- •1)Аксиомы Вероятности:
- •2)Базовые операции над событиями и их вероятностный смысл
- •3) Булева сигма-алгебра
- •4) Булева Алгебра
- •1. (Алгебра событий содержит достоверное событие);
- •6)Гипергеометрическое распределение
- •17)Мат. Ожидание и дисперсия для непрерывных случайных величин
- •18) Мода и медиана
- •19) Мультиномиальное распределение и его функция плотности
- •20) Независимость булевых алгебр
- •21) Неравенство Чебышева
- •22) Несовместные события
- •23)Определение вероятности
- •25) Попарная независимость событий
- •26) Правило трёх сигм
- •27) Равномерное распределение на [a;b] и его функции распределения и плотности
- •28)Распределение Пуассона и его связь с биномиальным распределением
- •42) Схема испытаний Бернулли и биномиальное распределение
- •43) Схема испытаний Бернулли и геометрическое распределение
- •53. Функция плотности и её свойства
- •60) Центральные и нецентральные моменты
1)Аксиомы Вероятности:
1.для любого события выполняется неравенство ;
2. для любого счётного набора попарно несовместных событий имеет место равенство
3. вероятность достоверного события равна единице: .
2)Базовые операции над событиями и их вероятностный смысл
1. Объединением событий и называется событие, состоящее в том, что произошло либо , либо , либо оба события одновременно. На языке теории множеств есть множество, содержащее как элементарные исходы из множества , так и элементарные исходы из множества .2. Пересечением событий и называется событие, состоящее в том, что произошли оба события и одновременно. На языке теории множеств есть множество, содержащее элементарные исходы, входящие в пересечение множеств и .
3. Противоположным (или дополнительным) к событию называется событие , состоящее в том, что событие в результате эксперимента не произошло. Т.е. множество состоит из элементарных исходов, не входящих в .
4. Дополнением события до называется событие, состоящее в том, что произошло событие , но не произошло . Т.е. множество содержит элементарные исходы, входящие в множество , но не входящие в .
3) Булева сигма-алгебра
Множество , элементами которого являются подмножества множества (не обязательно все) называется -алгеброй (-алгеброй событий), если выполнены следующие условия:
1 (-алгебра событий содержит достоверное событие);
2 если , то (вместе с любым событием -алгебра содержит противоположное событие);
3 если , , то (вместе с любым счётным набором событий -алгебра содержит их объединение).
Свойство 3 в можно заменить , если , , то .
Если — -алгебра, то она удовлетворяет свойству 3, т.е. для любых и вып-ся .
4) Булева Алгебра
Множество , элементами которого являются подмножества множества (не обязательно все) называется алгеброй (алгеброй событий), если оно удовлетворяет следующим условиям:
1. (Алгебра событий содержит достоверное событие);
2.если , то (вместе с любым событием алгебра содержит противоположное событие);
3.если и , то (вместе с любыми двумя событиями алгебра содержит их объединение).
Из свойств 1 и 2 следует, что пустое множество также содержится в .
Из 3 следует, что вместе с любым конечным набором событий алгебра содержит их объединение: для любого , для любых , ..., выполнено .
6)Гипергеометрическое распределение
Соответствие между числом и вероятностью
(где таково, что , и ) называется гипергеометрическим распределением.
Выбор без учёта порядка. Общее число элементарных исходов есть число -элементных подмножеств множества, состоящего из элементов:
Число благоприятных исходов равно произведению числа способов выбрать белых шаров из и числа способов выбрать ч. шаров из , т.е. . Вероятность события равна
|
Выбор с учётом порядка. Общее число элементарных исходов есть число способов разместить элементов на местах
число способов выбрать белых и чёрных шаров и число способов расположить эти шары среди .
7) закон больших чисел Бернулли
Пусть событие может произойти в любом из независимых испытаний с одной и той же вероятностью , и пусть — число осуществлений события в испытаниях. Тогда . При этом для любого
8) ЗБЧ Хинчина
Для любой последовательности независимых (в совокупности) и одинаково распределённых случайных величин с конечным первым моментом имеет место сходимость:
9) Закон больших чисел Чебышева
Для любой последовательности независимых (в совокупности) и одинаково распределённых случайных величин с конечным первым моментом имеет место сходимость:
10) Квантили, медиана
Пусть есть вероятностное пространство , и — вероятностная мера, задающая распределение некоторой случайной величины X. Пусть фиксировано . Тогда α-квантилью (или квантилью уровня α) распределения называется число , такое что
Медиа́на (квантиль 0,5) — возможное значение признака, которое делит ранжированную совокупность на две равные части: 50 % «нижних» единиц ряда данных будут иметь значение признака не больше, чем медиана, а «верхние» 50 % — значения признака не меньше, чем медиана. Медиана является важной характеристикой распределения случайной величины и может быть использовано для центрирования распределения. Медиана определяется для широкого класса распределений, а в случае неопределённости, в то время как математическое ожидание может быть не определено.
11) Ковариация и её свойства
Ковариацией случайных величин и называется число
-
Если X,Y — независимые случайные величины, то: cov(X,Y) = 0
-
Ковариация случайной величины с собой равна дисперсии: cov(X,X) = D[X].
-
Ковариация симметрична: cov(X,Y) = cov(Y,X).
-
В силу линейности мат. ожидания, ковариация может быть записана как
12) Коэффициент корреляции и его свойства
Коэффициентом корреляции случайных величин и , дисперсии которых существуют и отличны от нуля, называется число
1) если и независимы, то ;
2) всегда ;
3) IFF и п. н. линейно связаны, т.е. существуют числа и такие, что
14) Критерий независимости случайных величин
События и называются независимыми, если
Пусть Тогда события и независимы тогда и только тогда, когда . Если то события и независимы тогда и только тогда, когда
Пусть события и несовместны. Тогда независимыми они будут только в том случае, если или
Если события и независимы, то независимы и события и , и , и .
15) Критерий слабой сходимости случайных величин
Если , и функция распределения непрерывна в точках и , то . Наоборот, если во всех точках и непрерывности функции распределения имеет место сходимость , то .
Вместо открытого интервала можно взять , или
Если , то . Если , то .
16)Мат. ожидание и дисперсия для дискретных случайных величин
Пусть задано вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина X. То есть, по определению, — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от X по пространству Ω, то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается M[X] или .
Если FX(x) — функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся
Если X — дискретная случайная величина, имеющая распределение то прямо из
определения интеграла Лебега следует, что