q

) t = ln xa + xa22 1 :

q

§6.3 ОТЫСКАНИЕ ПЕРВООБРАЗНЫХ ДЛЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

106

числовыми функциями вида P (x) = amxm + am 1xm 1 + +

a0; Q(x) = bnxn+bn 1xn 1+ +b0, ai; bk 2 R; i = 0; : : : ; m; k = 0; : : : ; n. Пусть SP ; SQ – показатели степени многочленов P (x)

и Q(x) (в нашем случае SP = m; SQ = n). Будем называть f(x) правильной рациональной дробью, если m < n. Допустим, что

am = 1; bn = 1.

Известно, что любой действительный многочлен с целыми показателями степени можно разложить на простые множители типа (x a) и x2 + px + q (a; p; q 2 R). Поэтому будем считать, что многочлен Q(x) разложен на следующие множители: Q(x) =

=(x a) : : : (x b) (x2 + px + q) : : : (x2 + rx + s) ,

xТеорема. При сделанных предположениях для функции+ + + 2( + + ) = n

f(x) = P (x)=Q(x) справедливо единственное представление вида

107

(в этом легко убедиться, приводя (1) к общему знаменателю). Определим A1 так, чтобы левая часть (3) делилась на (x a). Для этого достаточно, чтобы ее значение при x = a было нулем. Таким образом,

P (a) A1 = U(a);

что имеет смысл, так как U(a) 6= 0.

При указанном выборе A1 многочлен R(x) определяется просто как частное:

1

R(x) = x a(P (x) A1U(x)):

При этом R(x) будет многочленом, так как a – корень многочлена P (x) A1U(x). Степень многочлена R(x) на единицу меньше степени многочлена P (x), так что S1 – правильная рациональная дробь. Равенство (1) доказано.

Для доказательства (2) достаточно числа C1 и D1 и многочлен T (x) подобрать так, чтобы имело место тождество

(проверяется это приведением (2) к общему знаменателю). Определим числа C1 и D1 так, чтобы на этот раз делилась на x2 + px + q левая часть равенства (4). Пусть остатками от деления P (x) и V (x) на этот трехчлен будут, соответственно, a1x + b1 и cx + d. Тогда вопрос сведется к тому, чтобы на x2 + px + q делилось выражение ax + b1 (C1x + D1)(cx + d) =

= cC1x2 + (a1 dC1 cD1)x+ (b1 dD1). Выполнив деление на x2 +px+q, мы получим в остатке [(pc d)C1 cD1 +a1]x+[qcC1

dD1 + b1]. C1 и D1 нужно подобрать так, чтобы коэффициенты, стоящие в квадратных скобках, равнялись нулю. Поэтому для определения C1 и D1 имеем систему из двух линейных

108

уравнений:

Определитель данной системы

где выражение в квадратных скобках есть значение трехчлена x2 + px + q в точке x = dc и, следовательно, не может быть

нулем, ибо трехчлен этот не имеет вещественных корней; при c = 0 определитель сводится к d2, а в этом случае d 6= 0, так как многочлен V (x) на x2 + px + q не делится.

Многочлен T (x), после установления чисел C1 и D1, определяется как частное:

1

T (x) = x2 + px + q[P (x) (C1x + D1)V (x)];

причем T (x) будет действительно многочленом, так как числа C1 и D1 подбираются так, что P (x) (C1x + D1)V (x) делится

на x2 + px+ q. Степень многочлена T (x) на две единицы меньше степени многочлена P (x), поэтому S2(x) будет правильная рациональная дробь.

Доказательство теоремы сведется к повторному

применению предложений (1) и (2) из леммы, которые позволяют последовательным понижением степени многочлена Q(x) получить ( ).

Если множитель (x a) входит в Q(x) в первой степени, то в силу (1) ставим ему в соответствие единственную простую

дробь вида xA1a.

Если же показатель степени (x a) есть > 1, то, выделив на основании (1) простую дробь (xAa1 ) , мы к оставшейся

дроби снова применим (1) и выделим, таким образом, простую

109

Такое же рассуждение мы поочередно применим и к каждому из оставшихся ещё линейных множителей, пока знаменатель не исчерпается или в его разложении останутся одни лишь квадратичные множители.

