Лемма 2. Пусть E = fag – произвольное непустое множество действительных чисел. Тогда

1.Если существует sup E, то существует inff ag = sup E.

2.Если существует inf E, то существует supf ag = inf E.

Литература: [3], с. 45 – 47.

Замечание. sup E(inf E) не обязательно принадлежит E. Например, inf a = 0, при этом 0 2= fa > 0g. Действительно,

a>0

множество E = fa > 0g ограничено снизу 0, а среди положительных чисел нет минорант множества E, так как для любого c 2 E всегда существует действительное число b > 0 такое, что c > b > 0.

§ 1.4 ТОПОЛОГИЯ ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ. РАСШИРЕННАЯ ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ

Для промежутков в R будем использовать следующие обозначения:

(a; b) = fx 2 Rja < x < bg – интервал, [a; b] = fx 2 Rja x bg – отрезок,

[a; b) = fx 2 Rja x < bg, (a; b] = fx 2 Rja < x bg,

( 1; b] = fx 2 Rjx bg,

(a; +1) = fx 2 Rjx > ag. Определения:

10 Окрестностью точки a 2 R называется любой интервал

(c; d), содержащий точку a : c < a < d. Для окрестности точки a будем использовать обозначение U(a).

20 "-окрестностью точки a 2 R называется интервал

(a "; a + "), " > 0.

Замечание. Любые две различные точки a; b 2 R обладают непересекающимися окрестностями: U(a) TU(b) = .

30 Проколотой окрестностью точки a 2 R называется

= (c; a) S(a; d)).

22

40 Множество называется открытым, если оно вместе

с каждой своей точкой содержит целиком и некоторую окрестность этой точки.

Пример. Интервал (a; b) R есть множество открытое, так как если x 2 (a; b), то (x "; x + ") (a; b), где " =

= min(x a; b x).

50 Множество F R называется замкнутым, если R n F открыто.

Пример. Множество fag, состоящее из одной точки, является замкнутым.

60 Точка a 2 E называется изолированной точкой E, если

справедливость замечания. Покажем, что любая точка R является предельной точкой множества рациональных чисел Q. Пусть a 2 R и U(a) = (c; d) – произвольная окрестность точки a. Из свойств порядка действительных чисел (см. свойство 3) следует, что существует действительное число q такое, что, например, c < q < a , причем из доказательства данного свойства следует, что q 2 Q. Таким образом, точка a является предельной точкой множества Q. Если a 2= Q, то мы получаем пример, когда предельная точка множества не принадлежит самому множеству.

Замечание 2. Если E – бесконечное множество, то любая окрестность точки, предельной для множества E содержит бесконечное множество точек из E.

Доказательство. Пусть (ak; bk); k = 1; 2 : : : , – последовательность вложенных друг в друга окрестностей

точки a, причем a1 > a2 > a3 > : : : ; b1 < b2 < b3; : : : . Так как a

– предельная точка множества E, то любая окрестность (ak; bk) точки a содержит по крайней мере одну точку из множества E. Отсюда следует, что окрестность (a1; b1) содержит бесконечное множество точек из E. Окрестность (a1; b1) выбиралась произвольно, поэтому утверждение замечания 2 доказано.

23

РАСШИРЕННАЯ ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ

Иногда бывает удобно присоединить к числовой прямой R одну (1) или две (+1; 1) точки (так называемые несобственные числа).

Определение 1. Множества R Sf1g; R Sf 1g называются расширенными числовыми прямыми.

(M; +1) (соответственно ( 1; N)).

24