Площадь 4AOM < площади сектора OAM < площади 4OMN, т. е.

12r2 sin x < 12r2x < 12r2 tg x

(здесь x – радианная мера \AOM). Проведем сокращение на 1=2, и так как r = 1, то

В предположении, что 0 < x < =2, разделим на sin x каждый из членов неравенства ( ). В результате получим

1 > sinxx > cos x

lim cos x = 1, поэтому, по "Свойству двух милиционеров", для

x!0

предела функции получим lim sin x = 1.

x!0 x

§ 3.2 КРИТЕРИЙ КОШИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ

Пусть f – некоторая числовая функция, определенная на множестве E.

Теорема. Для того, чтобы существовал предел lim f(x) =

x!a

, необходимо и достаточно, чтобы точка a была предельной точкой множества E и для любого " > 0 существовала

Коши.

Достаточность. Пусть a – предельная точка множества E и

41

доказали следующее свойство рассматриваемой функции: для

последовательности x!a; xn 6= a, существует lim f(xn) = , что означает: существует lim f(x) = .

x!a

§ 3.3 МОДИФИКАЦИЯ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

Пусть f – некоторая числовая функция, определенная на множестве E.

Определение 1. Число называется пределом функции

в точке a справа (пишут: lim f(x) = или f(a + 0) = ), если

x!a+0

1.a – предельная точка множества E.

2.Для любой последовательности (xn); xn > a; xn 2 E : xn ! a ) f(xn) ! .

Определение 2. Число называется пределом функции

в точке a слева (пишут: lim f(x) = или f(a 0) = ), если

x!a 0

1.a – предельная точка множества E.

2.Для любой последовательности (xn); xn < a; xn 2 E : xn ! a ) f(xn) ! .

Замечание 1. Условия 2 в определениях 1 и 2 эквивалентны, соответственно, следующим условиям:

42

20. 8" > 0 9 > 0 8x 2 E; x 2 (a; a + ) : jf(x) j < ".

200. 8" > 0 9 > 0 8x 2 E; x 2 (a ; a) : jf(x) j < ". Доказывается данное замечание как и в случае обычного

предела функции.

Используя данное замечание, легко доказать следующее утверждение.

x Замечание 2. Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой точки a. Тогда lim f(x) существует тогда и только тогда, когда

x!a

существуют lim f(x); lim f(x) и они равны..

x!a 0 x!a+0

Доказательство. Необходимость. Пусть lim f(x) = , т. е.

x!a

8" > 0 9 > 0 8x 2 E; x 2 (a ; a+ ); x 6= a (jf(x) j < "). Тогда

Заметим, что в (3) и (4) выбираются одинаковыми. Из (3) и

43

lim f(x) – не существует.

x!0

Сделанные выше определения можно обобщить на случай, когда – несобственная точка.

Определение 4. lim f(x) = 1, если

x!a

1. a – предельная точка множества E.

2. 8 9 8 2 T j j .

M > 0 U(a) x U(a) E( f(x) > M)

Замечание 4. Если lim f(x) = 1 и в некоторой окрестности

x!a

U(a) функция f(x) > 0 (соответственно f(x) < 0), то пишут: lim f(x) = +1 (соответственно lim f(x) = 1).

?

44