Аналогичным образом, пользуясь (2) из леммы, мы поставим в соответствие квадратичному множителю x2 + px + q

одну лишь простую дробь вида C1x+D1 , если он входит в первой

x2+px+q

степени, и группу из простых дробей

если этот множитель входит с показателем степени > 1. То же можно проделать и с прочими квадратичными множителями,

следующем. Правая часть ( ) приводится к общему знаменателю, которым, очевидно, будет Q(x). Приравнивая числители, мы придем к равенству двух многочленов тождественному относительно x:

P (x) = Mn 1xn 1 + Mn 2xn 2 + : : : + M1x + M0;

110

= Ax4+2Ax2+A 2Bx3+Bx2 2C 2Cx2+Cx+Bx4 2Bx+Cx3+Dx2+Ex 2Dx 2E :

(x 2)(x2 1)2

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях x, получим систему уравнений

8

A + B = 0

>

>

> 2B + C = 0

>

<

2A + B 2C + D = 2

>

>C 2B + E 2D = 2

>

>

:A 2C 2E = 13

неправильной, т. е. sp sQ, то сначала дробь QP ((xx)) приводят к

111

превращается в сумму интегралов от простых дробей, которые мы знаем как вычислить (см. примеры вычисления неопределенных интегралов из § 6.2)

Таким образом, мы умеем вычислять интегралы от рациональных дробей.

Определение. Рациональной функцией от x будем называть

функцию, которая получается в результате применения к x конечного числа арифметических операций: умножение, вычитание, сложение, деление.

Примеры:

1.Любой многочлен P (x) есть рациональная функция от x.

2.f(x) = QP ((xx)), где P (x); Q(x) – многочлены, есть рациональная функция от x.

Так как любая рациональная функция от x имеет вид многочлена от x или легко приводится к виду P (x)=Q(x), где P (x); Q(x) – некоторые многочлены, то нам известно, как вычисляются интегралы от рациональных функций. x

§ 6.4 ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ И

ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ

1. Интегрирование алгебраических иррациональ-

ностей.

Рациональная функция от x; u; v; : : : ; w получается в результате применения к x; u; v; : : : ; w арифметических операций (сложения, вычитания, умножения и деления), взятых в конечном числе. Пусть R(x; u; v; : : : ; w) – обозначение рациональной функции от x; u; v; : : : ; w. Рассмотрим интеграл

где ; : : : ; 2 Q и имеют наименьший общий знаменатель m :=mp ; : : : ; =mq . В интеграле (1) сделаем подстановку tm=axcx++db :

x = dtm b = '(t) – рациональная функция от t; '0(t) –

a tmc

112

производная от '(t) – есть, очевидно, рациональная функция от t. После чего интеграл (1) сводится к интегралу:

Рассмотрим интеграл вида

Предполагаем, что трехчлен cx2 + bx + a не имеет разных корней, так что корень из него не может быть заменен рациональным выражением. Мы изучим три подстановки, называемые подстановками Эйлера, с помощью которых можно всегда достичь рационализации подинтегрального выражения.

I подстановка приложима в случае, когда c > 0.

(можно было бы положить) pcx2 + bx + a = t + pcx: После возведения в квадрат этого равенства, получим

Возведем равенство в квадрат, уничтожим a в обеих частях и сократим x. Получим

p cx + b = xt2 + 2 at:

113

Отсюда следует x = 2pat b = '3(t); pcx2 + bx + a = xt + pa =

c t2

= '4(t); dx = '03(t)dt, где '3(t); '4(t); '03(t) – рациональные функции от t. После подстановки полученных выражений в

интеграл (2) мы получим рационализацию подинтегрального выражения.

IIIподстановка пригодна в случае, когда cx2 + bx + a =

=c(x )(x ).

p

cx2 + bx + a = t(x ):

Возведя в квадрат и сокращая на x , получим уравнение первой степени относительно x:

dx = '05(t), где '5(t); '6(t); '05(t) – рациональные функции от t. После подстановки полученных выражений в интеграл (2)

мы получим интеграл от рациональной функции.

