- •МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
- •1.2 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
- •1.4 ТОПОЛОГИЯ ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ. РАСШИРЕННАЯ ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ
- •ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
- •2.1 ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
- •2.2 ЛЕММА О ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКАХ. ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА
- •2.3 МОНОТОННЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
- •2.4 КРИТЕРИЙ КОШИ
- •ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
- •3.1 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИИ. ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
- •3.2 КРИТЕРИЙ КОШИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ
- •3.3 МОДИФИКАЦИЯ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
- •3.4 ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
- •3.5 ПОРЯДОК ФУНКЦИИ. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ (АСИМПТОТИКА)
- •НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
- •4.2 ТОЧКИ РАЗРЫВА
- •4.3 СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ
- •4.4 РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ. ПРОДОЛЖЕНИЕ ПО НЕПРЕРЫВНОСТИ
- •4.5 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ
- •4.6 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ, СТЕПЕННАЯ, ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
- •ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
- •5.2 ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
- •5.3 ТЕХНИКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
- •5.5 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
- •5.6 ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
- •5.7 ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
- •5.8 ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
- •5.9 ЛОКАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
- •5.10 РЯД ТЕЙЛОРА
- •ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •6.3 ОТЫСКАНИЕ ПЕРВООБРАЗНЫХ ДЛЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
- •ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •7.2 ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СУММЫ
- •7.3 НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ ПО РИМАНУ
- •7.4 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
- •7.5 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА РИМАНА
- •7.6 СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА РИМАНА, В КОТОРЫХ ФИГУРИРУЮТ НЕРАВЕНСТВА
- •7.7 ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА
- •7.8 ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА
- •7.9 ОБЩИЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
- •7.10 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА РИМАНА
- •НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
- •8.2 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
- •8.3 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
- •8.4 НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И РЯД
Глава 2 ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§2.1 Предел числовой последовательности. Элементарные свойства пределов.
§2.2 Лемма о вложенных отрезках. Теорема Вейерштрасса.
§2.3 Монотонные ограниченные последовательности.
§2.4 Критерий Коши.
§2.5 Пределы в расширенной числовой прямой. Верхний и нижний пределы последовательности.
§ 2.1 ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Определение 1. Число a называется пределом числовой последовательности (xn), если для любого " > 0
найдется (зависящее от ") натуральное число N такое, что для всякого n > N выполняется неравенство: jxn aj < ". В этом случае пишут lim xn = a (или xn ! a) и говорят, что (xn) сходится (или стремится) к a.
Замечания:
1. xn ! a означает, что любая окрестность точки a является "ловушкой" последовательности, т. е. все члены последовательности, начиная с некоторого номера, попадают в наперед заданную окрестность точки a.
Доказательство. Пусть xn ! a. Возьмем произвольную
окрестность точки a:U(a)=(c; d). Выбираем " = min(a c; d a). Так как xn ! a, то для любого " > 0 (в частности и для нами выбранного) найдется номер N такой, что для всех n > N будет справедливо jxn aj < ", т. е. все члены последовательности, начиная с номера N + 1, будут принадлежать (a "; a + "),
который, в силу выбора ", принадлежит U(a).
2. Приведем запись определения lim xn = a в кванторах:
8 " > 0 9 N 2 N 8 n > N (jxn aj < "): |
( ) |
В частности, xn ! 0 означает, что 8 " > 0 9 N 2 N 8 n > N (jxnj < "). Отсюда следует: xn ! 0 тогда и только тогда, когда
jxnj ! 0.
25
3. Изменение конечного числа членов последовательности не влияет на её сходимость.
Справедливость данного замечания следует из того, что условие jxn aj < ", из определения lim xn, выполняется, начиная с некоторого конечного N. Если мы изменим число
членов, у которых наибольший номер N0 < N, то для (xn) |
||||||
по-прежнему выполняется ( ) и lim xn = a. Если же N0 будет |
||||||
больше N, то мы просто выбираем в ( ) N = N0, и по-прежнему |
||||||
lim xn = a. |
|
|
|
|
|
|
|
Определение 2. Пусть (xn) – последовательность и n1 < |
|||||
< n2 |
< : : : (nk 2 N). Последовательность (yk), где yk |
= xnk (k 2 |
||||
N) |
называется |
подпоследовательностью последовательности |
||||
(xn) и обозначается (xnk ). |
(xn) |
сходится, |
то |
любая |
||
|
Теорема. |
Если |
подпоследовательность (xnk ) сходится к тому же самому |
|
пределу. |
! a. Следовательно, любая |
Доказательство. xn |
" - окрестность точки a является "ловушкой" последовательности (xn). Отсюда из определения 2 подпоседовательности следует, что эта же " - окрестность будет "ловушкой" любой подпоследовательности (xnk ). Согласно замечанию 1 это означает, что xnk ! a.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ
1.Если lim xn существует, то он единственен.
