Глава 8 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§8.1 Определения несобственных интегралов и некоторые общие свойства несобственных интегралов.

§8.2 Несобственные интегралы от неотрицательных функций.

§8.3 Интегрирование по частям.

§8.4 Несобственный интеграл и ряд.

§8.5 Несобственный интеграл с особенностями в нескольких точках.

§8.1 ОПРЕДЕЛЕНИЯ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ И НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ

СВОЙСТВА НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

a

интегралом (от f) с особенностью в точке b, если выполняются следующие условия:

1.b – конечная точка; функция f интегрируема на [a; b0] при любом b0 2 (a; b); f не ограничена в окрестности точки b.

2. b = +1; функция f интегрируема на [a; b0] при любом b0 > a.

b

Замечание. Аналогично интегралу R f(x)dx, с особенностью в точке b, определяется интеграл сaособенностью

вточке a. Только теперь:

1.a – конечная точка; если a < b, то f интегрируема на любом [a0; b], где a < a0 < b и не ограничена в окрестности точки a.

2.a = 1; f интегрируема на любом [a0; b]; a0 < b.

161

b

Определение 2. Если R f(x)dx имеет особенность в точке

b (согласно определениюa 1(1)) и если существует предел

b0

lim R f(x)dx, то этот предел называется несобственным

b0!b a

интегралом от f на [a; b] и записывается в виде:

a

(существует). В противном случае говорят, что он расходится (не существует).

Замечание. Функция f в обычном смысле (Римана) не интегрируема на [a; b], так как она не определена в окрестности точки b.

b

Определение 3. Если R f(x)dx имеет особенность в точке

b (согласно определениюa 1(2)) и если существует предел

b0

lim R f(x)dx, то этот предел называется несобственным

b0!+1 a

интегралом отf на [a; +1) и записывается в виде:

1

при этом говорят, что интеграл R f(x)dx сходится (существует).

a

В противном случае говорят, что он расходится (не существует). Замечание. Аналогичным образом определяется несобственный интеграл с особенностью в точке a (a – конечная

точка, a = 1):

162

Для определения везде в дальнейшем мы будем рассматривать

b

R f(x)dx с единственной особенностью в точке b, конечной или

a

бесконечной. Все выводы по аналогии могут быть перенесены на случай интеграла с единственной особенностью в точке a.

Примеры.

1

Таким образом, R dxx сходится при > 1 и равен ( 1) 1 и

1

расходится при 1.

b

Теорема 1 (Критерий Коши). Пусть задан R f(x)dx с

a

единственной особенностью в точке b. Для существования данного интеграла необходимо и достаточно выполнение

163

следующего условия: 8 " > 0 9 b0 < b 8 b0; b00

(b0 < b0 < b00 < b):

b00

Z

f(x)dx < ":

критерия Коши для приведенных интегралов формулируется совершенно одинаково, то они или одновременно сходятся или одновременно расходятся.

164

b

Определение 4. R f(x)dx (имеющий особенность в точке b)

bb

ZZ

fdx jfjdx:

aa

165