а bk – коэффициентами данного разложения.

n

Продифференцируем равенство P (x) = P bk(x a)k k раз:

k=0

P (k)(x) = k!bk + (k + 1)k 2bk+1(x a) +

81

В полученном выражении для P (k)(x) положим x = a: P (k)(a) =

k!bk; k = 0; 1; 2; : : : ; (здесь мы считаем P (0)(a) = P (a)). Отсюда следует

Таким образом, один и тот же многочлен P (x) можно разложить по степеням x a единственным образом, т. е. если для всех значений x

которая называется формулой Тейлора по степеням x a (или формула Тейлора в окрестности точки a) для многочлена P (x) степени n.

Замечание. При a = 0 формула Тейлора (2) называется также формулой Маклорена.

Перейдем теперь к выводу формулы Тейлора для функции f, не являющейся многочленом степени n 1, но имеющей производные достаточно высокого порядка. Вычислим числа

f(a); f0(a); : : : ; f(n 1)(a) и с помощью их образуем функцию

Функция Q(x) называется многочленом Тейлора ((n 1)-м) функции f по степеням x a.

Если f является сама многочленом степени n 1, то, как мы установили выше, f(x) = Q(x), для любых x 2 U(a), т. е. f(x)

82

Q(x). Так как в нашем случае f не многочлен степени n 1, то f(x) 6Q(x). Тем не менее многочлен Q(x) связан с функцией

f(x) в том смысле, что f(k)(a) = Q(k)(a); k = 0; 1; : : : ; n 1. Действительно, по формуле Тейлора для многочленов

(n 1) Q(k)(a)

X

Q(x) = (x a)k: k!

k=0

Отсюда и из (3) следует f(k)(a) = Q(k)(a); k = 0; 1; : : : ; n 1. Положим

где Q(x) (n 1)-й многочлен Тейлора функции f по степеням

x a.

Выражение (4) называется формулой Тейлора функции f по степеням x a (или в окрестности точки a), а Rn(x) назы-

вается остаточным членом формулы Тейлора.

Сейчас мы сформулируем и докажем теорему, в которой будут даны две формы (два выражения через n-ю производную от f) остаточного члена Rn(x).

Теорема. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a; x]

вместе со своими производными до (n 1)-го порядка включительно и n раз дифференцируема на (a; x). Тогда существует точка c 2 (a; x) такая, что имеет место равенство

член в форме Коши).

Доказательство. Мы ставим своей задачей найти удобное выражение для остатка Rn(x) в формуле Тейлора f(x) =

83

сведя таким образом вопрос к отысканию величины (здесь p – любое натуральное число, – величина, зависящая от x, и при фиксированном x будет рассматриваться как постоянная).

Заменим в (1) формально постоянную a на переменную z.

k=0

которая определена и непрерывна для всех z 2 [a; x], так как на этом отрезке непрерывна исходная функция f(z) вместе со своими производными до (n 1)-й включительно. Кроме того, из определения функции g(z) следует (см. (1)), что при

z= a она принимает значение 0 (g(a) = 0). Больше того, при

z= x она также обращается в 0 (g(x) = 0). Наконец, функция

Мы видим, что вспомогательная функция g(z) удовлетворяет условиям теоремы Ролля, поэтому, согласно теореме Ролля, существует между a и x промежуточная точка c = a + (x

84