Доказательство. Пусть (xn) имеет два различных предела
a и b (a 6= b). Две различные точки всегда имеют непересекающиеся окрестности U(a) и U(b) (U(a) TU(b) =
= ). Так как xn ! a и xn ! b, то U(a) и U(b) являются "ловушками" (xn), т. е. в U(a) попадают все члены (xn),
начиная с некоторого номера. То же справедливо для U(b). Очевидно, что этого не может быть, так как U(a) TU(b) = = . Следовательно, a = b.
2. x "Свойство двух милиционеров": если xn ! a; yn ! a; xn zn yn(n 2 N), то zn ! a.
Доказательство. Пусть " > 0. Тогда при достаточно
большом N : a " < xn < a + "; a " < yn < a + " (n > N). Следовательно, a " < xn zn yn < a + " (n > N), т. е.
zn ! a.
26
3. Если xn ! a, то jxnj ! jaj.
Доказательство. Следует из неравенства jjxnj jajjjxn aj.
4.Если (xn) сходится, то она ограничена.
Доказательство. Положим " = 1 в определении предела
последовательности. Тогда 9 N 2 N; 8 n > N : jxn aj < 1.
Отсюда, т. к. j jxnj jaj j jxn aj, следует jxnj
M (n 2 N), где M = maxfjaj + 1; jx1j; : : : ; jxnjg, т. е. (xn)
– ограничена.
5.Арифметические свойства:
а) lim(xn yn) = lim xn lim yn, б) lim(xn yn) = lim xn lim yn,
в) lim(xn n yn) = lim xn n lim yn, (lim yn 6= 0).
В том смысле, что если определены правые части равенств, то определены и левые, и они равны.
Доказательство. Пусть xn ! a; yn ! b; |
" |
|
а) j(xn + yn) (a + b)j jxn aj + jyn bj. Так как xn ! |
||
yn ! b, то |
|
a; |
"8 " > 0; 9 N 2 N; 8 n > N : jxn aj < 2; |
||
jyn bj < |
2. Отсюда следует 8 " > 0; 9 N 2 N; 8 n > |
N : j(xn + yn) (a + b)j jxn aj + jyn bj < ", т. е.
(xn + yn) ! a + b;
б) справедливы неравенства: jxnyn abj jxnyn aynj +
+jayn abj jynjjxn aj+jajjyn bj. Так как xn ! a; yn ! b; jynj M (в силу свойства 4), то всегда можно выбрать N 2
N такими, что для любых n > N : jynjjxn aj+jajjyn bj < ", где " > 0 – любое наперед заданное число;
в) пусть yn ! b 6= 0. Тогда 9 N 2 N; 8 n > N : j jynj jbj jjyn bj < j2bj. Отсюда следует: jynj > j2bj; 8 n > N. Далее,
1 |
1 |
jyn bj |
|
2 |
|
||
получаем j |
|
b j = |
|
|
< |
|
jyn bj; 8 n > N. Так как |
yn |
|
|
jbj2 |
yn ! b, то N можно выбрать таким, что jb2j2 jyn bj < " при
8 n > N. Таким образом, 1 ! 1. Отсюда и из свойства б)
yn b
nyn ! a1b = ab .
6.Если xn ! 0, а (yn) ограничена, т. е. существует число M > 0 такое, что jynj M (n 2 N), то xnyn ! 0.
27
Доказательство. Справедлива оценка 0 jxnynj Mjxnj.
