) y0(0) = +1; но при этом функция y = sgnx в точке x = 0 имеет разрыв 1-го рода.

бесконечный разрыв. В то же время в этой точке существует бесконечная производная: y0(0) = +1.

§ 5.2 ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

дифференцируемой в точке x, если она определена в некоторой

окрестности U(x) и y = f(x + x) f(x) = A x + o( x);

x ! 0, где A – некоторая постоянная, не

69

символом dy или df(x).

Теорема. Для того, чтобы функция y = f(x) имела

производную в точке x, необходимо и достаточно, чтобы она была дифференцируема в этой точке.

Доказательство. Необходимость. Пусть существует f0(x) =

y = f0(x) x+"( x) x или y = f0(x) x+o( x); x ! 0. Так как f0(x) является постоянной, не зависящей от x, то мы доказали дифференцируемость f в точке x, причем постоянная A из определения 1 равна f0(x).

Достаточность. Пусть f дифференцируема в точке x, т. е.

y=A x + o( x), x ! 0 ) xy = A + o(1); x ! 0 )

lim y

x!0 x

Замечание. Доказывая теорему, мы показали, что постоянная A из определения 1 равна f0(x). Это значит, что дифференциал функции y = f(x) всегда равен dy = f0(x) x. По соглашению x обозначается через dx, что не противоречит

выражению dx = x0 x = x, так как x0 = lim x+x x = 1.

x!0 x

Поэтому dy = f0(x)dx (или df = f(x)dx). Отсюда следует

f0(x) = dxdy , т. е. производная функции f в точке x равна

отношению дифференциала функции f к дифференциалу независимой переменной x. Следует иметь в виду, что дифференциал dx независимой переменной не зависит от x, он равен x – произвольному приращению аргумента x. Что же касается дифференциала dy функции y (отличной от x), то он зависит от x и dx.

70

Геометрический смысл дифференциала в точке

y = BC + CD, где CD = f0(x) x = dy; f0(x) = tg

CD = dy – главный линейный член приращения y; BC = o( x).

§5.3 ТЕХНИКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

x Теорема 1. Пусть функции f и g дифференцируемы в

точке x, тогда в точке x дифференцируемы функции f g; fg; f=g (если g 6= 0), причем

1.(f(x) g(x))0 = f0(x) g0(x); d(f(x) g(x)) = df(x) dg(x).

2.(f(x) g(x))0 = f0(x)g(x)+f(x)g0(x); d(f(x) g(x)) = g(x)df(x)+

+f(x)dg(x).

71

= (f(x)g(x))0dx = (f0(x)g(x) + f(x)g0(x))dx = (df(x))g(x) +

f(x)dg(x). Следствие. (Cf(x))0 = C f0(x)(C - постоянная). x

Теорема 2 (дифференцирование сложной функции). Пусть

задана сложная функция F (x) = g(f(x) = (g f) (x) и пусть f дифференцируема в точке x, а функция g дифференцируема в точке y = f(x). Тогда F = g f дифференцируема в точке

x и F 0(x) = (g(f(x)))0 = g0(f(x)) f0(x), dF (x) = dg(f(x)) =

g0(f(x))df(x).

Доказательство. g(f(x+ h)) g(f(x)) = g(f(x) + [f(x+ h)

f(x)]) g(f(x)) = g0(f(x)) (f(x+h) f(x))+o(f(x+h) f(x)) = g0(f(x)) (f0(x) h + o(h)) + "( f) (f0(x) h + o(h)) = g0(f(x))

f0(x) h + g0(f(x)) o(h) + "( f) f0(x) h + "( f) o(h)=g0(f(x)) f0(x) h + o(h); h ! 0 (здесь "( f)!0 при h ! 0). Таким образом, функция F (x) дифференцируема в точке x и F 0(x) =

g0(f(x)) f0(x): ) dF (x) = g0(f(x)) f0(x)dx = g0(f(x))df(x). x Теорема 3 (дифференцирование обратной функции).Пусть

y = g(x) – функция, обратная к функции x = f(y), причем f дифференцируема в точке y и f0(y) = f0(g(x)) 6= 0. Тогда g

дифференцируема в точке x и g0(x) = 0 1 .

f (g(x))

Доказательство. h = (x + h) x = f(g(x + h)) f(g(x)) = f(g(x) + g(x + h) g(x)) f(g(x)) = f0(g(x))(g(x + h) g(x)) +

72

Таблица производных основных функций.

Упражнения.

Доказать формулы 2, 4, 6, 7, 19, 11, 13 – 16 из таблицы производных основных функций.

Литература: [2], § 5.1, с. 125; § 5.3, с. 128; § 5.4, с. 130-131.

§5.4 ПРОИЗВОДНЫЕ

ИДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Пусть f : E ! R (E R) дифференцируема в каждой точке E, тогда определена функция f0 : E ! R, которая называется производной функции f. Если f0 дифференцируема в точке x 2 E, то число (f0(x))0 называется 2-й производной от f в точке x и обозначается f00(x).

73

Если же f0 дифференцируема в каждой точке множества E, то тогда определена функция f00 : E ! R (f00(x) = (f0(x))0; x 2 E), которая называется второй производной от функции f.

Допустим, что уже определена производная от функции f (n 1)-го порядка (обозначение: f(n 1) : E ! R (fn 1(x) = (fn 2(x))0; x 2 R). Тогда производная от функции f порядка n определена как первая производная от производной порядка (n 1) : f(n)(x) = (f(n 1)(x))0; x 2 E, конечно, при условии,

что f(n 1) дифференцируема во всех точках E.

Замечание: Существование производной от функции f (n 1)-го порядка во всех точках множества E является слишком жестким требованием, если нас интересует производная от функции f n-го порядка лишь в конкретной точке x 2 E. Достаточно потребовать существования производной (n 1)- го порядка в некоторой достаточно малой окрестности точки

x 2 E. Примеры:

1.Функция xm, где m – целое положительное число, имеет на R производную любого порядка: (xm)(n) = m(m 1) : : : (m n + 1)xm n.

2.Степенная функция xa, где a – произвольное действительное число, имеет для x > 0 производную любого порядка:

(xa)(n) = a(a 1) : : : (a n + 1)xa n.

3.(ax)(n) = ax(ln a)n; n = 1; 2; 3; : : : .

4.(sin x)(n) = sin(x + 2 n); (cos x)(n) = cos(x + 2 n); n = 1; 2; : : : .

Дифференциал от функции f в точке x (dy = f0(x)dx) мы будем называть первым дифференциалом от f в точке x,

соответствующим dx – дифференциалу независимой переменной x.

= f00(x)dx2.

74