теперь x0 2 U 0(y) TE; x00 2 U 00(z) TE (здесь U 0(y) = (y 0; y+

0); U 00(z) = (z 00; z + 00)) и запишем очевидное неравенство

(2), (3), мы получили из (4): 8" > 0 9 > 0 8y; z 2 F (jy zj <

) j˜ ˜ j ). Равномерная непрерывность функции ˜

f (y) f (z) < " f

на F доказана.

§ 4.5 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть y = f(x) – некоторая числовая функция, заданная на множестве E R; F = f(E) – область значений функции f. Функцию, обратную к функции f, мы определяли так: если кривая , являющаяся графиком f, определяет x как функцию y, то говорят, что определена обратная функция x = g(y); y 2 F . Было доказано также, что если f строго возрастает (строго убывает), то обратная функция существует и также строго возрастает (строго убывает).

Рассмотрим теперь вопрос о непрерывности обратной функции.

Теорема 1. Пусть y = f(x) непрерывна и строго возрастает

на [a; b]. Тогда образ [a; b] есть отрезок [A; B] (A = f(a); B = f(b)) и обратная к f функция x = g(y) будет строго

f(b), поэтому (по теореме 4 из § 4.3) для 8y 2 [A; B] 9 x 2 [a; b]

58

такой подпоследовательности следует из следствия к теореме

быть, что a = 1; A = 1; b = +1; B = +1. Тогда образ (a; b) есть (A; B), и обратная к f(x) функция x = g(y) строго возрастает и непрерывна на (A; B).

Доказательство. Так как f(x) строго возрастает, то

очевидно f((a; b)) (A; B). Покажем обратное включение. Пусть y 2 (A; B), тогда, в силу определения A и B, существуют

x1; x2 2 (a; b) такие, что y1 = f(x1) < y < f(x2) = y2. А так как f(x) строго возрастает, то должно быть x1 < x2. Функция f(x)

непрерывна на (a; b), тем более она непрерывна на [x1; x2] (a; b) ) (по теореме 4 § 4.3) существует единственная точка x 2

[x1; x2] такая, что f(x) = y ) y 2 f((a; b)) ) (A; B) f((a; b)). В итоге: f((a; b)) = (A; B).

Проверим далее, что g(y) непрерывна в любой точке

определенной на [x1; x2] (существование точек x1 и x2 мы доказывали выше для любой точки y 2 (A; B)). Так как f(x)

59

непрерывна на [x1; x2], то по теореме 1 g(y) будет непрерывна

на [f(x1); f(x2)], т. е. в точке y 2 [f(x1); f(x2)] (A; B). Точка y

– произвольная точка из (A; B), поэтому g(y) – непрерывна на

(A; B). Замечание 1. В теоремах 1 и 2 можно заменить

§ 4.6 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ, СТЕПЕННАЯ, ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Пусть n 2 N; a 2 R; a > 0. Число an = a : : : a

|{z}

n раз

(по определению). Число a1=n – арифметический корень n-й степени из числа a. Если n=m – неотрицательное рациональное

число, то (по определению) полагаем an=m = (a1=m)n = (an)1=m. Таким образом, мы определили функцию f(p) = ap; p 2 Q. Из элементарной алгебры известно, что ap (p 2 Q) обладает свойствами:

1.ap+q = ap aq.

2.ap строго возрастает при a > 1 и строго убывает при

определенная уже на всей числовой прямой R, продолженная функция будет непрерывной на R и удовлетворять свойствам 1. и 2. Докажем существование такой функции. Начнем с

0 < aq ap = ap(aq p 1) < aN (aq p 1). Пусть " > 0 - произвольное число и n0 2 N такое, что если n > n0, то

60

(этого можно добиться, так как lim a1=n = 1).

Из (4) и (3) ) 8p; q 2 [ N; N] TQ справедливо: jp qj

1

n0+1

ap на любом отрезке [ N; N] TQ.

Любая точка R является предельной для множества Q, поэтому на R можно определить функцию f(x) следующим образом:

Докажем, что это и есть искомая нами функция. Пусть x 2 RnQ. Накроем эту точку некоторым отрезком [ N; N]; N 2 N. Выше была доказана равномерная непрерывность функции ap; p 2 Q на множестве [ N; N] TQ. Так как функция f(x) является продолжением функции ap; p 2 [ N; N] TQ, то по теореме "Продолжение по непрерывности" (см. § 4.4), f(x) будет равномерно непрерывна на [ N; N], а следовательно, просто непрерывна в точке x 2 RnQ. Любая точка x 2 RnQ может быть накрыта отрезком [ N; N], поэтому f(x) будет непрерывна в любой точке x 2 R.

Вновь определенную функцию обычно обозначают f(x) = ax; x 2 R и называют показательной функцией. Докажем

61

справедливость свойств 1. и 2. для показательной функции ax; x 2 R. Пусть x; y 2 RnQ, причем x < y. Существуют рациональные числа p; q такие, что x < p < q < y (см. § 1.3 "Свойства порядка действительных чисел" ). Пусть pn; qn 2 Q такие, что pn ! x (возрастая), а qn ! y (убывая) ) apn < ap < aq < aqn. Переходя к пределу, получим ax ap < aq ay. Таким образом, мы доказали свойство 2. Свойство 1. следует из равенства apn+qn = apn aqn после перехода к пределу.

Если a < 1, то полагаем ax = (1=a1 )x . Функция (1=a)x, по доказанному выше, будет непрерывна на R; (1=a)x > 0 при

x 2 R, поэтому функция ax (a < 1) будет непрерывна на R. Заметим, что при a < 1 функция ax будет строго убывать.

При a = 1 полагаем: 1x = 1 при любом x 2 R.

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

Определение. Функция, обратная к показательной y = ax (x 2 R), a > 0; a 6= 1, называется логарифмической и обозначается y = loga x; x > 0.

функция, обратная к показательной (непрерывной) функции.

Упражнения.

Доказать следующие свойства логарифмической функции:

1.loga xy = loga x + loga y.

2.loga xy = loga x loga y.

3.loga xy = y loga x.

62

4. loga b loga a = 1.

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

y = xb (b – постоянная, x – переменная, x > 0) – степенная функция.

Согласно свойствам ( ) логарифмической функции

xb = eb ln x(x > 0), ln x – непрерывная функция, показательная функция - непрерывна, суперпозиция двух непрерывных функций есть функция непрерывная, поэтому степенная функция будет непрерывной.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

арифметических свойств непрерывных функций следует непрерывность гиперболических функций: sh x (x 2

R); ch x (x 2 R); th x (x 2 R); cth x (x 2 R; x 6= 0).

63

Эскизы графиков гиперболических функций:

Замечание. Для гиперболических функций имеют место формулы, аналогичные формулам для тригонометрических

функций. Например, ch2 x sh2 x = 1; 2 ch x sh x = sh 2x; sh(x y) = sh x ch y ch x sh y и т. д.

64