Замечание 1. Подстановок Эйлера I и III одних достаточно для того, чтобы осуществить рационализацию подинтегрального выражения в (2) во всех возможных случаях.

Доказательство. Если cx2 + bx + a имеет действительные

корни, то приложима подстановка III. Если же действительных корней нет, т. е. b2 4ac < 0, то трехчлен

cx2 + bx + a = 41c[(2cx + b)2 + (4ac b2)]

при любых x имеет знак c. Случай c < 0 нас не интересует,

так как тогда pcx2 + bx + a вовсе не имел бы действительных значений. В случае же c > 0 применима подстановка I.

Замечание 2. Случаи подстановок I и II (c > 0; a > 0) приводятся один к другому подстановкой x = 1. Поэтому всегда можно избегать применения подстановки II. z

114

Доказательство. Пусть c > 0. Тогда cx2 + bx + a = c(z1)2 +

Zp

= R3(z; c + bz + az2)dz:

где a; b 2 R(a; b 6= 0); m; n; p 2 Q. Подинтегральное выражение xm(a + bxn)p называется биноминальным дифференциалом.

Сделаем замену (подстановку): xn = t: x = t1=n; dx = n1 t(n1 ) 1dt, поэтому интеграл (3) приводится к виду

Если положить mn+1 1 = q, то вопрос сводится к интегралу вида

Z

Утверждение. Интеграл (4) всегда берется в элементарных

функциях, если одно из чисел p; q; p + q – целое (положительно, нуль или отрицательно).

Доказательство.

1. p – целое число. Тогда

Z Z

tq(a + bt)pdt = R(t; tq)dt; (5)

115

где R(t; tq) – некоторая рациональная функция от t и tq. 2. q – целое число. Тогда

Z Z

tq(a + bt)pdt = R(t; (a + bt)p)dt; (6)

где R(t; (a + bt)p) – некоторая рациональная функция от t и

(a + bt)p.

3. p + q – целое число. Тогда

Все интегралы (5) – (7) имеют вид интегралов (1) (см. интегрирование алгебраических иррациональностей), каждый из которых приводится к интегралу от рациональной функции с

помощью соответствующих подстановок. Допустим m = N ; n =

и соответствующие подстановки (8) можно объединить и получить подстановки, приводящие интеграл (3) сразу к интегралу от рациональной функции.

1 сл. (p – целое). x = t1=n; u = t: ) x = u =n = uN . Получим

подстановку: x = uN , где N – наименьший общий знаменатель чисел m и n.

2 сл. (q – целое). x = t1=n; ui = a + bt: ) ui = a + bxn, где i – знаменатель числа p.

3 сл. (p – целое). x = t1=n; ui = a+tbt: ) ui = ax n + b, где i – знаменатель числа p.

116

где R(u; v) – рациональная функция от u и v. Такие интегралы могут быть рационализированы подстановкой: t = tg x2 ; x 2

( ; ). Действительно,

где R4(t) – рациональная функция от t.

Приведенная подстановка является универсальной, но она приводит иной раз к сложным выкладкам. Существуют случаи, когда цель может быть достигнута с помощью более простых подстановок.

Предварительно сделаем несколько элементарных замечаний из алгебры:

1. Если R( u; v) = R(u; v), то R(u; v) = R1(u2; v), где R1(u2; v)

содержит лишь четные степени u.

2. Если R( u; v) = R(u; v), то R(u; v) = R2(u2; v) u, где

R2 – рациональная функция от u2 и v. Первое замечание очевидно. Докажем второе замечание. Рассмотрим функцию

R3(u; v) = R(u;vu ), где R( u; v) = R(u; v): ) R3( u; v) =

117

3. (R( u; v) = R(u; v)). R(u; v) = R(uv v; v) = R (uv ; v): ) R( u; v) = R ( uv ; v) = R (uv ; v) = R (uv ; v): ) R (uv ; v) =

R1(uv ; v2): ) R(sin x; cos x) = R (cossin xx; cos x) = R1(tg x; cos2 x) =

принадлежит классу R(sin x; cos x), уже нами рассмотренному.

x

118