Реактивное движение. Уравнение Циолковского-Мещерского

На основе закона сохранения количества движения рассмотрим реактивное движение.

Нас будет интересовать, как меняется скорость движения ракеты по мере выгорания топлива в условиях постоянства скорости его потока.

Пусть в некоторый момент времени масса ракеты была равной , а скорость . В последующий момент времени ( ), в результате действия реактивной тяги, возникающей в результате истечения топлива с постоянной скоростью , масса ракеты уменьшится на величину и станет равной , а ее скорость увеличивается на , т.е. станет .

Применим закон сохранения количества движения, рассматривая ракету и вылетающее из нее топливо как замкнутую систему тел, учитывая то, что движение ракеты и истечение топлива происходят вдоль одной оси.

Последнее слагаемое в представленном выражении соответствует количеству движения, содержащегося в вылетевшим из ракеты за время топливе. Пренебрегая величинами второго порядка малости, после раскрытия скобок, имеем:

или .

Интегрируем последнее выражение и получаем:

Постоянная интегрирования определяется начальными условиями. Пусть в начальный момент времени, при , масса ракеты была , а ее скорость равнялась нулю. Тогда, искомая постоянная интегрирования и, следовательно,

Таким образом, получаем:

Видно, что по мере выгорания топлива скорость ракеты увеличивается по логарифмическому закону и при стремящейся к нулю стремится к бесконечности. Этот результат не противоречит законам классической физике.

2.12. Закон сохранения момента количества движения

Полный момент количества движения замкнутой системы тел (материальных точек) складывается из моментов количеств движения составляющих ее тел.

Для замкнутой системы тел справедливо соотношение:

Следует отметить, что момент количества движения данной материальной точки зависит от выбора положения начала отсчета, следовательно, величина и направление момента количества движения всей системы тоже зависит от этого. Однако, при любом выборе точки отсчета закон сохранения момента количества движения всей замкнутой системы остается справедливым.

Покажем это. Сместим точку отсчета на величину . Тогда, положение материальной точки будет характеризоваться уже не , а , который связан с соотношением . При этом для нового полного момента количества движения получим выражение:

где -момент количества движения в неизмененной системе отсчета, - количество движения всей замкнутой системы.

Т.к. величины не изменяются во времени, то величина так же неизменна.

2.13. Механическая работа и потенциальная энергия. Типы равновесия

Введем понятия «работа» и «потенциальная энергия».

Пусть некоторое тело или материальная точка движется в силовом поле . Если под действием этого поля тело совершило бесконечно малое перемещение , то величина совершенной работы ( ) равна:

где -угол между векторами и .

Если проекцию вектора движущей силы на направление вызываемого ей движения обозначим , то выражение для механической работы принимает вид:

.

Работа на конечном участке пути ( ) равна:

.

Из представленного выражения видно, что сила, направленная перпендикулярно направлению вызываемого ей перемещения, работы вдоль этого направления не совершает. В свою очередь, из этого вывода следует, что работа сил поля при перемещении тела из одного положения в другое не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положениями тела. Действительно, пусть в поле действия сил тело переносится из точки 1 в точку 2 по пути «а» (совершается работа ) и обратно по пути « » (совершается работа ). Общая работа при этом, очевидно, равна нулю, т.к. результирующего перемещения не произошло. Итак: или . Учтем, что при изменении направления переноса тела работа меняет свой знак на противоположный (это следует из определения понятия работы), т.е. . Поэтому . Таким образом, доказано, что механическая работа не зависит от формы пути (траектории).

С помощью понятия работы вводится понятие «потенциальная энергия».

Потенциальная энергия тела в точке 1 относительно точки 2 называется взятая с обратным знаком работа по перемещению тела из точки 1 в точку 2.

Если точки 1 и 2 бесконечно близки друг к другу, то . При этом, т.к. , имеем или

Итак. Проекция силы на некоторое направление есть взятая с обратным знаком первая производная от потенциальной энергии по этому направлению.

Различают следующие типы равновесий.

а) безразличные (шарик на плоскости

в поле тяжести Земли)

б) устойчивые (шарик в ямке),

в) неустойчивые (шарик на выпуклой

поверхности)

Условием наличия равновесия любого типа является равенство нулю суммарно действующей на тело силы, т.е.

или .

Если в точке, где это условие выполняется

, то равновесие безразличное,

- устойчивое,

- неустойчивое.