= (n 11)!f(n)(c)(x a)(x c)n 1 = (n 11)!f(n)(a + (x a))(x a) (x a (x a))n 1 = (n 11)!f(n)(a + (x a))(x a)n(1 )n 1 =

= (n 11)!f(n)(c)(x a)n(1 )n 1. Замечание 1. При a = 0 формулу Тейлора называют также

формулой Маклорена. В этом случае она имеет вид

n 1

f(x) = X k1!f(k)(0)xk + Rn(x);

k=0

Rn(x) = xn f(n)( x) форма Лагранжа; n!

xn

Rn(x) = (n 1)!(1 )n 1f(n)( x) форма Коши:

Замечание 2. В формулах из теоремы x можно считать не только б´ольшим, но и м´еньшим, чем a. Если x < a, то (a; x); [a; x] обозначают множества точек t, удовлетворяющих соответственно неравенствам x < t < a; x t a.

§ 5.8 ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

По формуле Тейлора с остатком в форме Лагранжа имеем

ex = 1+ x + x2 + + xn 1 +Rn(x); Rn(x) = xn e x; 0 < < 1.

1! 2! (n 1)! n!

Если положить x = 1, то получим приближенное выражение

85

Формула Тейлора имеет вид (в окрестности точки a = 0)

0 < < 1.

Пусть 0 x 1. Тогда из (2) получим jRn+1j xnn+1+1 ! 0 (n ! 1). В случае 1 < x < 0 форма Лагранжа

не дает возможности сделать заключение о стремлении

n xn+1

Sn+1(x) + Rn+1(x) и Rn(x) Rn+1(x) = ( 1) n+1 .

Для x > 1 и n ! 1 правая часть этого равенства не стремится к нулю. Поэтому Rn(x) 6!0 при n ! 1, так как не выполняется условие критерия Коши для предела последовательности.

5. f(x) = (1 + x)m. Для этой функции f(n)(x) = m(m

1) : : : (m n+1)(1+x)m n; f(n)(0) = m(m 1) : : : (m n+1).

87

Формула Тейлора по степеням x (в окрестности точки a = 0) имеет вид

(1 + x)m = 1 + mx + m(m 1)x2 +

2!

+ m(m 1) : : : (m n+2)xn 1 + Rn(x); (n 1)!

x 2 R, если m 2 N и x > 1, если m 2 RnN, где

Rn(x) = m(m 1) : : : (m n + 1)xn(1 + x)m n n!

(в форме Лагранжа),

(в форме Коши).

В частном случае, когда m = n 2 N; Rn+1(x) = 0, мы получим известную формулу бинома Ньютона: (1 + x)n =

§ 5.9 ЛОКАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

Теорема. Если функция f n раз дифференцируема в точке

a, то

88

Отсюда следует h(a) = h0(a) = = h(n)(a) = 0. Теорема будет доказана, если мы покажем, что h(x) = o((x a)n); x ! a.

Применим метод математической индукции. Пусть n = 1. Тогда, так как функция h(x) дифференцируема в точке a, имеем h(x) h(a) = h0(a)(x a) + o(x a); x ! a, или h(x)=h(a) +

h0(a)(x a) + o(x a)=o(x a); x ! a.

Следовательно, при n = 1 теорема верна. Допустим, что утверждение теоремы верно для n 1, и докажем, что тогда верно и для n. Положим g(x) = h0(x). Тогда из (1) следует,

что g(a) = g0(a) = = g(n 1)(a) = 0 и, по предположению

индукции, g(x) = o((x a)n 1); x ! a. По формуле конечных приращений Лагранжа h(x) = h(x) h(a) = h0(c)(x a) =

Таким образом, h(x) = o((x a)n); x ! a.

Формула ( ) называется также формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Замечание:

1.Если к предположению о существовании n-й производной

вточке a добавить непрерывность этой производной, то локальная формула Тейлора будет следовать из формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Доказательство. Пусть f имеет n-ю непрерывную

производную в точке a: ) Существует некоторая окрестность

точки a, на которой f имеет производную n-го порядка f(n) и, тем более, непрерывную производную (n 1)-го порядка

f(n 1). Мы получим, что условия, при которых имеет место разложение f по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, выполняются и, следовательно,

89