Глава 6

ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§6.1 Определение первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.

§6.2 Неопределенные интегралы от простейших элементарных функций. Примеры вычисления неопределенных интегралов.

§6.3 Отыскание первообразных для рациональных функций.

§6.4 Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных функций.

§6.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ И НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Определение 1. Функция F : E ! R (E – открытое множество из R) называется первообразной функции f : E!R,

если F 0(x) = f(x); x 2 E.

Будем считать, что функции, для которых ищутся первообразные, являются непрерывными и заданными на некотором интервале (a; b). Такое допущение вполне оправдано, так как в дальнейшем будет доказано, что для каждой непрерывной функции первообразная существует.

Теорема. Если F – первообразная для функции f, то все

возможные первообразные для f выражаются формулой: F (x)+ C, где C может быть любой const.

Доказательство. Нам нужно доказать, что множество

функций вида F (x) + C (C – произвольная const) совпадает с множеством всех первообразных функций f. Если F – первообразная функции, то очевидно, что функция F (x) + C есть также первообразная функции f, так как (F (x) + C)0 = F 0(x) = f(x). Обратно, пусть G – первообразная функции f, не

102

равная F (x): ) (G(x) F (x))0 = f(x) f(x) = 0; 8x 2 (a; b). Тогда, по теореме 1 (см. § 5.5), получаем G(x) F (x) = C const, т. е. G(x) = F (x) + C.

Определение 2. Неопределенным интегралом от

непрерывной функции f называется произвольная ее первообразная. Обозначение: R f(x)dx.

Из теоремы следует: если F – определенная первообразная функции f, то R f(x)dx = F (x) + C, где C const.

Свойства неопределенного интеграла

10. R ( f(x) + g(x))dx = R f(x)dx + R g(x)dx + C; ; 2 R. 20. R (f(x)g0(x)dx = f(x)g(x) R g(x)f0(x)dx + C (формула интегрирования по частям).

30. R f(t)dt = R f('(x))'`(x)dx + C; t = '(x) (формула замены

переменной). Доказательство.

1.(R ( f(x)+ g(x)dx)0= f(x)+ g(x). ( R f(x)dx+ R g(x)dx+ C)0 = (R f(x)dx)0 + (R g(x)dx)0 = f(x) + g(x). Тогда

из теоремы 1 (см. § 5.5), следует 10: R ( f(x) + g(x))dx =

=R f(x)dx + R g(x)dx + C.

2.(R f(x)g0(x)dx)0 = f(x)g0(x). (f(x)g(x) R g(x)f0(x)dx+C)0 =

=f0(x)g(x) + f(x)g0(x) g(x)f0(x) = f(x)g0(x): ) 20.

§ 6.2 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ

ПРОСТЕЙШИХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Таблица неопределенных интегралов от простейших элементарных функций.

103

Все приведенные формулы следуют из соответствующих формул для производных элементарных функций.

ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1.R (6x2 3x + 5)dx = 6 R x2dx 3 R xdx + 5 R dx = 2x3 32x2 + 5x + C (здесь мы использовали свойство 10 и формулу 3. из таблицы).

свойство 3 : t = cos x)).

3.R ln xdx = x ln x R xd ln x = x ln x R dx = x(ln x 1) + C

(здесь мы использовали формулу интегрирования по частям (см. свойство 20)).

104

105