- •МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
- •1.2 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
- •1.4 ТОПОЛОГИЯ ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ. РАСШИРЕННАЯ ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ
- •ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
- •2.1 ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
- •2.2 ЛЕММА О ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКАХ. ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА
- •2.3 МОНОТОННЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
- •2.4 КРИТЕРИЙ КОШИ
- •ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
- •3.1 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИИ. ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
- •3.2 КРИТЕРИЙ КОШИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ
- •3.3 МОДИФИКАЦИЯ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
- •3.4 ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
- •3.5 ПОРЯДОК ФУНКЦИИ. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ (АСИМПТОТИКА)
- •НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
- •4.2 ТОЧКИ РАЗРЫВА
- •4.3 СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ
- •4.4 РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ. ПРОДОЛЖЕНИЕ ПО НЕПРЕРЫВНОСТИ
- •4.5 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ
- •4.6 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ, СТЕПЕННАЯ, ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
- •ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
- •5.2 ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
- •5.3 ТЕХНИКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
- •5.5 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
- •5.6 ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
- •5.7 ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
- •5.8 ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
- •5.9 ЛОКАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
- •5.10 РЯД ТЕЙЛОРА
- •ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •6.3 ОТЫСКАНИЕ ПЕРВООБРАЗНЫХ ДЛЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
- •ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •7.2 ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СУММЫ
- •7.3 НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ ПО РИМАНУ
- •7.4 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
- •7.5 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА РИМАНА
- •7.6 СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА РИМАНА, В КОТОРЫХ ФИГУРИРУЮТ НЕРАВЕНСТВА
- •7.7 ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА
- •7.8 ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА
- •7.9 ОБЩИЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
- •7.10 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА РИМАНА
- •НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
- •8.2 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
- •8.3 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
- •8.4 НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И РЯД
Доказательство. |
Пусть f |
– не |
убывает на [a; b]; " > |
0. Разобьем [a; b] на |
равные |
части, |
длины которых меньше |
"=(f(b) f(a)) (f(b) 6= f(a), так как в противном случае f = const).
|
n |
|
|
|
" |
|
n |
X |
|
|
|
|
X |
||
|
|
|
|
|
|
||
S S = i=1 (Mi mi) xi < f(b) |
|
f(a) i=1 (Mi mi); |
|||||
но для неубывающих функций |
n |
(Mi mi) f(b) f(a). |
|||||
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
Поэтому S S < ". Следовательно, f интегрируема на [a; b]. Теорема 1 не дает ответа на вопрос о классе функций,
интегрируемых по Риману. Отвечает на этот вопрос следующая теорема.
Теорема Лебега. Для того, чтобы функция f была
интегрируемой на отрезке [a; b], необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной на [a; b] и непрерывной всюду на [a; b], за исключением множества точек лебеговой меры нуль.
Доказательство этой теоремы слишком трудоемко, и мы его не приводим.
По определению, множество E имеет лебегову меру нуль, если при любом " > 0 существует покрывающая E счетная или конечная система интервалов, сумма длин которых меньше ". Например, конечное или счетное множество точек имеет лебегову меру нуль. В самом деле, пусть точки множества перенумерованы: x1; x2; : : :. Покроем каждую из них интервалом так, чтобы длина интервала, покрывающего точку xn, была меньше, чем " 2 n. Сумма длин этих интервалов будет меньше, чем ".
Заметим, что теорема 1 является частным случаем части достаточности теоремы Лебега. Отличие состоит в том, что в теореме Лебега допускается покрытие множества точек разрыва не только конечным набором интервалов, но и счетным.
