Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4614 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Казанский федеральный университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
kniga1.pdf
Скачиваний:
48
Добавлен:
10.02.2015
Размер:
1.54 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

§ 8.2 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть f(x)

 

0 на [a; b] и

b

f(x)dx имеет единственную

 

Ra

 

 

b0

особенность в точке b. Тогда функция F (b0) = R f(x)dx (a < b0 <

a

b) от b0 не убывает, и, следовательно, если F (b0) M 8 b0 2 (a; b), то существует интеграл

Za

b

!b

b0

 

 

f(x)dx = b0

Za

M:

 

lim

f(x)dx

 

Если же F (b0) не ограничена, то интеграл расходится:

Za

b

!b

b0

1

 

f(x)dx = b0

Za

:

 

lim

f(x)dx = +

 

При этом пишут (только в случае f(x) 0 на [a; b) ):

b

Z

f(x)dx < 1; если интеграл сходится;

a

b

Z

f(x)dx = +1; если интеграл расходится;

a

Теорема 1. Пусть интегралы

b b

ZZ

 

f(x)dx; '(x)dx

a

a

имеют единственную

особенность в точке b и на [a; b)

справедливо неравенство

0 f(x) '(x):

166

Тогда из сходимости

b

 

 

 

 

 

b

'(x)dx следует сходимость f(x)dx и

 

 

a

 

 

 

 

 

a

справедливо

неравенство

 

 

 

 

 

R

 

R

 

 

 

 

 

 

 

b

b

 

 

 

 

 

 

Z

Z

 

 

 

 

 

 

 

f(x)dx '(x)dx;

 

 

 

 

a

 

a

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

b

 

 

f(x)dx

 

расходимость '(x)dx.

а из расходимости Ra

 

следует

 

f(x)

 

'(x)Ra

 

Доказательство. Из неравенства

 

следует, что

для любых b0 2 (a; b):

b0

b0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ZZ

 

 

 

 

 

f(x)dx

'(x)dx:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

b0

 

b

 

 

 

 

 

 

 

Еслиb0

теперь Ra

'(x)dx сходится, то Ra

f(x)dx Ra

'(xb)0

dx, а так

как

Ra

 

f(x)dx при возрастании b0 не убывает, то lim

f(x)dx =

b

 

 

 

b

 

Если

 

b

 

b0!b

Ra

 

 

 

 

 

f(x)dx

 

'(x)dx

 

 

Ra

f(x)dx

расходится,

 

 

Ra

b0

 

 

 

Ra

.

 

 

b0

же

1.

b

 

 

 

 

 

т. е.

blim0 b

 

f(x)dx = +1, то blim0 b

'(x)dx b

 

 

 

 

 

 

 

! a

 

 

 

 

 

! a

 

= +

 

 

 

 

 

имеют

 

RТеорема 2. Пусть

 

интегралы

 

f(x)dx;

'(x)dx

 

 

 

 

R

 

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на

 

 

единственную особенность в точке Rb; f(x); '(R

> 0

[a; b)

и существует предел

 

 

 

 

 

 

 

x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

f(x)

= A > 0:

 

 

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!b '(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда эти интегралы одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Доказательство. Из (1) следует, что для8 " > 0 9 c 2 [a; b) такое, что

A " < f(x) < A + "; (c < x < b): '(x)

167

Отсюда, так как '(x) > 0, следует

 

 

(A ")'(x) < f(x) < (A + ")'(x); (c < x < b):

(2)

b

b

 

Из сходимости R '(x)dx ) сходимость R '(x)dx; ) сходимость

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

b

(A + ")'(x)

b

 

) (по

теореме

1)) сходимость

b

)

Rc

 

Rcb

 

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x)dx;

 

сходимость

Rab

f(x)dx

 

 

 

 

 

сходится

 

f(x)dx;

 

сходимость

 

 

.

 

Далее,

пусть

b

 

 

 

Ra

)

 

f(x)dx;

 

 

сходимость

Rc

(A

 

")'(x)dx;

 

 

bRc

 

 

 

)

 

b

 

 

 

 

)

сходимость R '(x)dx; ) сходимость R '(x)dx.

c a

Замечание 1. Теорема 2 может быть обобщена следующим образом. Пусть f(x) и '(x) удовлетворяют условиям теоремы 2 и (x) – непрерывная и неотрицательная на [a; b) функция. Тогда

интегралы

b

b

'(x) (x)dx одновременно сходятся

f(x) (x)dx и

R

или

 

R

 

 

 

 

a

a

 

 

 

одновременно расходятся.

 

 

Доказательство замечания 1 следует из неравенства

 

(A ")'(x) (x) f(x) (x) (A + ")'(x) (x);

которое вытекает из неравенства (2).

 

 

Замечание 2. Если в

теореме 2

A = 0, то сходимость

b

 

 

 

b

 

'(x)dx влечет сходимость

f(x)dx.

 

Ra

Доказательство. Из (2)

a

получаем

Rпри A = 0

f(x) < " '(x); (c < x < b):

Из этого неравенства следует утверждение замечания 2.

Замечание 3. В теореме 2 можно считать, что только одна из функций f(x) или '(x) положительна на [a; b).

Доказательство. Из (2), так как " < A, следует, что если '(x) > 0, то и f(x) > 0, а также наоборот: если f(x) > 0, то и

'(x) > 0.

168

§ 8.3 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

Пусть на [a; 1) заданы непрерывные функции '(x); (x), причем (x) имеет непрерывную производную. Нас интересуют

достаточные признаки существования интеграла

1

'(x) (x)dx,

 

 

 

 

a

для вычисления которых мы проделаем

следующее:

 

R

N

 

 

N

 

Za

'(x) (x)dx =

(N) (N) (a) (a) Za

0(x) (x)dx;

где (x) – произвольная первообразная от '(x); a < N < 1. Очевидно, что если существует несобственный интеграл

1

Z

0(x) (x)dx = A

(1)

a

и существует предел

lim (x) (x) = B;

(2)

x!+1

то существует несобственный интеграл

1

Z

'(x) (x)dx = B (a) (a) A:

(3)

a

Теорема 1 (I-й признак). Если функция (x) ограничена

1

(j (x)j M const), (x) ! 0 при x ! +1 и R j 0(x)jdx < 1,

a

то интеграл (1) и предел (2) существуют. Доказательство. Интеграл (1) сходится абсолютно:

1

1

 

Za

j 0(x) (x)jdx M Za

j 0(x)jdx < 1:

Выполняется также и условие (2):

j (x) (x)j Mj (x)j ! 0 при x ! +1;

169

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности