что M(h) ! 0; m(h) ! 0 при h ! 0, то по "Свойству двух милиционеров" и (h) ! 0 при h ! 0. Функция f(x) непрерывна в точке x0, поэтому 8" > 0 9 > 0 такое, что

8t(jt x0j < 2 ) jf(t) f(x0)j<"=2). Если h такое, что jhj= , то отсюда следует: jM(h)j < ".) 8" > 0 9 > 0 такое, что

8h(jhj < ) jM(h)j < ") ) M(h) ! 0 при h ! 0. Аналогично:

m(h) ! 0 при h ! 0. Замечание. Понятие первообразной можно распространить

на случай, когда функция f(x) определена на [a; b]. Определение. Функция F (x) называется первообразной

функции f : [a; b] ! R, если F 0(x) = f(x) для любых x 2 [a; b] (в точках a и b рассматриваются соответственно левая и правая производные функции F (x)).

После сделанного доопределения, второй части теоремы 2 можно придать вид: "Если функция f(x) непрерывна на [a; b],

x

то F (x) = R f(t)dt является первообразной функции f(x) на

a

[a; b]." (доказательство теоремы при этом не изменяется). Таким образом, мы доказали, что произвольная

непрерывная на отрезке [a; b] функция f имеет на этом отрезке первообразную, определенную равенством

непрерывной на отрезке функции.

§ 7.8 ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА

143

(a).

Доказательство. Пусть – произвольная первообразная для f. Тогда, согласно теореме 2 (см. §7.7), (x) = F (x) + c,

x

где F (x) = R f(t)dt; c const. Следовательно,

a

b

Z

f(t)dt = F (b) F (a) = (F (b) + c) (F (a) + c) = (b) (a):

aЗамечание. Разность (b) (a) обозначается символом

(t)jba.

Формулу Ньютона-Лейбница можно обобщить. Предварительно приведем необходимые определения.

Определение 1. Функция f называется гладкой (на [a; b]),

если

1.f непрерывна на [a; b].

2.Производная функции f0 : (a; b) ! R непрерывна, причем существуют и конечные пределы lim f0(x); lim f0(x).

1.f(x) = jxj; x 2 [ 1; 1] – непрерывная кусочно-гладкая функция.

2.f(x) = arcsin x; x 2 [ 1; 1] – не непрерывная кусочно-

гладкая функция, так как для этой функции пределы

(a; b) ! R допускает непрерывное продолжение на [a; b], т. е.

144

f0 можно доопределить в точках a и b так, что f0 : [a; b] ! R будет непрерывной.

Доказательство. f : [a; b]!R является гладкой, поэтому

f0 : (a; b)!R – непрерывна на (a; b) и существуют пределы lim f0(x); lim f0(x). По определению функция называется

x!a+0 x!b

непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна на (a; b),

(здесь 0 < < 1, и мы использовали формулу Лагранжа

a

Прежде чем доказывать данную теорему, вы вынуждены распространить понятие интеграла на функции, определенные не во всех точках отрезка [a; b]. Это нам необходимо, так как интеграл слева в ( ) "плохо" определен: если a = x0 < x1 <

: : : < xn = b – разбиение, фигурирующее в определении 2, то F 0(x) не определена в точках xi.

Рассмотрим функцию f(x), определенную на [a; b] за

исключением точек c1; : : : ; cn. Пусть f^(x) совпадает на [a; b] с

f(x) в точках x 6= ci, i = 1; : : : ; n, а в точках c1; : : : ; cn принимает произвольные числовые значения.

Определение 3. Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на [a; b], если интегрируема по Риману на [a; b]

145

функция f^(x), причем считается

ZZ

Замечание 2. Данное определение будет корректным, т. е. не будет зависеть от значений функции f^(x) в точках c1; : : : ; cn.

Действительно, пусть функция f^1(x) = (1)i , если x = ci, а f^2(x) = (2)i , если x = ci. Очевидно,

f^2(x) = f^1(x) + '(x);

где

f^1(x) интегрируема, то f^2(x) также интегрируема на [a; b] (см. замечание 2 § 7.5). Поэтому

Замечание доказано.

Перейдем к доказательству теоремы 2. После определения

b

3 R F 0(x)dx будет вполне корректно определен (полагаем, что

a

F 0(x) определена в точках xi произвольно). Используя свойства интеграла Римана, запишем

146

F (x) – непрерывная кусочно-гладкая на [a; b] функция, поэтому, согласно замечанию 1, F 0(x) допускает непрерывное продолжение на [xi 1; xi] при любом i = 1; : : : ; n, т. е.

ZZ

i= 1; : : : ; n.

Кинтегралам

xi

Z

^0

F (x)dx

xi 1

применим формулу Ньютона-Лейбница:

xi

Z

xi 1

Из (1) и (2) следует

X

F 0(x)dx = (F (xi) F (xi 1)) = F (b) F (a):

Что и требовалось доказать. x Примеры.

147

мы разбиваем исходный интеграл на два интеграла:

ZZ

Далее, применяя к каждому из интегралов формулу Ньютона-Лейбница, получим

148