§ 7.5 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА РИМАНА
10: Пусть функции f и g интегрируемы на [a; b], тогда на [a; b] интегрируемы функции: f(x) g(x); f(x)g(x); f(x);
133
|
|
jfb(x)j; f( b |
|
|
,b где jg(x)j b |
|
|
|
b |
|
|||||
const; |
|
|
d > |
0. При этом Ra |
|||||||||||
R |
x)=g(x) |
|
|
|
R |
|
|
(f |
|
||||||
|
|
R |
|
R |
|
|
fdx. |
|
|
|
|
||||
g)dx = a |
fdx a gdx; |
a |
fdx = a |
|
произвольную |
||||||||||
|
Доказательство. |
|
|
|
|
Возьмем |
|
||||||||
последовательность разбиений k |
= k(a = x0(k) |
< x1(k) |
< |
||||||||||||
: : : < xn(kk) = b) такую, что d( k) ! 0 при k ! 1. |
(k) |
2 |
|||||||||||||
|
Функции f и g интегрируемы, поэтому при любых i |
||||||||||||||
[x(k) |
; x(k) |
] существуют пределы |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
i 1 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
b |
|
|
|
|
|
d( k)!0 i |
f( i |
)(xi |
xi 1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
lim |
|
|
|
(k) |
(k) |
|
(k) |
) = |
|
f(x)dx; |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
d( k)!0 i |
g( i |
)(xi |
xi 1) = Z |
b |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
X |
|
|
|
(k) |
(k) |
|
(k) |
|
a |
g(x)dx: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из существования данных пределов следует существование предела
lim |
(k) |
) g |
( |
(k) |
(k) |
(k) |
)=lim |
Xi |
(k) |
(k) |
|
d( k)!0Xi |
(f( i |
|
i |
))(xi |
xi 1 |
d( k)!0 |
f( i |
)(xi |
|||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
Z |
|
x(ik)1) lim Xg( i(k))(x(ik) d( k)!0 i
xi(k)1) = |
f(x)dx g(x)dx; |
a |
a |
при любых i(k) 2 [xi(k)1; xi(k)]. |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, функция f(x) g(x) интегрируема на [a; b], |
||||||
и |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
b |
|
|
b |
Za |
(f(x) g(x))dx = Za |
f(x)dx Za |
g(x)dx: |
|||
Подобным образом |
|
|
|
|
|
|
|
b |
f( i |
)(xi |
xi 1)= |
||
Z f(x)dx d( k)!0 i |
||||||
a |
X |
|
(k) |
(k) |
|
(k) |
|
= lim |
|
|
|
|
|
134
= |
d( k)!0 i |
f( i |
)(xi |
xi 1) = Z |
b |
f(x)dx: |
|||||
|
X |
(k) |
(k) |
(k) |
|
|
|
|
a |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
Пусть = (a = x0 < x1 < : : : < xn = b) – произвольное разбиение отрезка [a; b]. Введем обозначения:
|
i |
|
sup f(x); |
i |
inf |
|
|
|
|
|
|
sup |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Mf = x2[xi 1;xi] |
mf = x2[xi 1;xi] f(x); Kf = x2[a;b] jf(x)j: |
|
|||||||||||||||||||
Для произвольных i; i 2 [xi 1; xi] имеем |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
jf( i)j jf( i)j jf( i) f( i)j Mfi mfi ; |
(1) |
||||||||||||||||||
f( i)g( i) f( i)g( i) = f( i)g( i) f( i)g( i) + f( i)g( i) |
|||||||||||||||||||||
f( i)g( i) jf( i)jjg( i) g( i)j + jg( i)jjf( i) f( i)j |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Kf (Mgi mgi ) + Kg(Mfi mfi ): |
|
(2) |
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
= |
g( i) g( i) |
|
|
1 |
(Mi |
mi ): |
(3) |
||||||
|
|
g( i) |
g( i) |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
g( i)g( i) |
|
|
d2 |
g |
|
g |
2 |
||||||||||
Возьмем sup левых частей неравенств (1) |
и |
(3) |
по i; i |
||||||||||||||||||
[xi 1; xi], умножим полученные числа на (xi xi 1) |
и |
||||||||||||||||||||
просуммируем по i. В результате получим |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Xi |
(Mjifj mjifj)(xi xi 1) Xi |
(Mfi mfi )(xi xi 1); |
(4) |
||||||||||||||||||
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
|||
(M1i=g m1i =g)(xi xi 1) |
|
(Mgi mgi )(xi xi 1): |
(5) |
||||||||||||||||||
d2 |
Вследствие интегрируемости f и g (см. § 7.3) правые части (4) и
(5) при надлежащем разбиении можно сделать меньшими ", но тогда и левые части можно сделать меньшими ". ) Функции jfj и 1=g интегрируемы на [a; b].
Функции f и g интегрируемы на [a; b], поэтому существуют разбиения 1 и 2 отрезка [a; b] такие, что
|
|
S 1(f) S 1(f) < "; S 2(g) S 2(g) < ": |
|
Пусть = 1 |
+ 2, т. е. разбиение отрезка [a; b] состоит |
из множества |
точек, являющегося теоретико-множественной |
135
суммой множества точек, из которых состоят 1 и 2 ( =
(a = x0 < x1 < : : : < xn = b)). Из свойства 20 нижних и верхних сумм (см. § 7.2) следует, что
|
|
S (f) S (f) < "; S (g) S (g) < ":
Взяв sup левой части неравенств (2) по i; i 2 [xi 1; xi], умножив полученные числа на (xi xi 1) и просуммировав по i, получим
Xi |
(Mfig mfi g)(xi xi 1) Kf Xi |
(Mgi mgi )(xi xi 1)+ |
|
||||||
+Kg |
(Mi |
mi )(xi |
|
xi |
1) = Kf ( (g) |
S (g))+ |
|
||
|
Xi |
f |
f |
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+Kg(S (f) S (f)) < (Kf + Kg) < ": |
(6) |
Таким образом, можно указать такое разбиение , что левая часть (6) может быть сделана как угодно малой, что показывает: функция f(x) g(x) интегрируема на [a; b].
