2.10. Гироскоп. Скорость прецессии гироскопа

Гироскоп, это осесимметричное тело, способное вращаться вокруг своей оси симметрии.

При его вращении вектора момента количества движения и угловой скорости направлены вдоль оси вращения. Если нет действия момента внешних сил, то величина момента количества движения не меняется. При наличии момента внешней силы ось гироскопа начинает отклоняться в направлении вектора момента силы. Возникает движение, которое называется прецессией. Отклонение обусловлено тем, что в направлении действия момента силы происходит изменение момента количества движения, а, следовательно, изменение направления угловой скорости вращения гироскопа.

Примером гироскопа является волчок (см. рис. 2.9).

Волчек взаимодействует с опорой в точке и находится в поле тяжести Земли, определяющем силу, которая приложена к его центру инерции (С). Введем обозначения: - угол наклона оси волчка относительно вертикали, - расстояние от точки опоры ( ) до центра тяжести волчка ( ), - масса волчка.

Под действием момента силы возникает изменение момента количества движения ( ) и ось волчка начинает описывать конус, относительно вертикального направления.

Вычислим угловую скорость прецессии .

За время вектор момента количества движения получает перпендикулярное к своему направлению приращение , лежащее в горизонтальной плоскости, при этом, возникает поворот оси волчка на угол , где . Следовательно, имеем:

.

Видно, что угловая скорость прецессии волчка равна:

.

Подставляя в полученное выражение и , где момент инерции волчка, получаем выражение для угловой скорости прецессии:

.

Замечание

Для простоты запоминания формул, описывающих вращательное движение твердого тела, ниже приведена таблица, показывающая симметрию всех выражений, которые были представлены для вращательного движения твердого тела, выражениям, соответствующим поступательному движению. При этом необходимо помнить, что для анализа вращательного движения в соответствующих выражениях существенную роль играют направления векторов угловой скорости, момента количества движения, момента силы.

0. 2.11. Закон сохранения массы. Закон сохранения количества движения. Реактивное движение

Все законы сохранения физических величин справедливы только для замкнутых систем тел.

Совокупность тел, взаимодействующих между собой и не взаимодействующих с телами не входящими в данную совокупность, называется замкнутой системой тел.

В замкнутой системе тел сохраняются следующие величины:

1. величина полной массы тел,

2. величина полного количества движения тел,

3. полная энергия,

4. полный момент количества движения.

Закон сохранения массы

Для замкнутой системы, состоящей из тел с массами справедливо соотношение:

.

Закон сохранения количества движения

Для замкнутой системы, состоящей из тел с массами , движущихся со скоростями справедливо соотношение:

Из законов сохранения полной массы и количества движения в замкнутой системе тел следует, что центр инерции этой системы в инерциальной системе отсчета движется с постоянной скорость или находится в состоянии покоя. Для доказательства этого конкретизируем понятие «центр инерции» (центр масс).

Центр инерции (центр масс)

Координаты центра инерции системы материальных точек, имеющих массы и соответствующие этим массам координаты , в Декартовой системе координат определяются выражениями:

, , .

В полярной системе координат, в которой положения материальных точек ( ) характеризуются радиус-векторами , центру инерции соответствует радиус-вектор

.

Основываясь на представленной выше формуле найдем скорость движения центра инерции замкнутой системы тел ( ):

Из полученного выражения видно, что скорость центра инерции замкнутой системы тел величина постоянная, т.к. полный импульс системы и полная масса системы величины неизменные.

Так как скорость центра инерции не меняется во времени, то система отсчета, связанная с ним, является инерциальной и называется системой центра инерции. Она очень часто используется в физических задачах для анализа движения элементов системы друг относительно друга, т.к. в ней движение системы как целого отсутствует.