§ 7.6 СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА РИМАНА, В КОТОРЫХ ФИГУРИРУЮТ НЕРАВЕНСТВА
10: Если f и g интегрируемы на [a; b] и f(x) g(x) (a
x b), то |
b |
b |
|
|
|
Z |
Z |
|
|
|
f(x)dx |
g(x)dx: |
|
|
a |
a |
|
|
Доказательство. Из условия следует: |
|
Xi |
f( i(k))(xi(k) xi(k)1) Xi |
g( i(k))(xi(k) xi(k)1); |
(1) |
для любой последовательности разбиений k = k(a = x(0k) <
x(1k) < : : : < x(nk) = b) такой, что d( k)!0. Переходя в (1) к пределу при d( k) ! 0, получим требуемое неравенство. 
x 20: Если f интегрируема на [a; b], то
ZZ
jf(x)dxj jf(x)j dx K(b a);
где K = sup jf(x)j.
x2[a;b]
Доказательство. При любом x 2 [a; b] :
jf(x)j f(x) jf(x)j:
Поэтому из свойства 10 следует
b |
b |
|
b |
|
Za |
jf(x)jdx Za |
f(x)dx Za |
jf(x)jdx; |
|
что равносильно неравенству |
|
|
|
|
b |
b |
|
|
|
Z |
Z |
|
|
|
j f(x)dxj jf(x)jdx: |
(2) |
|
a |
a |
|
|
Для любых x 2 [a; b] : jf(x)j K. |
b |
|
|
|
|
|
Kdx = K(b a) (см. пример |
1 из § 7.1), поэтому |
|
|
Ra |
|
|
|
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|
|
|
Z |
|
Z |
|
|
|
|
|
|
jf(x)jdx Kdx = K(b a): |
|
(3) |
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
Из (2) и (3) следует 20. |
|
|
|
0 на [a; b] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30: Если f интегрируема на [a; b], f(x) |
и f |
непрерывна в точке x |
|
[a; b], причем f(x |
) > 0, то |
b |
|
|
|
f(x)dx > |
0. |
0 2 |
|
0 |
|
|
Ra |
) |
Доказательство. |
f |
непрерывна в x0 и |
f(x0) |
> 0: |
существует окрестность U(x0) такая, что f(x) > 0 для x 2 U(x0). Пусть для определенности x0 2 (a; b). Тогда U(x0) =
(c; d); a < c < x0 < d < b, и
b |
c |
d |
b |
d |
|
|
d |
|
|
|
|
Za |
f(x)dx = Za |
+ Zc |
+ Z |
Zc |
f(x)dx Zc |
dx = (d c) > 0 |
: |
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40: (Теорема о среднем). Пусть |
f; ' интегрируемы на |
[a; b]; ' 0 на [a; b]. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
Za |
f(x)'(x)dx = Za |
'(x)dx; |
|
|
|
|
|
|
inf f(x); M = |
sup f(x)) |
. Если, кроме |
где m M (m = x |
[a;b] |
|
|
x2[a;b] |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
того, f непрерывна, то существует точка 2 [a; b] такая, что
b |
|
b |
Za |
f(x)'(x)dx = f( ) Za |
'(x)dx: |
Доказательство. '(x) 0: ) m'(x) f(x)'(x) M'(x); x 2 [a; b]. Интегрируя эти неравенства (см. свойство
140
10), имеем:
b |
b |
|
b |
m Za |
'(x)dx Za |
f(x)'(x)dx M Za |
'(x)dx: |
b
Если R '(x)dx = 0, то в качестве можно взять любое число из
a |
|
|
|
|
b |
|
|
отрезка [m; M]. Если же Ra |
'(x)dx > 0, то |
b |
|
|
b |
= Za |
f(x)'(x)dx= Za |
'(x)dx: |
Пусть f непрерывна на [a; b]: ) Существуют точки и 2
[a; b] такие, что m = |
f( ); M |
= f( ). Отсюда (опять |
же в |
силу непрерывности f |
на [a; b]) |
) существует точка 2 |
[ ; ] |
(здесь мы допускаем для определенности, что < ), в которой функция f достигает промежуточного значения (m M), т. е. f( ) = . .x 
§ 7.7 ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА
Теорема 1. Пусть f интегрируема на [a; b]. Тогда определена и непрерывна на [a; b] функция
b
Z
F (x) = f(t)dt; a x b:
a
Доказательство. Пусть K = sup jf(t)j. Тогда справедлива
t2[a;b]
x+h
оценка jF (x+h) F (x)j = j f(t)dtj Kjhj. Так как Kjhj ! 0 |
h |
0 F |
R |
[a; b] |
при |
! , то |
x |
. |
будет непрерывна на |
Заметим, что данное утверждение справедливо независимо от того, имеет или нет f разрывы; важно, что f интегрируема
на [a; b].
141
Рассмотрим теперь замечательное уточнение доказанной теоремы.
Теорема 2. Если f интегрируема на [a; b] и непрерывна в
точке x0 2 [a; b], то функция F (x) |
|
x |
|
|
|
= |
f(t)dt; a x b |
дифференцируема в x0 и F 0(x0) = f(x0). RaЕсли же f непрерывна |
на (a; b), то F (x); a < x < b, будет первообразной для f(x); a < |
x < b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Докажем сначала вторую часть |
утверждения теоремы. Пусть x |
2 [a; b]: F (x + h) F (x) |
= |
x+h |
|
x+h |
|
x+h |
|
|
|
|
|
|
R x+h |
R |
|
R |
|
|
|
|
|
|
f(t)dt = |
f(x)dt + |
(f(t) f(x))dt = f(x) h + |
x |
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
( ) |
+ |
(f(t) f(x))dt: |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Воспользуемся |
второй |
|
частью |
теоремы о |
среднем |
для |
преобразования |
интервала |
|
из |
правой |
части |
( ). |
В результате получим |
F (x |
+ |
h) F (x) |
= |
= f(x)h + (f(x + h) f(x))h, где 0 < |
< 1. Так как f(x) |
непрерывна в любой точке x 2 (a; b), то f(x+ h) f(x) ! 0 при h ! 0 и, следовательно, F (x + h) F (x) = f(x)h + o(h); h ! 0: ) F (x) дифференцируема в любой точке x 2 (a; b) и F 0(x) = f(x), т. е. F (x) – первообразная для функции f(x).
Перейдем к доказательству первой части теоремы. Равенство ( ) остается:
|
|
|
|
x0+h |
|
F (x0 + h) F (x0) = f(x0)h + |
Z |
(f(t) f(x0))dt: |
|
|
|
|
x0 |
|
|
Очевидно, справедливы неравенства |
|
|
|
|
|
x0+h |
|
|
|
m(h) h Z |
(f(t) f(t0))dt M(h) h; |
|
|
x0 |
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
m(h) = inf |
(f(t) |
f(x0)); M(h) = |
sup |
(f(t) f(x0)): |
t [x0;x0+h] |
|
t2[x0;x0+h] |
2 |
|
|
|
|
|
