§ 8.4 НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И РЯД

Определим ряд

171

N!+1

§8.5 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ В НЕСКОЛЬКИХ

ТОЧКАХ

Пусть на (a; b) задана функция f.

a

интегралом, имеющим особенности в точках a и b, если

1.a = 1 или, если a – конечная точка, в U(a) функция f не ограничена.

2.b = +1 или, если b – конечная точка, в U(b) функция f не ограничена.

3.Функция f интегрируема на любом [a0; b0], где a < a0 < b0 < b.

Пусть точка c делит (a; b) на две части (a; c) и (c; b) так, что

имеет единственную особенность в точке b. Заметим, что о таких

интегралах, имеющих особенность в единственной точке, нам известно, когда они сходятся как несобственные.

172

сходится (существует), при этом полагают

Докажем, что определение интеграла с двумя особенностями в точках a и b не зависит от выбора точки

ck+1

R f(x)dx (k = 0; : : : ; n 1) сходятся (существуют), то считают,

ck

b

что сходится (существует) R f(x)dx, при этом полагают

ck+1

Если хотя бы один из интегралов R f(x)dx не сходится

ck

b

(расходится, не существует), то и интегралR f(x)dx считается расходящимся. a

173

b

Определение 4. Интеграл R f(x)dx, имеющий несколько

a

особенностей, называется абсолютно сходящимся тогда и только

ck+1

тогда, когда все интегралы R f(x)dx сходятся абсолютно.

ck

174

ЛИТЕРАТУРА

1.Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1976.

2.Никольский С.М. Курс математического анализа. – М.: Наука, 1975. Т.I.

3.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч.1. – М.: Наука 1982.

4.Шерстнев А.Н. Конспект лекций по математическому анализу. Казанское матем. общество – Казань: УНИПРЕСС, 1998.

5.Фихтенгольц Г.М. Курс математического анализа. – М.: Физматгиз, 1962. Т.I – II.

6.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. – М.: Высшая школа, 1981. Т.I.

7.Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. – М.: Наука, Физматгиз, 1979.

175

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Глава 1. Множества и функции. Действительные числа

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

§ 1.1 Множества и операции над ними. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 § 1.2 Понятие функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 § 1.3 Действительные числа. Свойство непрерывности действительных чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 § 1.4 Топология числовой прямой. Расширенная числовая прямая.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

Глава 2. Предел последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

§ 2.1 Предел числовой последовательности. Элементарные свойства пределов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 § 2.2 Лемма о вложенных отрезках. Теорема Вейерштрасса.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

§2.3 Монотонные ограниченные последовательности. . . . 30

§2.4 Критерий Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

§2.5 Пределы в расширенной числовой прямой. Верхний и

нижний пределы последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Глава 3. Предел функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

§3.1 Предел функции. Свойства пределов функции. Первый замечательный предел.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

§3.2 Критерий Коши существования предела функции.. .41

§ 3.3 Модификация понятия предела функции в точке. . . 42 § 3.4 Второй замечательный предел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 § 3.5 Порядок функции. Эквивалентность (асимптотика).45

Глава 4. Непрерывные функции.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

§ 4.1 Непрерывные функции. Основные свойства функций, непрерывных в точке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 § 4.2 Точки разрыва. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 § 4.3 Свойства функций, непрерывных на отрезке. . . . . . . . 54

176

§ 4.4 Равномерная непрерывность. Продолжение по непрерывности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

§4.5 Непрерывность обратной функции.. . . . . . . . . . . . . . . . . .58

§4.6 Показательная функция. Логарифмическая, степенная,

гиперболические функции.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

Глава 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

§5.1 Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

§5.2 Дифференцируемые функции. Дифференциал функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

§5.3 Техника дифференцирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

§5.4 Производные и дифференциалы высших порядков. 73

§5.5 Основные теоремы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

§5.6 Правило Лопиталя. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

§ 5.7 Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

§5.8 Формула Тейлора для некоторых элементарных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

§5.9 Локальная формула Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88

§5.10 Ряд Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

§5.11 Исследование поведения функции с помощью понятия производной (возрастание и убывание функции на отрезке, локальный экстремум). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92

§5.12 Исследование поведения функции с помощью понятия производной (выпуклость, точки перегиба). . . . . . . . . . . . . . 96

Глава 6. Первообразная и неопределенный интеграл

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

§ 6.1 Определение первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. . . . . . . . 102 § 6.2 Неопределенные интегралы от простейших элементарных функций. Примеры вычисления неопределенных интегралов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 § 6.3 Отыскание первообразных для рациональных функций

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 § 6.4 Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

177

ИНТЕГРАЛ РИМАНА. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Глава 7. Определенный интеграл. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

§ 7.1 Определение интеграла Римана. Необходимое условие интегрируемости функции по Риману.. . . . . . . . . . . . . . . . . . .119

§7.2 Верхние и нижние интегральные суммы.. . . . . . . . . . .124

§7.3 Необходимое и достаточное условие интегрируемости

функции по Риману. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 § 7.4 Некоторые классы интегрируемых функций.. . . . . . .130 § 7.5 Основные свойства интеграла Римана. . . . . . . . . . . . . . 134 § 7.6 Свойства интеграла Римана, в которых фигурируют неравенства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 § 7.7 Интеграл как функция верхнего предела. . . . . . . . . . . 141

§7.8 Формула Ньютона-Лейбница.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143

§7.9 Общие приемы интегрирования.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149

§ 7.10 Некоторые приложения интеграла Римана. . . . . . . . 150

Глава 8. Несобственные интегралы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

§8.1 Определения несобственных интегралов и некоторые общие свойства несобственных интегралов.. . . . . . . . . . . . . .161

§8.2 Несобственные интегралы от неотрицательных

функций.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166 § 8.3 Интегрирование по частям.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169 § 8.4 Несобственный интеграл и ряд. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 § 8.5 Несобственный интеграл с особенностями в нескольких точках. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

178

Дубровин Вячеслав Тимофеевич

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ,

ЧАСТЬ I

Редактор Н.А. Холстинина

Компьютерная верстка автора Дизайн обложки

179

Подписано в печать 2012г.

Бумага офсетная. Печать ризографическая.

10; 46

Уч.-изд. л. 9,5. Тираж 400экз. Заказ 177/4.

Казанский университет

420008, г.Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37 тел. (843) 233-73-59, 292-65-60

180