угодно малым d( ) при i 2 Q имеем

Если же i выбрать иррациональными, то для того же разбиения, получим S = 0. Таким образом, для функции Дирихле не существует предела интегральных сумм, не зависящего от выбора точек i, т. е. эта функция не интегрируема.

В дальнейшем мы докажем интегрируемость всех непрерывных на [a; b] функций и интегрируемость широкого класса разрывных функций.

§ 7.2 ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СУММЫ

называются соответственно верхней и нижней (интегральными) суммами функции f для данного разбиения отрезка [a; b].

Очевидно, что S S S .

Докажем следующие свойства верхних и нижних интегральных сумм:

10: Для любого фиксированного разбиения

образом, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам 0 S S < ".

124

Доказательство. Пусть – некоторое разбиение отрезка [a; b] и " > 0. Докажем, что существуют точки i 2 [xi 1; xi]

i=1

По определению Mi при данном " > 0 на [xi 1; xi] существуетi 2 [xi 1; xi] такая, что

0 Mi f( i) < "=(b a); i = 1; 2; : : : ; n:

Умножая эти неравенства на xi = xi xi 1 и затем складывая, получим

добавления новых точек к точкам разбиения этого отрезка,

то S S 0; S 0 S , т. е. нижняя сумма не убывает, а верхняя

– не возрастает при увеличении числа точек разбиения отрезка

[a; b].

Доказательство. Очевидно, что данное свойство достаточно

Тогда

S 0 S 00; S 00 S 0;

125

т. е. нижняя сумма одного из этих разбиений не превосходит верхнюю сумму другого.

Доказательство. Очевидно, что для разбиения верно:

S S . Пусть – разбиение [a; b], полученное объединением

разбиений 0 и 00. Разбиение получено из разбиения 0 добавлением к нему точек разбиения 00, поэтому по свойству

20 имеем

S 0 S S S 0:

В то же время разбиение может быть получено из разбиения00 добавлением к нему точек разбиения 0. Поэтому

S 00 S S S 00:

Из полученных неравенств следует, что

для всевозможных разбиений отрезка [a; b] ограничено снизу. Множество fS g нижних сумм ограничено сверху.

Доказательство. Из свойства 30 следует, что любая

верхняя интегральная сумма ограничена снизу некоторой фиксированной нижней интегральной суммой. Любая нижняя интегральная сумма ограничена сверху некоторой фиксированной верхней интегральной суммой.

50: Пусть разбиение 0 отрезка [a; b] получено из разбиения

S S 0 (M m)pd( ); S 0 S (M m)pd( );

Доказательство. Очевидно, что это свойство достаточно

доказать для случая, когда к разбиению добавляется одна точка x0. Как и при доказательстве свойства 20, имеем

126

Mi Mi00 M m: ) S S 0 (M m)( x0i + x00i ) = (M

m) xi. xi d( ), поэтому S S 0 (M m)d( ). Таким образом, мы доказали неравенство для верхних интегральных

Дарбу от функции f(x).

Замечание. I I.

Доказательство. Пусть I > I. Тогда I I = " > 0. Из определения точных граней I и I вытекает, что существуют

числа S 0; S 00, представляющие собой соответственно верхнюю и нижнюю суммы некоторых разбиений 0 и 00 отрезка [a; b],

такие, что I + 2" > S 0 и I 2" < S 00. Вычитая второе неравенство

из первого и учитывая, что I I = ", получим S 00 > S 0. Но

это последнее неравенство противоречит свойству 30 верхних и нижних сумм. Таким образом, I I.

Лемма Дарбу. I и I от функции f(x) по отрезку [a; b] являются соответственно пределами верхних и нижних сумм при d( ) ! 0.

Доказательство. Докажем, например, что lim S = I.

d( )!0

Заметим, что если f(x) = c = const, то лемма очевидна, так как

в этом случае M = m и, следовательно, S = I = I = S при любом разбиении . Учитывая это замечание, будем считать

127

Обозначим p число точек разбиения 0, лежащих строго внутри [a; b]. Пусть – любое разбиение [a; b], удовлетворяющее условию d( ) < , где – положительное число, которое мы

выберем позднее; S – верхняя сумма разбиения . Добавим к точкам разбиения внутренние точки разбиения 0. В

В то же время разбиение 00 получено добавлением к разбиению0 внутренних точек разбиения . Поэтому, в силу свойства 20,

Таким образом, мы установили, что для любого данного " > 0

существует > 0 такое, что если d( ) < , то 0 S I < ". Но

это значит, что lim S = I. Для нижних сумм доказательство

d( )!0

проводится аналогичным образом.

128