По свойству 3, если xn ! 0, то jxnj ! 0. Следовательно, |
|||||||||||||||||||
Mjxnj ! 0. Отсюда, по свойству 2, следует jxnynj ! 0. |
|||||||||||||||||||
Следовательно, xnyn ! 0. x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Примеры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. lim pn |
|
|
|
= 1 (здесь a 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a |
= pn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Доказательство. Положим zn |
|
|
1 0. Тогда a = |
||||||||||||||||
a |
|||||||||||||||||||
= (1 + zn)n 1 + nzn. Следовательно, 0 zn |
an |
1 |
. Отсюда |
||||||||||||||||
(по "Свойству двух милиционеров") следует z |
n |
! |
0, т. е. |
||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
! . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
p |
a n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= 1 + z |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. lim p |
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n |
|
= pn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Доказательство. Положим zn |
|
1 0. Тогда n = |
|||||||||||||||||
n |
= (1+zn)n = 1+nzn+ |
n(n 1) |
z2+: : : > |
n(n 1) |
z2. Отсюда следует |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1=2 |
|
2 n |
2 |
n |
||||||
0 |
|
z |
2 |
|
|
|
|
двух милиционеров"(т. к. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
n1=2 |
|
|
|
|
. По "Свойству |
|
|
|
|
|
|
|||
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
! 0) имеем: zn ! 0, т. е. p |
|
= 1 + zn ! 1. |
|
|
|||||||||
|
n |
|||||||||||||||
n 1 |
|
|||||||||||||||
|
§ 2.2 ЛЕММА О ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКАХ. ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА
ЛЕММА О ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКАХ
Любая |
последовательность вложенных отрезков I1 |
|
I2 : : : (In |
= [an; bn]) обладает общей точкой, причем если |
bn an ! 0, то эта точка будет единственной. Доказательство. Докажем сначала существование точки,
общей для всех In. Множество E = fa1; a2; : : : g левых концов отрезков ограничено сверху (например, числом b1), и, следовательно (см. "Свойство непрерывности действительных
1
чисел"), существует a = sup E. Точка a 2 T In : во-первых,
|
n=1 |
|
ak a (k = 1; 2; 3; : : : ); во-вторых, каждое bk |
– мажоранта E, |
|
так как |
an bn bk при n k; |
|
an ak bk при n < k
28
и, следовательно, a, будучи наименьшей мажорантой E, обладает свойством a bk (k = 1; 2; : : : ). Таким образом,
1
an a bn; n 2 N, т. е. a 2 T In.
n=1
Покажем, что an ! a, для чего достаточно применить "Свойство двух милиционеров" к неравенству 0 a an bn an (n 2 N). Так как, если предел существует, то он единственный (см. свойство 1), и поэтому a будет единственной точкой, принадлежащей всем In.
ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА
Бесконечное ограниченное множество E R обладает по крайней мере одной предельной точкой.
Доказательство. Множество E – ограничено. ) существует
число M |
|
> |
|
0 |
такое, |
что E |
|
[ M; M]. |
Построим |
||||||||
последовательность |
вложенных |
отрезков |
In |
= |
[an; bn]: |
||||||||||||
положим |
I1 |
= |
[ M; M]; |
в качестве |
I2 |
возьмем тот из |
|||||||||||
двух отрезков [ M; 0]; [0; M], который содержит бесконечное |
|||||||||||||||||
подмножество |
E; |
если I1 |
|
I2 |
|
|
|
|
In 1 уже |
||||||||
построены, |
то |
в |
качестве |
In |
возьмем |
тот |
из |
двух |
отрезков |
||||||||
[a |
n 1 |
; a |
+ bn 1 an 1 |
]; [a |
n 1 |
+ bn 1 an 1 ; b |
n 1 |
], который содержит |
|||||||||
|
n 1 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
E. |
По построению |
||||||
бесконечное |
подмножество |
множества |
bn an ! 0. По лемме о вложенных отрезках существует точка,
1
общая всем In (a 2 T In). Покажем, что a является искомой
n=1
точкой. Пусть U(a) – произвольная окрестность a. Тогда
существует N 2 |
N такое, что In = [an; bn] U(a) (n > N), т. |
||
е. произвольной окрестности U(a) принадлежит бесконечное |
|||
множество точек множества E. Следовательно, a – предельная |
|||
точка множества E. |
|
|
|
|
|||
|
Следствие. Каждая ограниченная последовательность
обладает сходящейся подпоследовательностью. Доказательство. По теореме Вейерштрасса ограниченная
последовательность (как бесконечное ограниченное множество) обладает предельной точкой a. ) любая окрестность a содержит бесконечное множество элементов последовательности (xn). ) Любая окрестность a должна быть "ловушкой" хотя бы одной подпоследовательности
(xnk ) ) xnk ! a.
29