Нетрудно показать теперь интегрируемость частного функцией f(x)=g(x). Действительно, если f(x) и g(x) интегрируемы на [a; b] и jg(x)j d > 0, то, по доказанному выше, интегрируема на [a; b] функция 1=g(x), а следовательно,
функция f(x) g(1x) = f(x)=g(x) также интегрируема на [a; b]. Замечания:
1.Из интегрируемости jf(x)j не следует интегрируемость f(x). Например, рассмотрим функцию
f(x) = |
1; |
1; |
если x |
2 |
Q [a; b]; |
|
если x |
[a; b] Q: |
|||
|
|
|
2 |
Tn |
136
jf(x)j – интегрируема на [a; b], так как jf(x)j 1 на [a; b], в то время, как f(x) не интегрируема на [a; b] (см. пример с функцией Дирихле из § 7.1).
2.Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a; b], а функция g(x) отличается от функции f(x) лишь в конечном
числе точек, то функция g(x) также интегрируема на
b |
b |
|
отрезке [a; b], причем Ra |
f(x)dx = Ra |
g(x)dx. |
Доказательство. Пусть g(x) отлична от f(x) в точках xi 2 [a; b], i = 1; : : : ; n. Введем на [a; b] функцию
g(xi) |
|
f(xi); |
если x = xi; |
'(x) = 0; |
|
если x = xi; i = 1; : : : ; n: |
|
|
|
|
6 |
b
Функция '(x) интегрируема на [a; b] и R '(x)dx = 0 (см. пример
a
§ 7.1). Очевидно, что g(x) = f(x) + '(x). Из интегрируемости суммы интегрируемых функций следует интегрируемость g(x) на [a; b] и равенство
b |
b |
b |
|
b |
|
|
Za |
g(x)fx = Za |
f(x)dx + Za |
'(x)dx = Za |
f(x)dx: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
||||
20: Имеет место равенство |
|
|
|
|
||
|
b |
c |
b |
|
|
|
Za |
f(x)dx = Za |
f(x)dx + Zc |
f(x)dx; a < c < b; |
( ) |
в том смысле, что если определена одна из его частей, то определена и другая и они равны.
Доказательство. Пусть функция f(x) интегрируема на
отрезках [a; c] и [c; b]. Тогда существуют разбиения 1 и 2 отрезков [a; c] и [c; b] соответственно такие, что
|
|
S 1 S 1 < "=2; S 2 S 2 < "=2:
137
Объединяя разбиения 1 и 2, мы получим разбиение отрезка [a; b], для которого
|
|
|
S S = S 1 + S 2 S 1 S 2 < ":
Следовательно, функция f(x) интегрируема на [a; b]. Допустим теперь, что f(x) интегрируема на [a; b]. Тогда для любого " > 0 существует разбиение отрезка [a; b] такое, что
|
|
S S < ": |
(7) |
Будем считать, что точка c является делящей точкой разбиения. В противном случае мы ее просто добавляем к точкам разбиения и получаем более частое разбиение отрезка [a; b], для которого тем более будет справедливо (7) (см. свойство
20 верхних и нижних сумм, |
§ 7.2). |
Разбиение |
отрезка |
[a; b] порождает разбиения 1 |
и 2 |
отрезков |
[a; c] и [c; b] |
соответственно, при этом |
|
|
|
|
|
|
S 1 S 1 < "; S 2 S 2 < ":
Следовательно, согласно необходимому и достаточному условию интегрируемости функций (см. § 7.3), функция f будет
интегрируема на [a; c] и [c; b]. Пусть k = k(a = x(0k) < x(1k) <
: : : < x(nk) = b) – последовательность разбиений отрезка [a; b] такая, что d( k) ! 0. Точку c будем включать при любом k в число делящих точек разбиения k (этого можно всегда легко добиться). Тогда интегральная сумма функции f(x) на [a; b] будет равна сумме интегральных сумм функции f(x) на отрезках [a; c] и [c; b]:
S k (f) = S 1k (f) + S 2k (f):
Переходя к пределу при d( k) ! 0, мы получим равенство ( ). Замечание. Полезно расширить определение интеграла
Римана по отрезку на случай, когда a > b и a = b. По определению полагаем:
|
b |
a |
|
1. |
Ra |
f(x)dx = Rb |
f(x)dx, если a > b. |
2. |
a |
|
|
R f(x)dx = 0. |
|
a
138