3.11. Фазовая и групповая скорости распространения волн. Дисперсия. Формула Рэлея.

Фазовая скорость распространения волн ( ) зависит от упругих свойств среды.:

-для продольных волн ,

где - модуль объемной упругости среды, - ее плотность,

- для поперечных волн ,

где - модуль сдвига,

- для поверхностных волн, возникающих на границе раздела жидкость – газ ,

где - ускорение свободного падения,

- для капиллярных (коротковолновые волны) волны на поверхности жидкости

,

где - коэффициент поверхностного натяжения.

Видим, что в ряде случаев фазовая скорость распространения волны зависит от длины волны. Такая зависимость называется дисперсией.

Ранее отмечалось, что волновой процесс, это процесс переноса в пространстве энергии путем передачи импульса от одного слоя среды к другому. Казалось бы, энергия переносится с фазовой скоростью распространения волны. Это действительно так, если мы имеем дело с монохроматической волной или если нет дисперсии.

Ситуация меняется, есть распространяется группа волн с различными частотами и есть дисперсия. В этом случае скорость распространения энергии будет определяться скоростью распространения центра энергии группы волн, которая называется групповой скоростью ( ). Центр энергии группы волн возникает в области пространства, в которой фазы волн, составляющих рассматриваемую группу, соответствуют их максимальным амплитудам. Центр энергии возникает в результате интерференции волн составляющих рассматриваемую группу.

Найдем скорость движения центра энергии группы волн.

Пусть в момент времени центр энергии группы волн находится в точке « ». В этой точке фазы всех волн, составляющих рассматриваемую группу,

совпадают и не зависят от длины волны

.

_{Поэтому можно записать выражение:}

из которого следует:

Видим, что множитель в полученном выражении является скоростью, а в соответствии с поставленной задачей - групповой скоростью

Соотношение

называется формулой Рэлея.

Видно, что если дисперсия отсутствует ( ), то групповая скорость равна фазовой. Если , то групповая скорость меньше фазовой – нормальная дисперсия, если , то и дисперсия называется аномальной.

3.12. Стоячая волна

Интерференция. Это термин обозначает сложение колебаний. Рассмотрим один из случаев интерференции волн, а именно, интерференцию прямой и отраженной волны, амплитуды которых одинаковы.

Для прямой волны запишем

,

а для отраженной:

.

В результате сложения этих волн получаем выражение:

,

которое, после некоторых преобразований, принимает вид:

.

Видно, что распространения волны в пространстве нет, есть только колебания отдельных точек среды с амплитудой волнообразно распределенной в пространстве. Есть пучности и есть узлы колебаний. Пучностям соответствует максимальная амплитуда колебаний, равная , в узлах, колебания отсутствуют.

Примером стоячей волны может служить волна, возбуждаемая в шнуре, один конец которого закреплен, а другой подвергается колебательному возмущению.