В.Т. Дубровин

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

Часть I

Казань, 2012

В.Т. Дубровин

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

Часть I

Казань, 2012

ПРЕДИСЛОВИЕ

В основу данной книги положены лекции, читавшиеся автором в течение ряда лет для студентов специальности "Прикладная математика" Казанского федерального университета. Весь материал излагается в виде, непосредственно преподносимом на лекциях, и поэтому может быть использован в качестве конспекта будущих лекций. Наличие практически готового текста лекций позволит студентам предварительно ознакомиться с излагаемым материалом, освободит их от тщательного конспектирования

идаст, тем самым, возможность уделить больше внимания пониманию содержания лекции.

Предполагается, что книга может быть использована в качестве учебного пособия при изучении математического анализа не только студентами специальности "Прикладная математика" , но и студентами экономических, географических

идругих специальностей университетов.

Первая часть содержит дифференциальное и интегральное исчисление числовых функций одной переменной.

Отметим некоторые методические особенности данной книги. Особо выделяется материал, рекомендуемый для самостоятельного изучения, при этом начало и конец текста всюду отмечены значком .xВсе доказательства различного вида утверждений завершаются значком .

3

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Название "Математический анализ" представляет собой сокращенное изменение старого названия "Анализ посредством бесконечно малых". Что же анализируется с помощью бесконечно малых? В классическом математическом анализе такими объектами являются прежде всего функции, т. е. переменные величины, зависящие от других переменных величин. Ближайшая наша задача – изучение достаточно общих, встречающихся на практике, функций методами бесконечно малых или, что все равно, методами пределов. Сущность метода пределов будет постепенно изучаться на лекциях. Определение функции основывается на понятии множества, поэтому прежде всего необходимо познакомиться с понятием множества.

Глава 1

МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

§1.1 Множества и операции над ними.

§1.2 Понятие функции.

§1.3 Действительные числа. Свойство непрерывности действительных чисел.

§1.4 Топология числовой прямой. Расширенная числовая прямая.

§1.1 МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД

НИМИ

Часто мы сталкиваемся с трудноопределимым понятием, которое выражается словом совокупность. Например, можно говорить о совокупности людей, присутствующих в данный момент в данной аудитории, о совокупности дождливых

4

дней в данном году и т. д. По-видимому, в каждом из этих случаев можно было бы вместо слова совокупность употреблять слово множество. В математике постоянно приходится иметь дело с различными множествами: множество точек, являющихся вершинами какого-нибудь многоугольника, множество натуральных чисел (N), множество целых чисел (Z) и т. д. Если мы попытаемся дать точное определение понятию множества, то придем к определению множества через множество. Например: "Множество возникает путем объединения отдельных предметов в одно целое. Оно есть множественность, мыслимое как единство". Поэтому мы примем в качестве основного положения следующее:

"Вещи a; b; c; : : : особым, не подлежащим определению образом, определяют вещь M, и, обратно, вещь M определяет вещи a; b; c; : : :". Это отношение мы будем выражать словами: множество M состоит из объектов a; b; c; : : :. Таким образом, множество считается заданным, если про всякую вещь определено, входит она в это множество или нет.

Множества бывают конечными и бесконечными. Множество сторон многоугольника, множество корней некоторого многочлена – примеры конечных множеств, т. е. множеств, состоящих из конечного числа предметов. Примерами бесконечных множеств могут служить: множество целых чисел, множество четных чисел и т. д.

Множества мы будем обозначать прописными буквами

E; A; B; X; Y; : : :.

Если E обозначает некоторое заданное множество

определении случай A = B есть частный случай A B.

5

Свойства отношения : если E B, B A, то E A; X = Y тогда и только тогда, когда X Y и Y X.

Последнее из этих свойств часто употребляется для докозательства равенства двух множеств.

Замечание. Если множество состоит из одного элемента x, то лучше его обозначать другой буквой, например A, потому что надо отличать логически множество, состоящее из одного элемента, от самого этого элемента. Например, множество A = f1; 2g состоит из двух элементов, но множество fAg состоит из одного элемента (здесь множество A само является элементом множества fAg).

Множество, не содержащее в себе никаких элементов, называется пустым и обозначается ?. По определению ? A,

каково бы ни было множество A.

Всякому подмножеству X множества E сопоставимо подмножество CX, состоящее из всех элементов, которые не принадлежат X. CX называется дополнением множества.

Пусть X и Y – два множества. Определим: объединение X SY как множество, элементы которого обладают свойством "x 2 X либо x 2 Y "; пересечение X TY как множество,

элементы которого обладают свойством "x 2 X и x 2 Y ". Примеры.

1.Множество всех целых чисел есть объединение множества всех четных и множества всех нечетных чисел.

2.Множество всех целых чисел есть объединение множества X – всех нечетных чисел, не делящихся на три, множества Y – всех четных чисел, множества Z – всех чисел, делящихся на три (при этом множества Y и Z имеют общие элементы – числа, делящиеся на шесть).

3.Множество чисел, делящихся на шесть, есть пересечение множества четных чисел и множества всех чисел, делящихся на три.

Понятия "объединение"и "пересечение"распространяются на любое конечное и даже бесконечное число множеств.

Под объединением SXk семейства множеств fXkg будем

понимать множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному Xk.

Пересечение TXk множеств семейства fXkg определяется как множество, каждый элемент которого принадлежит

6

Из полученных включений следует справедливость равенства

[\ \ [ \

(X Y ) Z = (X Z) (Y Z):

Аналогично проверяется и равенство 2.

Операция вычитания множеств определяется следующим образом: "Разностью множеств X и Y (X n Y ) называется множество, элементы которого принадлежат X, но не принадлежат Y ".

В теории множеств и её приложениях весьма важную роль играет так называемый принцип двойственности, который основан на следующих соотношениях:

1. Дополнение пересечения равно объединению дополнений

\[

C( Xi) = CXi:

ii

2.Дополнение объединений равно пересечению дополнений

[\

C( Xi) = CXi:

i i

Упражнения.

Доказать следующие равенства:

1.E n F = E n (E TF ) = (E SF ) n F .

2.(E n G) T(F n G) = (E TF ) n G.

3.(E SF ) n G = (E n G) S(F n G).

8