Глава 5

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§5.1 Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной.

§5.2 Дифференцируемые функции. Дифференциал функции.

˙.3 Техника дифференцирования.

§5.4 Производные и дифференциалы высших порядков.

§5.5 Основные теоремы.

§5.6 Правило Лопиталя.

§5.7 Формула Тейлора.

§5.8 Формула Тейлора для некоторых элементарных функций.

§5.9 Локальная формула Тейлора.

§5.10 Ряд Тейлора.

§5.11 Исследование поведения функции с помощью понятия производной (возрастание и убывание функции на отрезке, локальный экстремум).

§5.12 Исследование поведения функции с помощью понятия производной (выпуклость кривой и точки перегиба).

§5.1 ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ ПРОИЗВОДНОЙ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

Понятие производной возникло как результат многовековых усилий, направленных на решение таких задач, как задача о проведении касательной к кривой или вычисление скорости неравномерного движения. В определениях понятия производной от функции существенно используется понятие предела функции.

1. Задача определения касательной к кривой.

65

Рассмотрим некоторую непрерывную кривую в плоскости R2. Пусть A – лежащая на ней точка, и C – другая, лежащая на, точка. Прямую S, проходящую через A и C, будем называть секущей (кривую ). Когда точка C будет перемещаться вдоль

по кривой, то эта секущая будет вращаться вокруг точки A. Может случиться, что при этом S будет стремиться занять в пределе положение вполне определенной (проходящей через точку A) прямой, которую мы обозначим через T . Если это будет иметь место, то говорят, что кривая имеет в точке A касательную, которой и будет прямая T (см. рис. 1.)

Не всякая кривая в любой её точке имеет касательную. Примером такой кривой может служить кривая, изображенная на рис. 2. Она состоит из двух кусков 1 и 2, соединенных в точке A, так как секущие S1 и S2 будут стремиться занять в пределе положение двух разных прямых T1 и T2 .

Пусть теперь кривая есть график некоторой непрерывной функции y = f(x), точка A имеет абсциссу x, точка C – абсциссу x+x (x6=0). Тогда секущая S, проходящая через точки A и C, образует с положительным направлением оси x угол , тангенс

нулю. Так как f – непрерывна, то y ! 0, и точка C, двигаясь по , будет стремиться к точке A. Если окажется (этого может и не быть!), что при этом отношение y= x стремится при любом способе стремления x ! 0 к одному и тому же конечному

пределу (числу) k : xy ! k при x ! 0, то тогда и угол

будет стремиться к некоторому отличному от =2 углу . Вместе с и секущая S, вращаясь около точки A, будет стремиться занять в пределе положение прямой T , проходящей через A под углом с положительным направлением оси x. Но тогда T есть

66

x ! 0 стремится к конечному пределу, то кривая имеет в

точке A касательную, тангенс угла которой с положительным направлением оси x равен этому пределу.

2. Мгновенная скорость.

Пусть S(t) – путь, пройденный материальной точкой за время t. Тогда средняя скорость на участке времени [t0; t0 +

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

Определение. Производной от функции f в точке x назы-

вается предел, к которому стремится отношение её приращенияy = f(x + x) f(x) в этой точке к соответствующему приращению x аргумента, когда последнее стремится к нулю:

Для того, чтобы существовала производная f0(x), необходимо и достаточно, чтобы существовали производные от f в точке x справа и слева и были равны между собой, при этом f0(x) = f0(x + 0) = f0(x 0).

Справедливость данного утверждения следует из того,

что lim y = f0(x) существует тогда и только тогда, когда

x!0 x

67

Рис. 1. Функция имеет f0(x0) (график в этой точке имеет касательную, причем единственную).

Рис. 2. Функция не имеет производной, но существуют f0(x0 + 0), f0(x0 0), не равные друг другу.

Рис. 3. Функция имеет бесконечную производную f0(x0) =

+1.

Рис. 4. Функция имеет бесконечную производную f0(x0) =

1.

f0(x0 0)=+1; f0(x0+0)=1.

Рис. 6. Функция не имеет производной, f0(x0 0)=

1; f0(x0 + 0)= 1.

Теорема. (необходимое условие существования производной).

Если функция имеет производную в точке x, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Из существования производной следует,

что xy = f0(x) + "( (x)), где "( x) ! 0 при x ! 0. Отсюда следует y = f0(x) x+"( (x)) x = f0(x) x+o( x); x ! 0,

и lim x ! 0 y = 0: ) Функция f(x) непрерывна в точке x. Замечание 1. Утверждение, обратное данной теореме,

неверно, т. е. если f непрерывна в точке x, то она может и не иметь производной в этой точке.

Справедливость замечания доказывает следующий пример.

68